第2章 第3节 函数的奇偶性、对称性与周期性（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第二章　函　数 第三节　函数的奇偶性、对称性与周期性 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 y轴 原点 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 非零常数T 每一个 f (x＋T)＝f (x) 周期 所有周期中 最小的正数 最小正数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 × × √ √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 第二章　函　数 返回导航 第1轮 数学（X） 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(x)＝x＋ eq \f(1,x) 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x)＝－x－ eq \f(1,x) ＝－f (x)，为奇函数； 对于C，f (x)＝x3＋2x的定义域为R，关于原点对称，且f (－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－f (x)，为奇函数； 对于D，f (x)＝x2＋x＋1的定义域为R，关于原点对称，而f (－x)＝x2－x＋1≠－f (x)，不是奇函数． 故选BC. 3．(2023·全国乙卷)已知f (x)＝ eq \f(xex,eax－1) 是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　解析：因为f (x)＝ eq \f(xex,eax－1) 为偶函数，则 f (x)－f (－x)＝ eq \f(xex,eax－1) － eq \f(（－x）e-x,e-ax－1) ＝ eq \f(x[ex－e（a-1）x],eax－1) ＝0. 又因为x不恒为0，可得ex－e(a-1)x＝0，即ex＝e(a-1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 4．若f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f (x)＝2-x，则f (2 024)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 B　解析：∵f (x)的周期为2，∴f (2 024)＝f (0)＝20＝1. 5．已知f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝e-x－1，则当x<0时，f (x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－ex＋1 D　解析：设x<0，则－x>0，因为函数f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ e－x－1， 可得f (x)＝－f (－x)＝－(ex－1)＝－ex＋1. 故选D. 6．(忽视定义域致误)函数f (x)＝(x＋1)· eq \r(\f(x－1,x＋1)) 是________________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案：非奇非偶　解析：f (x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)，其定义域不关于原点对称．故f (x)为非奇非偶函数． 7．我们知道函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．则函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心是________________． 答案：(1，－2) 角度1　函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝ eq \r(3－x2) ＋ eq \r(x2－3) ； (2)f (x)＝ eq \f(lg （1－x2）,|x－2|－2) ； (3)f (x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0；)) (4)f (x)＝log2(x＋ eq \r(x2＋1) ). 解：(1)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，)) 得x2＝3，解得x＝± eq \r(3) ， 即函数f (x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\r(3))) ， 从而f (x)＝ eq \r(3－x2) ＋ eq \r(x2－3) ＝0. 因此f (－x)＝－f (x)且f (－x)＝f (x)， 所以函数f (x)既是奇函数又是偶函数． (2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，)) 得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f (x)＝ eq \f(lg （1－x2）,－x) . 又∵f (－x)＝ eq \f(lg [1－（－x）2],x) ＝ eq \f(lg （1－x2）,x) ＝－f (x)， ∴函数f (x)为奇函数． (3)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x<0时，－x>0， 则f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)； 当x>0时，－x<0， 则f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)， 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝－f (x)成立，故函数f (x)为奇函数． (4)显然函数f (x)的定义域为R， f (－x)＝log2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\r(（－x）2＋1))) ＝ log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋1)－x)) ＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋1)＋x)) eq \s\up12(－1) ＝ －log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋1)＋x)) ＝－f (x)，故f (x)为奇函数． 【练1】 设函数f (x)＝ eq \f(1－x,1＋x) ，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1 C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1 B　解析：由题意可知f (x)＝ eq \f(1－x,1＋x) ＝－1＋ eq \f(2,1＋x) ，对于A选项，f (x－1)－1＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋（x－1）))) －1＝ eq \f(2,x) －2，定义域为{x|x≠0}，为非奇非偶函数，不符合题意；对于B选项，f (x－1)＋1＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋（x－1）))) ＋1＝ eq \f(2,x) ，定义域为{x|x≠0}，为奇函数，符合题意；对于C选项，f (x＋1)－1＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋（x＋1）))) －1＝ eq \f(2,x＋2) －2，定义域为{x|x≠－2}，为非奇非偶函数，不符合题意；对于D选项，f (x＋1)＋1＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋（x＋1）))) ＋1＝ eq \f(2,x＋2) ，定义域为{x|x≠－2}，为非奇非偶函数，不符合题意． 【练2】 (多选)设函数f (x)＝ eq \f(ex－e－x,2) ，则下列结论正确的是(　　) A．|f (x)|是偶函数 B．－f (x)是奇函数 C．f (x)|f (x)|是奇函数 D．f (|x|)f (x)是偶函数 ABC　解析：因为f (x)＝ eq \f(ex－e-x,2) ，所以f (－x)＝ eq \f(e-x－ex,2) ，所以f (x)是奇函数，所以|f (x)|是偶函数，－f (x)是奇函数．因为f (|－x|)＝f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (x)|f (x)|是奇函数，f (|x|)f (x)是奇函数．故选ABC. 角度2　函数奇偶性的简单应用 【例2】 (1)(2023·福建福州模拟)已知f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ex－1，则f (ln eq \f(1,2) )＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B．－1 C．1 D． eq \f(1,2) (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1) 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． eq \f(1,2) D．1 (1)B　(2)B　解析：(1)因为f (x)是奇函数， 所以f (－x)＝－f (x)，且ln eq \f(1,2) <0， 故可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln \f(1,2))) ＝－f (ln 2)＝－(eln 2－1)＝－2＋1＝－1.故选B. (2)因为f (x) 为偶函数，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x> eq \f(1,2) 或x<－ eq \f(1,2) ， 则其定义域为{x|x＞ eq \f(1,2) 或x<－ eq \f(1,2) }，关于原点对称，则 f (1)＝f (－1)， 所以(1＋a)ln eq \f(1,3) ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0， 当a＝0时，f (x)＝x ln eq \f(2x－1,2x＋1) ， f (－x)＝(－x)ln eq \f(2（－x）－1,2（－x）＋1) ＝(－x)·ln eq \f(2x＋1,2x－1) ＝(－x)ln ( eq \f(2x－1,2x＋1) )－1＝x ln eq \f(2x－1,2x＋1) ＝f (x)， 故此时f (x)为偶函数．故选B. 【练3】 (2023·河南模拟)已知f (x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝x2－4x＋m，则当x<0时，f (x)＝(　　) A．x2－4－x＋1 B．－x2－4－x－1 C．－x2＋4－x－1 D．－x2＋4－x＋1 C　解析：因为f (x)为定义在R上的奇函数，所以f (0)＝m－1＝0，即m＝1. 当x<0时，－x>0，f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)2－4－x＋1]＝－x2＋4－x－1. 【练4】 (2023·华南师大附中模拟)已知函数f (x)＝ax－log2(2x＋1)＋cos x(a∈R)为偶函数，则a＝____________． 答案： eq \f(1,2) 　解析：根据题意，函数f (x)＝ax－log2(2x＋1)＋cos x，其定义域为R，若f (x)为偶函数，则f (－x)＝f (x)， 则有a(－x)－log2(2－x＋1)＋cos (－x)＝ax－log2(2x＋1)＋cos x， 变形可得2ax＝log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＝x，解得a＝ eq \f(1,2) . 【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f (x)的周期为4，当x∈[0，2]时，f (x)＝(x－1)2＋a，则f (2 023)＝(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 (2)设f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x－2)＝f (－x).若f ( eq \f(3,4) )＝－ eq \f(1,3) ，则f ( eq \f(13,4) )＝(　　) A． eq \f(1,3) B．－ eq \f(1,3) C． eq \f(1,4) D．－ eq \f(1,4) (1)C　(2)A　解析：(1)因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝(0－1)2＋a＝0，所以a＝－1. 又因为f (x)的周期为4，所以f (2 023)＝f (505×4＋3)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－a＝1. 故选C. (2)由题设，f (x－2)＝f (－x)＝－f (x)， 且f (x)＝－f (x＋2)， 所以f (x－2)＝f (x＋2)，即f (x)＝f (x＋4)，故f (x)是周期为4的奇函数， 所以f ( eq \f(13,4) )＝f (4－ eq \f(3,4) )＝f (－ eq \f(3,4) )＝－f ( eq \f(3,4) )＝ eq \f(1,3) . 故选A. 【练5】 已知函数y＝f (x)对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (－x)且f (4－x)＋f (x)＝0成立，若f (0)＝0，则f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)的值为(　　) A．4 B．2 C．0 D．－2 C　解析：由f (x＋2)＝f (－x)，可知f (2－x)＝f (x). 又f (4－x)＝－f (x)，∴f (4－x)＋f (2－x)＝0，∴f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f (x＋2)＝f (x)，∴函数y＝f (x)是周期为4的周期函数， ∴f (2 021)＝f (1)，f (2 022)＝f (2)，f (2 023)＝f (3). 由f (4－x)＋f (x)＝0可得f (4－1)＋f (1)＝0，即f (3)＋f (1)＝0，f (4－2)＋f (2)＝0，即f (2)＝0. ∴f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)＝0＋0＝0. 【练6】 (多选)(2023·广东广州模拟)已知定义在R上的函数f (x)对任意实数x均满足f (2＋x)＝f (x)，f (2－x)＝f (x)，且x∈[0，1]时，f (x)＝x2＋1，则下列说法正确的是(　　) A．2是f (x)的周期 B．x＝－1不是f (x)图象的对称轴 C．f (2 023)＝2 D．方程f (x)＝ eq \f(1,2) |x|只有4个实根 AC　解析：因为定义在R上的函数f (x)对任意实数x均满足f (2＋x)＝f (x)，所以函数f (x)是以2为周期的周期函数，故A选项正确；因为f (2－x)＝f (x)，所以函数f (x)关于直线x＝1对称，又f (x)是周期为2的周期函数，所以函数f (x)关于直线x＝－1对称，故B选项错误；f (2 023)＝f (1)＝12＋1＝2，故C选项正确；在同一直角坐标系中分别作出函数y＝f (x)与y＝ eq \f(1,2) |x|的图象，如图所示． 由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程f (x)＝ eq \f(1,2) |x|有6个实根，故D选项错误．故选AC. 【例4】 (1)(2024·海南海口二模)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝|x－2|f (x)的图象关于直线x＝2对称，若f (－1)＝－1，则g(3)＝(　　) A．5 B．1 C．－1 D．－5 (2)(2022·全国乙卷)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f (x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　) A.－21 B．－22 C．－23 D．－24 (1)B　(2)D　解析：(1)因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋2)＝|x|f (x＋2)是偶函数， g(2－x)＝|－x|f (2－x)＝|x|f (2－x)，且g(x＋2)＝|x|f (x＋2)， 所以|x|f (2－x)＝|x|f (2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以f (2－x)＝f (2＋x). 因为f (－1)＝－1且f (x)为奇函数，所以f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝－f (－1)＝1， 所以g(3)＝|3－2|f (3)＝f (1)＝1. (2)因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2). 因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋2)－f (x－2)＝7， 即g(x＋2)＝7＋f (x－2). 因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (－x)＋g(x＋2)＝5， 代入得f (x)＋[7＋f (x－2)]＝5，即f (x)＋f (x－2)＝－2， 所以f (3)＋f (5)＋…＋f (21)＝(－2)×5＝－10， f (4)＋f (6)＋…＋f (22)＝(－2)×5＝－10. 因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (0)＋g(2)＝5，即f (0)＝1，所以f (2)＝－2－f (0)＝－3. 因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋4)－f (x)＝7，又因为f (x)＋g(2－x)＝5， 联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12， 所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g(3)＝6， 因为f (x)＋g(x＋2)＝5，所以f (1)＝5－g(3)＝－1. 所以＝f (1)＋f (2)＋[f (3)＋f (5)＋…＋f (21)]＋[f (4)＋f (6)＋…＋f (22)]＝－1－3－10－10＝－24. 【练7】 设函数y＝f (x)的定义域为R，则函数y＝f (x－5)与函数y＝f (1－x)的图象关于(　　) A．直线y＝3对称 B．直线x＝3对称 C．直线y＝2对称 D．直线x＝2对称 B　解析：函数y＝f (1－x)是由y＝f (－x)向右平移一个单位得到， 函数y＝f (x－1)是由y＝f (x)向右平移一个单位得到， 又函数y＝f (－x)与y＝f (x)关于y轴对称， 所以函数y＝f (1－x)与y＝f (x－1)关于直线x＝1对称． 又y＝f (x－5)是由y＝f (x－1)向右平移4个单位长度得到， 所以函数y＝f (1－x)与函数y＝f (x－5)关于直线x＝3对称． 【练8】 (2023·陕西西安模拟)已知函数f (x)满足f (x－π)＝－f (－x)，且函数f (x)与g(x)＝cos x(x≠－ eq \f(π,2) )的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则 eq \i\su(i＝1,4, ) (xi＋yi)＝(　　) A．－4π B．－2π C．2π D．4π B　解析：函数f (x)满足f (x－π)＝－f (－x)， 则f (x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) 成中心对称． 又g(x)＝cos x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,2))) 的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) 成中心对称， 所以函数f (x)与g(x)的图象的交点关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) 对称， 则x1＋x2＋x3＋x4＝－2π，y1＋y2＋y3＋y4＝0， 所以＝－2π. $$