第1章 第4节 基本不等式（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第四节　基本不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 ≥ a＝b 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 大于或等于 p s 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 × √ × √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课时作业(四) 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 谢谢观看！ 课标解读 1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．会用基本不等式解决实际问题． 1．定理及推论 定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2__2ab，当且仅当______时等号成立． 推论：对任意a，b≥0，必有 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) ，当且仅当a＝b时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把 eq \f(a＋b,2) 称为a，b的算术平均数， eq \r(ab) 称为a，b的几何平均数． 2．基本不等式的解释 (1)几何角度：两个正数的算术平均数__________它们的几何平均数． (2)数列角度：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项． 3．利用基本不等式求最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值__，那么当且仅当x＝y时，和 x＋y有最小值____； (2)如果和x＋y是定值__，那么当且仅当x＝y时，积 xy有最大值__． 2 eq \r(p) eq \f(s2,4) 1．判断正误 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与 eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) 成立的条件是相同的．(　　　) (2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　　) (3)函数y＝x＋ eq \f(1,x) 的最小值是2.(　　　) (4)“x＞0且y＞0”是“ eq \f(x,y) ＋ eq \f(y,x) ≥2”的充分而不必要条件．(　　　) 2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a＜b＜ eq \r(ab) ＜ eq \f(a＋b,2) B．a＜ eq \r(ab) ＜ eq \f(a＋b,2) ＜b C．a＜ eq \r(ab) ＜b＜ eq \f(a＋b,2) D． eq \r(ab) ＜a＜ eq \f(a＋b,2) ＜b B　解析：因为0＜a＜b，所以a－ eq \r(ab) ＝ eq \r(a) ( eq \r(a) － eq \r(b) )＜0，故a＜ eq \r(ab) .又因为b－ eq \f(a＋b,2) ＝ eq \f(b－a,2) ＞0，所以b＞ eq \f(a＋b,2) .由基本不等式知 eq \f(a＋b,2) ＞ eq \r(ab) .综上所述，a＜ eq \r(ab) ＜ eq \f(a＋b,2) ＜b，故选B. 3．(2023·河南安阳模拟)已知a>0，b>0，则下列命题错误的是(　　) A．若ab≤1，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ≥2 B．若a＋b＝4，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) 的最小值为4 C．若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2 D．若2a＋b＝1，则ab的最大值为 eq \f(\r(2),2) D　解析：∵0<ab≤1，∴ eq \f(1,ab) ≥1，∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ≥2 eq \r(\f(1,ab)) ≥2，故A选项正确； 若a＋b＝4，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) ＝ eq \f(1,4) (a＋b)( eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) )＝ eq \f(1,4) ( eq \f(b,a) ＋ eq \f(9a,b) ＋10)≥ eq \f(1,4) (2 eq \r(\f(b,a)×\f(9a,b)) ＋10)＝4， 当且仅当a＝1，b＝3时等号成立，故B选项正确； 若a2＋b2＝4，则ab≤ eq \f(a2＋b2,2) ＝2，当且仅当a＝b＝ eq \r(2) 时等号成立，故C选项正确； 若2a＋b＝1，则1＝2a＋b≥2 eq \r(2ab) ，即ab≤ eq \f(1,8) ，当且仅当a＝ eq \f(1,4) ，b＝ eq \f(1,2) 时等号成立，故D选项错误．故选D. 4．已知0<x<1，则当x(3－3x)取得最大值时x的值为________________． 答案： eq \f(1,2) 　解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋（1－x）,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(3,4) .当且仅当x＝1－x，即x＝ eq \f(1,2) 时，等号成立． 5．设xy>0，则 eq \f(2y－x,x) ＋ eq \f(x＋2y,y) 的最小值为____________________________． 答案：2 eq \r(2) ＋1　解析：因为x，y为正数，由 eq \f(2y－x,x) ＋ eq \f(x＋2y,y) ＝1＋ eq \f(2y,x) ＋ eq \f(x,y) ≥1＋2 eq \r(\f(2y,x)·\f(x,y)) ＝1＋2 eq \r(2) ， 当且仅当 eq \f(2y,x) ＝ eq \f(x,y) ，即x＝ eq \r(2) y时，等号成立． 故答案为2 eq \r(2) ＋1. 角度1　利用拼凑法求最值 【例1】 (1)已知正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab的最大值为_______． (2)函数f (x)＝ eq \f(x,x2＋1) 的最大值是________________，取得最大值时x＝___． 答案：(1) eq \f(1,16) 　(2) eq \f(1,2) 　1　解析：(1)ab＝ eq \f(1,4) a·4b≤ eq \f(1,4) ( eq \f(a＋4b,2) )2＝ eq \f(1,4) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,16) ， 当且仅当a＝4b，即a＝ eq \f(1,2) ，b＝ eq \f(1,8) 时取等号， 所以ab的最大值为 eq \f(1,16) . (2)当x>0时，f (x)＝ eq \f(x,x2＋1) ＝ eq \f(1,x＋\f(1,x)) ≤ eq \f(1,2\r(x·\f(1,x))) ＝ eq \f(1,2) ，当且仅当x＝ eq \f(1,x) ，即x＝1时，等号成立； 当x<0时，f (x)＝ eq \f(x,x2＋1) ＝ eq \f(1,x＋\f(1,x)) ＝ eq \f(－1,（－x）＋（－\f(1,x)）) ≥ eq \f(－1,2\r(（－x）·（－\f(1,x)）)) ＝－ eq \f(1,2) ，当且仅当－x＝－ eq \f(1,x) ，即x＝－1时，等号成立． 当x＝0时，f (0)＝ eq \f(0,02＋1) ＝0， 综上，函数f (x)＝ eq \f(x,x2＋1) 的最大值是 eq \f(1,2) ，取得最大值时x＝1. 【练1】 若a，b∈R，ab＞0，则 eq \f(a4＋4b4＋1,ab) 的最小值为________________． 答案：4　解析：因为ab＞0，所以 eq \f(a4＋4b4＋1,ab) ≥ eq \f(2\r(4a4b4)＋1,ab) ＝ eq \f(4a2b2＋1,ab) ＝4ab＋ eq \f(1,ab) ≥2 eq \r(4ab·\f(1,ab)) ＝4，当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝2b2，,ab＝\f(1,2))))) 时等号成立，故 eq \f(a4＋4b4＋1,ab) 的最小值是4. 角度2　利用常数代换法求最值 【例2】 (2023·山东烟台模拟)已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x＋2y的最小值为(　　) A． eq \f(7,4) B．2 C． eq \f(9,4) D． eq \f(5,2) C　解析：将x＋2y＝8xy两边同时除以xy，得 eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) ＝8，则4x＋2y＝ eq \f(1,8) (4x＋2y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y))) ＝ eq \f(1,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(4y,x)＋\f(4x,y))) ≥ eq \f(1,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(4y,x)·\f(4x,y)))) ＝ eq \f(9,4) ， 当且仅当 eq \f(4y,x) ＝ eq \f(4x,y) ，即y＝x＝ eq \f(3,8) 时等号成立． 故4x＋2y的最小值为 eq \f(9,4) . 【练2】 已知x>y>0且4x＋3y＝1，则 eq \f(1,2x－y) ＋ eq \f(2,x＋2y) 的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 B　解析：由题意x>y>0得，2x－y>0，x＋2y>0， 令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y， 由4x＋3y＝1得a＋2b＝1， 故 eq \f(1,2x－y) ＋ eq \f(2,x＋2y) ＝( eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) )(a＋2b)＝5＋ eq \f(2b,a) ＋ eq \f(2a,b) ≥5＋2 eq \r(\f(2b,a)·\f(2a,b)) ＝9， 当且仅当 eq \f(2b,a) ＝ eq \f(2a,b) ，结合a＋2b＝1，即a＝b＝ eq \f(1,3) 时取等号， 也即2x－y＝ eq \f(1,3) ，x＋2y＝ eq \f(1,3) ，即x＝ eq \f(1,5) ，y＝ eq \f(1,15) 时，等号成立， 故 eq \f(1,2x－y) ＋ eq \f(2,x＋2y) 的最小值为9. 故选B. 角度3　利用消元法求最值 【例3】 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________________． 答案：6　解析：方法一(换元消元法) 由已知得9－(x＋3y)＝ eq \f(1,3) ·x·3y≤ eq \f(1,3) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2))) eq \s\up12(2) ，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号． 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 方法二(代入消元法) 由x＋3y＋xy＝9，得x＝ eq \f(9－3y,1＋y) ， 所以x＋3y＝ eq \f(9－3y,1＋y) ＋3y＝ eq \f(9－3y＋3y（1＋y）,1＋y) ＝ eq \f(9＋3y2,1＋y) ＝ eq \f(3（1＋y）2－6（1＋y）＋12,1＋y) ＝3(1＋y)＋ eq \f(12,1＋y) －6≥2 eq \r(3（1＋y）· \f(12,1＋y)) －6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝ eq \f(12,1＋y) ，即y＝1，x＝3时取等号， 所以x＋3y的最小值为6. 【变式探究】 本例条件不变，求xy的最大值． 解：方法一　∵9－xy＝x＋3y≥2 eq \r(3xy) ， ∴9－xy≥2 eq \r(3xy) . 令 eq \r(xy) ＝t，∴t>0，∴9－t2≥2 eq \r(3) t，即t2＋2 eq \r(3) t－9≤0， 解得0<t≤ eq \r(3) ，∴ eq \r(xy) ≤ eq \r(3) ，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， ∴xy的最大值为3. 方法二　∵x＝ eq \f(9－3y,1＋y) ，∴xy＝ eq \f(9－3y,1＋y) ·y＝ eq \f(9y－3y2,1＋y) ＝ eq \f(－3（y＋1）2＋15（y＋1）－12,y＋1) ＝－3(y＋1)－ eq \f(12,y＋1) ＋15≤－2 eq \r(3（y＋1）·\f(12,y＋1)) ＋15＝3. 当且仅当3(y＋1)＝ eq \f(12,y＋1) ，即y＝1，x＝3时取等号． ∴xy的最大值为3. 【练3】 (2023·重庆南开中学质量检测)已知x>0，y>0，xy＋2x－y＝10，则x＋y的最小值为(　　) A．2 eq \r(2) －1 B．2 eq \r(2) C．4 eq \r(2) D．4 eq \r(2) －1 D　解析：因为x>0，y>0， 由xy＋2x－y＝10，得x＝ eq \f(y＋10,y＋2) ， 所以x＋y＝ eq \f(y＋10,y＋2) ＋y＝ eq \f(8,y＋2) ＋y＋2－1≥2 eq \r(\f(8,y＋2)·（y＋2）) －1＝4 eq \r(2) －1， 当且仅当 eq \f(8,y＋2) ＝y＋2，即y＝2 eq \r(2) －2时，等号成立． 故x＋y的最小值为4 eq \r(2) －1.故选D. 角度1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 【例4】 (1)(2023·江西省新八校联考)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)对称，则 eq \f(b2＋2a,ab) 的最小值为(　　) A．3 B．3＋2 eq \r(2) C．2 D．2＋2 eq \r(2) (2)(2023·山东省实验中学高三模拟)已知随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a＋2)，则 eq \f(1,1＋ax) － eq \f(1,1＋3x) (x>0)的最大值为(　　) A．3＋2 eq \r(3) B．3－2 eq \r(3) C．2＋ eq \r(3) D．2－ eq \r(3) (1)D　(2)D　解析：(1)由题意可知，圆心(1，1)在直线ax＋by－1＝0上，则a＋b＝1. 又因为a>0，b>0， 所以 eq \f(b2＋2a,ab) ＝ eq \f(b2＋2a（a＋b）,ab) ＝ eq \f(b2＋2a2＋2ab,ab) ＝ eq \f(b,a) ＋ eq \f(2a,b) ＋2≥2 eq \r(2) ＋2， 当且仅当 eq \f(b,a) ＝ eq \f(2a,b) 且a＋b＝1， 即a＝ eq \r(2) －1，b＝2－ eq \r(2) 时等号成立， 故 eq \f(b2＋2a,ab) 的最小值为2＋2 eq \r(2) .故选D. (2)因为随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a＋2)， 所以P(ξ≤1)＝P(ξ≥3)，即a＋2＝3， 所以a＝1， 所以 eq \f(1,1＋ax) － eq \f(1,1＋3x) ＝ eq \f(1,1＋x) － eq \f(1,1＋3x) . 令f (x)＝ eq \f(1,1＋x) － eq \f(1,1＋3x) ，x∈(0，＋∞)， 所以f (x)＝ eq \f(1,1＋x) － eq \f(1,1＋3x) ＝ eq \f(1＋3x－1－x,（1＋x）（1＋3x）) ＝ eq \f(2x,1＋4x＋3x2) ＝ eq \f(2,3x＋\f(1,x)＋4) . 又3x＋ eq \f(1,x) ＋4≥2 eq \r(3x·\f(1,x)) ＋4＝2 eq \r(3) ＋4，当且仅当3x＝ eq \f(1,x) ，即x＝ eq \f(\r(3),3) 时取等号， 所以f (x)＝ eq \f(2,3x＋\f(1,x)＋4) ≤ eq \f(2,2\r(3)＋4) ＝2－ eq \r(3) ， 即 eq \f(1,1＋ax) － eq \f(1,1＋3x) (x>0)的最大值为2－ eq \r(3) . 故选D. 【练4】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝ 120°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________________． 答案：9　解析：依题意画出图形，如图所示． ∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝120°， ∴∠ABD＝∠DBC＝60°. 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即 eq \f(1,2) c sin 60°＋ eq \f(1,2) a sin 60°＝ eq \f(1,2) ac sin 120°，∴a＋c＝ac，∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,c) ＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c))) ＝5＋ eq \f(c,a) ＋ eq \f(4a,c) ≥5＋2 eq \r(\f(c,a)·\f(4a,c)) ＝9，当且仅当 eq \f(c,a) ＝ eq \f(4a,c) ，即a＝ eq \f(3,2) ，c＝3时等号成立，故4a＋c的最小值为9. 角度2　求参数值或取值范围 【例5】 已知正数x，y满足x＋y＝4，若a≤ eq \f(x2,x＋1) ＋ eq \f(y2,y＋2) 恒成立，则实数a的取值范围是________________． 答案：(－∞， eq \f(16,7) ]　解析：已知正数x, y 满足 x＋y＝4， 所以(x＋1)＋(y＋2)＝7，所以 eq \f(x＋1,7) ＋ eq \f(y＋2,7) ＝1， 则 eq \f(x2,x＋1) ＋ eq \f(y2,y＋2) ＝ eq \f(（x＋1－1）2,x＋1) ＋ eq \f(（y＋2－2）2,y＋2) ＝ eq \f(（x＋1）2－2（x＋1）＋1,x＋1) ＋ eq \f(（y＋2）2－4（y＋2）＋4,y＋2) ＝x＋1－2＋ eq \f(1,x＋1) ＋y＋2－4＋ eq \f(4,y＋2) ＝ eq \f(1,x＋1) ＋ eq \f(4,y＋2) ＋1＝( eq \f(x＋1,7) ＋ eq \f(y＋2,7) )·( eq \f(1,x＋1) ＋ eq \f(4,y＋2) )＋1＝ eq \f(1,7) ＋ eq \f(4（x＋1）,7（y＋2）) ＋ eq \f(y＋2,7（x＋1）) ＋ eq \f(4,7) ＋1≥ eq \f(12,7) ＋ 2 eq \r(\f(4（x＋1）,7（y＋2）)·\f(y＋2,7（x＋1）)) ＝ eq \f(16,7) ，当且仅当 eq \f(4（x＋1）,7（y＋2）) ＝ eq \f(y＋2,7（x＋1）) 结合x＋y＝4，即x＝ eq \f(4,3) ，y＝ eq \f(8,3) 时，等号成立． 要使a≤ eq \f(x2,x＋1) ＋ eq \f(y2,y＋2) 恒成立， 只需满足a≤( eq \f(x2,x＋1) ＋ eq \f(y2,y＋2) )min即可， 故a≤ eq \f(16,7) . 【练5】 (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 BC　解析：因为ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) ≤ eq \f(a2＋b2,2) (a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1 可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up12(2) ，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1 时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1 时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1 可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤ eq \f(x2＋y2,2) ，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1 时等号成立，所以C正确；因为x2＋y2－xy＝1 变形可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,4) y2＝1，设x－ eq \f(y,2) ＝cos θ， eq \f(\r(3),2) y＝sin θ，所以x＝cos θ＋ eq \f(1,\r(3)) sin θ，y＝ eq \f(2,\r(3)) sin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋ eq \f(5,3) sin2θ＋ eq \f(2,\r(3)) sinθcos θ＝1＋ eq \f(1,\r(3)) sin 2θ－ eq \f(1,3) cos 2θ＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(4,3) ＋ eq \f(2,3) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6))) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)) ，所以当x＝ eq \f(\r(3),3) ，y＝－ eq \f(\r(3),3) 时满足等式，但是x2＋y2≥1 不成立，所以D错误．故选BC. 【例6】 某厂家拟在2025年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－ eq \f(k,m＋1) (k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大，最大值是多少？ 解：(1)由已知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k，所以k＝2，所以x＝3－ eq \f(2,m＋1) .由已知，每件 产品的销售价格为1.5× eq \f(8＋16x,x) (元)，所以2023年的利润y＝1.5x· eq \f(8＋16x,x) －8－16x－m＝－[ eq \f(16,m＋1) ＋(m＋1)]＋29(m≥0). (2)因为当m≥0时， eq \f(16,m＋1) ＋(m＋1)≥2 eq \r(16) ＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当 eq \f(16,m＋1) ＝m＋1，即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元). 所以该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 【练6】 某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800 m2的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2 m的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是(　　) A．1 208 m2 B．1 448 m2 C．1 568 m2 D．1 698 m2 C　解析：设|AB|＝x m(x>0)， 则种植花卉区域的面积S＝(x－4)( eq \f(1 800,x) －2)＝－2x－ eq \f(7 200,x) ＋1 808. 因为x>0，所以2x＋ eq \f(7 200,x) ≥2 eq \r(14 400) ＝240，当且仅当x＝60时，等号成立， 则S≤－240＋1 808＝1 568，即当|AB|＝60 m， |BC|＝30 m时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1 568 m2.故选C. $$