第2章 第5节 指数与指数函数（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二章　函　数 第五节　指数与指数函数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 n次 相反数 正的n次方根 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 n a a 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 0 没有意义 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 y＝ax 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 R (0，＋∞) (0，1) 0＜y＜1 y＞1 y＞1 0＜y＜1 增 减 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 × × √ × √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 课时作业(十) 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 谢谢观看！ 课标解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．理解指数函数的概念，会画指数函数的图象． 4．理解指数函数的性质，并能简单应用． 1．根式 n次方根 概念 若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的____方根 性质 当n是奇数时，数a的n次方根记作 eq \r(n,a) 当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为______，其中____________叫作算术根，记作 eq \r(n,a) 根式 概念 式子 eq \r(n,a) 叫作根式(n∈N，n≥2)，__叫作根指数，__叫作被开方数 性质 当n为奇数时， eq \r(n,an) ＝__ 当n为偶数时， eq \r(n,an) ＝|a|＝ 2.有理数指数幂 幂的有 关概念 正数的正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N，n≥2) 正数的负分数指数幂：＝ eq \f(1,\r(n,am)) (a＞0，m，n∈N，n≥2) 0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂________ 指数幂的 运算性质 在a>0时，对于任意有理数r，s：ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr 3.无理数指数幂的概念 给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂为au.在幂的表达式中，a叫作底数，u叫作指数． 4．幂运算基本不等式 (1)对任意的正数u和正数a，若a>1则au>1，若a<1，则au<1. (2)对任意的负数u和正数a，若a>1则au<1，若a<1则au>1. 5．指数函数的概念、图象与性质 (1)概念：在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数________ (x∈R)，这叫作指数函数，其中a＞0，且a≠1. (2)指数函数的图象与性质 表达式 y＝ax(a＞1) y＝ax(0＜a＜1) 图象 表达式 y＝ax(a＞1) y＝ax(0＜a＜1) 性质 定义域：__ 值域：____________ 函数图象过定点__________，即a0＝1 当x＜0时，__________； 当x＞0时，______ 当x＜0时，______；当x＞0时，__________ 在R上递__ 在R上递__ 1．判断正误 (1) eq \r(n,an) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a))) eq \s\up12(n) ＝a(n∈N＋) .(　　　) (2)分数指数幂 可以理解为 eq \f(m,n) 个a相乘．(　　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　　) (5)函数y＝2-x在R上为单调递减函数．(　　　) 2．化简 eq \f(\r(－x3),x) 的结果是(　　) A． eq \r(－x) B．－ eq \r(－x) C． eq \r(x) D．－ eq \r(x) B　解析：由题意得x<0，所以 eq \f(\r(－x3),x) ＝ eq \f(\r(x2)·\r(－x),x) ＝ eq \f(|x|\r(－x),x) ＝ eq \f(－x\r(－x),x) ＝－ eq \r(－x) . 3．(多选)设a>0，则下列运算中不正确的是(　　) 答案：ABC 4．(2023·江西上饶高三月考)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 D　解析：由图象可知，函数f (x)为减函数，从而有0<a<1； 方法一　由f (x)＝ax-b图象，函数与y轴的交点纵坐标y∈(0，1)， 令x＝0，得y＝a-b， 由0<a-b<1，即0<a-b<a0，解得 b<0. 方法二　函数f (x)图象可看作是由y＝ax(0<a<1)向左平移得到的， 则－b>0，即b<0.故选D. 5．(2023·四川省射洪中学校高三模拟)“( eq \f(1,2) )a>( eq \f(1,2) )b”是“a<b＋1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　解析：不等式( eq \f(1,2) )a>( eq \f(1,2) )b等价于a<b， 由a<b可推出a<b＋1， 由a<b＋1不一定能推出a<b，例如a＝3，b＝3时，a<b＋1，但a＝b， 所以“( eq \f(1,2) )a>( eq \f(1,2) )b”是“a<b＋1”的充分而不必要条件．故选A. 6．(忽视开偶次方规则致误)计算 eq \r(3,（1＋\r(2)）3) ＋ eq \r(4,（1－\r(2)）4) ＝ _______． 答案：2 eq \r(2) 　解析： eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(2)))\s\up12(3)) ＋ eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(2)))\s\up12(4)) ＝1＋ eq \r(2) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\r(2))) ＝1＋ eq \r(2) ＋ eq \r(2) －1＝2 eq \r(2) . 1.(2023·广西钦州高三月考)下列各式正确的是(　　) D　解析：＝22＝4，A错误； ( eq \f(1,2) )－3＝23＝8，B错误； ∵π<4， ∴ eq \r(（π－4）2) ＝4－π，C错误； ＝( eq \f(2,3) )－3＝ eq \f(27,8) ，D正确．故选D. 2．(2022·北京卷)已知函数f (x)＝ eq \f(1,1＋2x) ，则对任意实数x，有(　　) A．f (－x)＋f (x)＝0 B．f (－x)－f (x)＝0 C．f (－x)＋f (x)＝1 D．f (－x)－f (x)＝ eq \f(1,3) C　解析：因为函数f (x)＝ eq \f(1,1＋2x) ，所以f (－x)＝ eq \f(1,1＋2－x) ＝ eq \f(2x,2x＋1) ， 所以f (－x)＋f (x)＝ eq \f(1＋2x,1＋2x) ＝1. 答案：66　解析： － eq \f(1,3) ＝ eq \f(10,3) － eq \f(5,2) ＋64＋1＋ eq \f(1,2) － eq \f(1,3) ＝66. 【例1】 (1)(2024·河南林州一中模拟)函数f (x)＝( eq \f(1,2) )|x＋1| 的图象大致为(　　) eq \o(\s\up15(),\s\do5(A)) eq \o(\s\up15(),\s\do5(B)) eq \o(\s\up15(),\s\do5(C)) eq \o(\s\up15(),\s\do5(D)) (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________________． (1)B　(2)(0，1)　解析：(1)作出函数y＝ eq \f(1,2|x|) ＝的图象(图略)，将y＝ eq \f(1,2|x|) 的图象向左平移1个单位长度得到f (x)＝ 的图象． (2)作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0，1). 【变式探究】 将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 解：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的． 当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意； 当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0<a< eq \f(1,2) . 综上可知，a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) . 【练1】 (2023·山东枣庄高三二模)指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点横坐标的取值范围是(　　) A．(－∞，－ eq \f(1,2) ) B．(－ eq \f(1,2) ，0) C．(0， eq \f(1,2) ) D．(－ eq \f(1,2) ，＋∞) A　解析：由图象知函数为减函数，则0<a<1，二次函数y＝ax2＋x的顶点的横坐标为x＝－ eq \f(1,2a) ，∵0<a<1，∴ eq \f(1,2a) > eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,2a) <－ eq \f(1,2) ，即横坐标的取值范围是(－∞，－ eq \f(1,2) ).故选A. 【练2】 已知函数f (x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<1，,－（x－1）2，x≥1，)) 若函数g(x)＝f (x)－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(0，1] C．(－1，0] D．[0，1) D　解析：函数g(x)＝f (x)－k 有两个不同的零点，即为函数y＝f (x) 与直线y＝k 有两个交点，函数y＝f (x) 图象如图所示：所以k∈[0，1). 角度1　比较大小问题 A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a B　解析：因为函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(x) 在R上单调递减，所以a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(1) < . 【练3】 按从小到大的顺序，可将1.10.1，0.90.9，0.90.8 重新排列为___________． 答案：0.90.9<0.90.8<1.10.1 　解析：∵0<0.90.9<0.90.8<0.90＝1，1.10.1>1.10＝1，∴0.90.9<0.90.8<1.10.1. 角度2　解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f (x)＝4x－3×2x＋2a，则关于x 的不等式f (x)≤－6 的解集为(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[－2，0)∪(0，2) D．[－2，0)∪(2，＋∞) (2)已知实数a≠1，函数f (x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0.)) 若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________________． (1)A　(2) eq \f(1,2) 　解析：(1)因为函数f (x) 是定义在R上的奇函数，且当x≥0 时，f (x)＝4x－3×2x＋2a， 则f (0)＝40－3×20＋2a＝2a－2＝0，解得a＝1，即当x≥0 时，f (x)＝4x－3×2x＋2，当x<0 时，－x>0，则f (x)＝－f (－x)＝－(4－x－3×2－x＋2)， 而当x≥0 时，f (x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2))) eq \s\up12(2) － eq \f(1,4) ≥－ eq \f(1,4) ， 则当f (x)≤－6 时， 满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－（4－x－3×2－x＋2）≤－6，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,（2－x－4）（2－x＋1）≥0，)) 变形得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,2－x≥4，)) 解得x≤－2，所以不等式f (x)≤－6 的解集为(－∞，－2]. (2)当a<1时，41－a＝2，解得a＝ eq \f(1,2) ；当a>1时，22a－1＝4a－1，无实数解．故a的值为 eq \f(1,2) . 【练4】 (2023·朝阳区高三期末)已知函数f (x)＝(k＋2)·ax＋2－b(a>0，a≠1)是指数函数． (1)求k，b的值； (2)求解不等式f (2x－5)>f (3x－1). 解：(1)∵f (x)＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，a≠1)是指数函数， ∴k＋2＝1且2－b＝0. ∴k＝－1且b＝2. (2)由(1)得f (x)＝ax(a>0，a≠1)， 则f (2x－5)>f (3x－1)即a2x－5>a3x－1， ①当a>1时，f (x)＝ax单调递增， 则不等式等价于2x－5>3x－1，解得x<－4， ②当0<a<1时，f (x)单调递减， 则不等式等价于2x－5<3x－1，解得x>－4， 综上，当a>1时，不等式解集为{x|x<－4}； 当0<a<1时，不等式解集为{x|x>－4}． 角度3　指数函数性质的综合问题 【例4】 (1)已知函数f (x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________________． (2)已知f (x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－2x+2＋m，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0)) 的最小值为2，则m的取值范围为________________． 答案：(1)(－∞，4]　(2)[5，＋∞) 　解析：(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞)) 上单调递增，在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2))) 上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)＝2|2x-m|在[2，＋∞)上单调递增，则有 eq \f(m,2) ≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]. (2)当x>0 时，f (x)＝x＋ eq \f(1,x) ≥2 eq \r(x·\f(1,x)) ＝2，当且仅当x＝ eq \f(1,x) ，即x＝1 时等号成立， 当x≤0 时，0<2x≤1，4x－2x+2＋m＝(2x－2)2＋m－4，当2x＝1，即x＝0 时，4x－2x+2＋m 取最小值m－3， 因为f (x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4x－2x+2＋m，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0))) 的最小值为2，可得m－3≥2，解得m≥5，所以m的取值范围为[5，＋∞). 【练5】 求函数y＝( eq \f(1,2) )2x－8·( eq \f(1,2) )x＋17 的单调区间为____________________． 答案：增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2) 　解析：设t＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) >0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1 在(0，4] 上单调递减，在(4，＋∞) 上单调递增．令 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ≤4，得x≥－2，令 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) >4，得x<－2.而函数t＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 在R上单调递减，所以函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2x) －8· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ＋17 的增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2). 【练6】 函数y＝( eq \f(1,4) )x－( eq \f(1,2) )x＋1 在区间[－3，2]上的值域是___________． 答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)) 　解析：∵x∈[－3，2]，∴令t＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ，则t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，8)) ，故y＝t2－t＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,4) .当t＝ eq \f(1,2) 时，ymin＝ eq \f(3,4) ；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)) . $$