第2章 第6节 对数与对数函数（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二章　函　数 第六节　对数与对数函数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 底数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 0 1 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 logaM＋logaN 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 y＝logax 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 (0，＋∞) 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 (1，0) y>0 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 反函数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 × × × × √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 课时作业(十一) 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 谢谢观看！ 课标解读 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念，会画对数函数图象，理解对数函数的性质及应用． 3．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的____，N叫作对数的真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 对数的性质：loga1＝__，logaa＝__，＝N，logaab＝b(a>0，且a≠1，N>0，b∈R). (2)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝__________________________； ②loga eq \f(M,N) ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logbN＝ eq \f(logaN,logab) (a>0，a≠1，b>0且b≠1，N>0). 最常用的对数换底公式：logaN＝ eq \f(lg N,lg a) ，logaN＝ eq \f(ln N,ln a) . 3．对数函数的概念、图象与性质 (1)概念：由于指数函数是严格单调的，等式x＝ay中不同的y对应于不同的x，即每个x对应的y是确定的，从而对数运算______________(x＞0，a＞0，且a≠1)确定了一个函数，叫作(以a为底的)对数函数． (2)对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 _______________ y＝logax a＞1 0＜a＜1 值域 R 性质 过定点___________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 在(0，＋∞)上 是______ 在(0，＋∞)上 是______ 4.反函数 指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为______．指数函数的定义域(－∞，＋∞)成了对数函数的值域，指数函数的值域(0，＋∞)是对数函数的定义域． 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　　　) (3)函数y＝log2x及都是对数函数．(　　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　　) (5)函数y＝ln eq \f(1＋x,1－x) 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　　) 2．函数f (x)＝ eq \r(1－ln x) 的定义域是(　　) A．(0，e) B．(0，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) B　解析：要使函数f (x)＝ eq \r(1－ln x) 有意义，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－ln x≥0，,x>0，)) 解得0<x≤e，则函数f (x)的定义域为(0，e].故选B. 3．(多选)下列各式正确的是(　　) A． eq \f(loga6,loga3) ＝loga2 B．lg 2＋lg 5＝1 C．(ln x)2＝2ln x D．lg eq \r(5,x3) ＝ eq \f(3,5) lg x BD　解析：A选项，由换底公式，可得 eq \f(loga6,loga3) ＝log36＝1＋log32，故A错误；B选项，lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故B正确；C选项，(ln x)2＝(ln x)·(ln x)≠2ln x，故C错误；D选项，lg eq \r(5,x3) ＝＝ eq \f(3,5) lg x，故D正确． 4．(2023·重庆高三期末)已知函数f (x)＝|lg x|，f (a)＝f (b)，a<b，则a＋2 023b的取值范围是(　　) A．[2 eq \r(2 023) ，＋∞) B．(2 023，＋∞) C．(2 024，＋∞) D．(0，＋∞) C　解析：∵f (x)＝|lg x|，f (a)＝f (b)， ∴|lg a|＝|lg b|， 又∵a<b，∴－lg a＝lg b，∴lg ab＝0，∴ab＝1， ∴0<a<1<b，故a＋2 023b＝ eq \f(1,b) ＋2 023b. ∵y＝ eq \f(1,b) ＋2 023b在(1，＋∞)上单调递增， ∴ eq \f(1,b) ＋2 023b>1＋2 023＝2 024， 故a＋2 023b的取值范围是(2 024，＋∞). 故选C. 5．(2023·广东惠州高三模拟)若函数f (x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　) D　解析：由函数f (x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，故0<a<1. 函数y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域为{x|x>1或x<－1}， 当x>1时，函数y＝loga(|x|－1)的图象是由函数y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的， 故选D. 6．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是____________． 答案：(1，2)　解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，∴u＝2－ax在[0，1]上是x的减函数． 由复合函数关系知y＝logau在[0，1]上应为增函数，∴a＞1. 又x在[0，1]上时，y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax又是减函数， ∴当x＝1时，u＝2－ax取得最小值，最小值umin＝2－a＞0即可，∴a＜2. 综上可知，a的取值范围是(1，2). 1.(2023·湖南长沙雅礼中学高考模拟)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，成为历史上的珍闻．若2x＝ eq \f(5,2) ，lg 2≈0.301 0，则x的值约为(　　) A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 A　解析：由2x＝ eq \f(5,2) ，lg 2≈0.301 0，得x＝log2 eq \f(5,2) ＝ eq \f(lg \f(5,2),lg 2) ＝ eq \f(lg 5－lg 2,lg 2) ＝ eq \f(1－2lg 2,lg 2) ＝ eq \f(1－2×0.301 0,0.301 0) ≈1.322，即x的值约为1.322，故选A. 2．(2023·安徽亳州高三三模)已知4x＝3y＝m，且 eq \f(1,x) ＋ eq \f(4,y) ＝2，则m＝(　　) A．3 B．6 C．12 D．18 D　解析：因为4x＝3y＝m>0，所以x＝log4m，y＝log3m.由换底公式可得 eq \f(1,x) ＝logm4， eq \f(1,y) ＝logm3，所以 eq \f(1,x) ＋ eq \f(4,y) ＝logm4＋4logm3＝logm(4×34)＝2，所以m2＝4×34＝324.因为m>0，所以m＝18. 3．计算下列各式的值： 【例1】 (1)已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 (2)当0<x≤ eq \f(1,2) 时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0， eq \f(\r(2),2) ) B．( eq \f(\r(2),2) ，1) C．(1， eq \r(2) ) D．( eq \r(2) ，2) (1)A　(2)B　解析：(1)由函数图象可知，f (x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得 eq \f(1,a) <b<1.综上，0< eq \f(1,a) <b<1. (2)由题可知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示． 由图可知只需满足，解得a> eq \f(\r(2),2) ，所以 eq \f(\r(2),2) <a<1.故选B. 【变式探究】 将本例(2)中“4x<logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________________． 答案： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) 　解析：若方程4x＝logax在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 上有交点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≤2，)) 解得0<a≤ eq \f(\r(2),2) ，即a的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) . 【练1】 (2023·天津滨海新区十二校联考)函数f (x)＝ eq \f(2ln |x|,x) 的部分图象大致为(　　) C　解析：f (－x)＝－ eq \f(2ln |x|,x) ＝－f (x)，则f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.当x＝1时，f (1)＝0，当x＝e时，f (e)＝ eq \f(2,e) >0，故排除A.故选C. 【练2】 (多选)(2023·湖南模拟)在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(　　) BD　解析：当a>1时，y＝ax与y＝loga(x－2)的图象都是上升的； 当0<a<1时，y＝ax与y＝loga(x－2)的图象都是下降的． 角度1　比较大小问题 【例2】 (1)(2023·山东滨州模拟)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则(　　) A．a>c>b B．c>a>b C．b>a>c D．a>b>c (2)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a (1)D　(2)A　解析：(1)a＝log315＝log3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×5)) ＝1＋log35>1，b＝log420＝log4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×5)) ＝1＋log45>1，c＝log21.9<1.因为log35＝ eq \f(lg 5,lg 3) > eq \f(lg 5,lg 4) ＝log45，所以a>b>c.故选D. 【练3】 (2024·广东中山模拟)设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a D　解析：因为b＝log34＝ eq \f(lg 4,lg 3) ＝ eq \f(2lg 2,lg 3) ，c＝log58＝ eq \f(lg 8,lg 5) ＝ eq \f(3lg 2,lg 5) ， 则b－c＝ eq \f(2lg 2,lg 3) － eq \f(3lg 2,lg 5) ＝ eq \f(2lg 2·lg 5－3lg 2·lg 3,lg 3·lg 5) ＝ eq \f(lg 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lg 5－3lg 3)),lg 3·lg 5) ＝ eq \f(lg 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg 25－lg 27)),lg 3·lg 5) <0， 所以b<c. 角度2　解简单的对数方程或不等式 【例3】 设则方程f (a)＝f (－a)的解集为________________． 答案：{－1，1}　解析：当a>0时，由f (a)＝log2a＝l ＝f (－a)＝ a，得a＝1；当a<0时，由f (a)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a)) ＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a)) ＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a)) ，得a＝－1，∴方程f (a)＝f (－a)的解集为{1，－1}． 【变式探究】 本例中，求f (a)>f (－a)的解集． 解：由题意得 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a))>log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a))，)) 解得a＞1或－1＜a＜0，故原不等式解集为(－1，0)∪(1，＋∞). 【练4】 (2023·江西师大附中模拟)已知函数则不等式f (x)<f (x－1)的解集为____________． 答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2))))) 　解析：当x≤1时，不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) 为1－x2<1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) eq \s\up12(2) ，解得 eq \f(1,2) <x≤1； 【练5】 (2023·浙江海宁模拟)已知函数f (x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋log2（1－x），x<0，,4x-1，x≥0.)) 若 f (f (t))－4＝0，则实数t＝________________． 答案： eq \f(3,2) 　解析：令a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t)) ，则当a<0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a)) －4＝2＋log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a)) －4＝0，解得a＝－3；当a≥0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a)) －4＝4a－1－4＝0，解得a＝2，所以当f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t)) ＝－3时，此时t<0，有2＋log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－t)) ＝－3，解得t＝ eq \f(31,32) ，不满足条件；当f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t)) ＝2，若t<0，则2＋log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－t)) ＝2，解得t＝0，此时不满足条件；若t≥0时，则4t－1＝2，解得t＝ eq \f(3,2) 满足条件． 角度3　对数函数的综合问题 【例4】 (2023·四川雅安三模)设f (x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，且当x∈[－2，0]时，f (x)＝( eq \f(1,3) )x－6.若在区间(－2，6]内关于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是(　　) A.(1，2) B．(2，＋∞) C．(1， eq \r(3,4) ) D．( eq \r(3,4) ，2) D　解析：由题意可得，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 是周期为4的偶函数．根据x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，0)) ，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) －6，画出在(－2，6]内f (x)的图象如图所示． 关于x的方程f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) －loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2)) ＝0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1)) 恰有3个不同的实数根，则在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，6)) 内函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 与函数y＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2)) 的图象有三个交点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga4<3，,loga8>3，)) 解得 eq \r(3,4) <a<2. 【练6】 设f (x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,|log3x|，x>0，)) 若方程f (x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是____________________． 答案：(0，1]　解析：作出函数f (x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,|log3x|，x>0)) 的图象，如图所示， 因为f (x)－a＝0有三个不同的实数根， 即函数y＝f (x)与y＝a的图象有三个不同的交点， 结合图象，可得0<a≤1，即实数a的取值范围是(0，1]. $$