第1章 第3节 等式与不等式、一元二次不等式（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第三节　等式与不等式、一元二次不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 a＞b a＜b 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 a＞b a＞c a＋c＞b＋c a＋c＞b＋d ac＞bc ac＜bc 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 ac＞bd an＞bn 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 一个 2 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 {x|x<x1或x>x2} R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 f (x)g(x)>0(<0) f (x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 × × √ × 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课时作业(三) 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 谢谢观看！ 课标解读 1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 2．结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 3．了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 4．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．关于实数a与b大小的比较，有以下基本事实 如果a－b>0，那么a＞b；如果a－b＝0，那么a＝b；如果a－b<0，那么a＜b.反过来也成立．即a－b＞0⇔______；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔______． 2．不等式的性质 性质1　如果a＞b，那么b＜a; 如果b＜a，那么______．即a＞b⇔b＜a. 性质2　如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒______． 性质3　如果a＞b，那么______________． 推论1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b. 推论2　如果a＞b，c＞d，那么______________． 性质4　如果a＞b，c＞0，那么__________;如果a＞b，c＜0，那么__________． 推论3　如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么__________． 推论4　如果a＞b＞0，那么________(n∈N＋). 性质5　如果a＞b＞0，那么 eq \r(n,a) ＞ eq \r(n,b) (n∈N＋). 性质6　如果a＞b，且ab＞0，那么 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) . 如果a＞b，且ab＜0，那么 eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) . 3．一元二次不等式 只含有____未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式． 4．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异的实根x1，x2(x1＜x2)　 有两个相等实根x1＝x2＝－ eq \f(b,2a) 没有 实根 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ______________ __________________________ ____________________ __ 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 _____________ __ __ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R)))) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(且x≠－\f(b,2a))) 5.分式不等式与整式不等式 (1) eq \f(f（x）,g（x）) >0(<0)⇔______________________________； (2) eq \f(f（x）,g（x）) ≥0(≤0)⇔_____________________________________． 1．判断正误 (1)一个不等式的两边同时加上或乘以同一个数，不等号方向不变．(　　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　　) 2．已知正实数x，y满足x<y，设a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x(其中e为自然对数：e≈2.718 28…)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a A　解析：因为a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，所以b－c＝y(ey－ex)， 又y>x>0，e>1，所以ey>ex，所以b>c. 又c－a＝(x－y)＋(y－x)ex＝(x－y)(1－ex)， 又y>x>0，ex>1，所以c>a. 综上，a<c<b.故选A. 3．(多选)对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为(　　) A．若a＞b，则 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) B．若a＞b，则ac2≥bc2 C．若a＞0＞b，则a2＜－ab D．若c＞a＞b＞0，则 eq \f(a,c－a) > eq \f(b,c－b) BD　解析：根据a＞b，取a＝1，b＝－1，则 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) 不成立，故A错误；因为a＞b，所以由不等式的基本性质知 ac2≥bc2成立，故B正确；由 a＞0＞b，取 a＝1，b＝－1，则 a2＜－ab 不成立，故C错误；因为c ＞a ＞b ＞0，所以(a－b)c ＞0，所以ac－ab ＞bc－ab，即a(c－b)＞b(c－a)，因为c－a＞0，c－b＞0，所以 eq \f(a,c－a) > eq \f(b,c－b) ，故D正确．故选BD. 4．(多选)若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是(　　) A．－ eq \f(13,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(13,2) BD　解析：由x2－(m＋3)x＋3m<0，得(x－3)·(x－m)<0. 当m>3时，不等式(x－3)(x－m)<0的解为3<x<m，要想有3个整数解，只需6<m≤7； 当m＝3时，不等式(x－3)(x－m)<0的解集为∅，不符合题意； 当m<3时，不等式(x－3)(x－m)<0的解为m<x<3，要想有3个整数解，只需－1≤m<0； 综上所述，实数m的取值范围是[－1，0)∪(6，7]. 对选项逐一检验，只有m＝－ eq \f(1,2) ，m＝ eq \f(13,2) 符合．故选BD. 5．(忽视不等式性质致误)不等式 eq \f(x－1,x＋2) ≤2的解集是(　　) A．(－∞，－5)∪(－2，＋∞) B．(－∞，－5]∪(－2，＋∞) C．(－∞，－5)∪[－2，＋∞) D．(－∞，－5]∪[－2，＋∞) B　解析：原不等式可化为 eq \f(x－1,x＋2) －2≤0⇒ eq \f(x＋5,x＋2) ≥0，解得x≤－5或x＞－2， 所以原不等式的解集为(－∞，－5]∪(－2，＋∞). 6．(忽视m为零的讨论致误)对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________________． 答案：(－4，0]　解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，)))) 解得－4<m<0.综上，实数m的取值范围是(－4，0]. 1.(多选)(2023·山东济南模拟)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　　) A． eq \f(1,a－c) > eq \f(1,b－c) B．a－c>2b C．a2>b2 D．ab＋bc>0 BC　解析：对于A，因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以 eq \f(1,a－c) < eq \f(1,b－c) ，A选项错误； 对于B，因为a>b>c，a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以b＋c＝－a<0，a－b>0， 所以a－b>b＋c，即a－c>2b，B选项正确； 对于C，因为a－b>0，a＋b＝－c>0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，C选项正确； 对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D选项错误．故选BC. 2．(多选)已知a，b，c均为非零实数，且a>b>c，则下列不等式中，一定成立的是(　　) A．ac>bc B．ac2>bc2 C．(a－b)c<(a－c)c D．ln eq \f(a－b,a－c) <0 BD　解析：对于A，取特殊值a＝2，b＝1，c＝－1，满足a>b>c，但ac<bc，故A不正确； 对于B，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c，所以c2>0，所以ac2>bc2，故B正确； 对于C，取特殊值a＝3，b＝2，c＝－1，满足非零实数a>b>c，此时(a－b)c＝(3－2)－1＝1，(a－c)c＝(3＋1)－1＝4－1＝ eq \f(1,4) ，(a－b)c>(a－c)c，故C不正确； 对于D，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c， 所以－b<－c，a－c>0，a－b>0， 所以0<a－b<a－c，0< eq \f(a－b,a－c) <1， 所以ln eq \f(a－b,a－c) <ln 1， 即ln eq \f(a－b,a－c) <0，故D正确． 3．已知M＝ eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1) ，N＝ eq \f(e2 023＋1,e2 024＋1) ，则M，N的大小关系为________________． 答案：M>N　解析：方法一　M－N＝ eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1) － eq \f(e2 023＋1,e2 024＋1) ＝ eq \f(（e2 022＋1）（e2 024＋1）－（e2 023＋1）2,（e2 023＋1）（e2 024＋1）) ＝ eq \f(e2 022＋e2 024－2e2 023,（e2 023＋1）（e2 024＋1）) ＝ eq \f(e2 022（e－1）2,（e2 023＋1）（e2 024＋1）) >0， ∴M>N. 方法二　令f (x)＝ eq \f(ex＋1,ex＋1＋1) ＝ eq \f(\f(1,e)（ex＋1＋1）＋1－\f(1,e),ex＋1＋1) ＝ eq \f(1,e) ＋ eq \f(1－\f(1,e),ex＋1＋1) ，显然f (x)是R上的减函数， ∴f (2 022)>f (2 023)，即M>N. 角度1　不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】 (1)(2023·广东普宁模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，集合B＝ {x|2x＋1>1}，则∁BA＝(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) (2)不等式 eq \f(x＋5,（x－1）2) ≥2的解集是(　　) A．[－3， eq \f(1,2) ] B．[－ eq \f(1,2) ，3] C．[ eq \f(1,2) ，1)∪(1，3] D．[－ eq \f(1,2) ，1)∪(1，3] (1)A　(2)D　解析：(1)∵A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，B＝{x|2x＋1>1}＝{x|x>－1}，∴∁BA＝{x|x≥3}＝[3，＋∞)，故选A. (2)不等式 eq \f(x＋5,（x－1）2) ≥2可化为 eq \f(2x2－5x－3,（x－1）2) ≤0，即 eq \f(（2x＋1）（x－3）,（x－1）2) ≤0， 解得－ eq \f(1,2) ≤x<1或1<x≤3. 【练1】 (2024·江苏南京一模)不等式|x＋ eq \r(2) |<x(x＋2 eq \r(2) )的解集为(　　) A．(－∞，－3 eq \r(2) )∪(2 eq \r(2) ，＋∞) B．(－∞，－2－ eq \r(2) )∪(2－ eq \r(2) ，＋∞) C．(－∞，2－ eq \r(2) )∪(2＋ eq \r(2) ，＋∞) D．(－∞，－2＋ eq \r(2) )∪(2＋ eq \r(2) ，＋∞) B　解析：当x≥－ eq \r(2) 时，原不等式为x＋ eq \r(2) <x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2\r(2))) ，可得x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－1)) x－ eq \r(2) >0， 所以x>2－ eq \r(2) 或x<－1－ eq \r(2) ， 又x≥－ eq \r(2) ，所以x>2－ eq \r(2) ； 当x<－ eq \r(2) 时，原不等式为－x－ eq \r(2) <x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2\r(2))) ，可得x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)＋1)) x＋ eq \r(2) >0， 解得x<－ eq \r(2) －2 或x>1－ eq \r(2) ， 又x<－ eq \r(2) ，所以x<－ eq \r(2) －2. 综上，不等式 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\r(2))) <x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2\r(2))) 的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－2－\r(2))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(2)，＋∞)) .故选B. 角度2　含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 设a为参数，解关于x的一元二次不等式x2－(a＋1)x＋a<0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}． 【变式探究】 将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集． 解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a))) (x－1)<0. 当a>1时，解得 eq \f(1,a) <x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解得1<x< eq \f(1,a) . 综上，当0<a<1时，不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a))))))) ；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))))) . 【练2】 已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2. 解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－ eq \f(a,4) ，x2＝ eq \f(a,3) . ①当a>0时，－ eq \f(a,4) < eq \f(a,3) ，不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x<－\f(a,4)或x>\f(a,3))))))) ； ②当a＝0时，x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}； ③当a<0时，－ eq \f(a,4) > eq \f(a,3) ，不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))或x>－\f(a,4)))) ) . 综上所述，当a>0时，不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x<－\f(a,4)或x>\f(a,3))))))) ；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)或x>－\f(a,4))))))) . 角度1　在实数集R上的恒成立问题 【例3】 (2023·四川德阳诊断)已知p：0≤a≤2，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　解析：命题q：不等式ax2－ax＋1≥0对一切实数x都成立， 当a＝0时，1>0，符合题意； 当a≠0时，有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a≤0，)) 解得0<a≤4， ∴q：0≤a≤4.又p：0≤a≤2， 设A＝[0，2]，B＝[0，4]，则A是B的真子集， 所以p是q成立的充分而不必要条件，故选A. 【练3】 若一元二次不等式2kx2＋kx－ eq \f(3,8) <0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3，0) B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0] A　解析：∵不等式为一元二次不等式， ∴2k≠0，k≠0.即一元二次不等式2kx2＋kx－ eq \f(3,8) <0对一切实数x都成立， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，)) 解得－3<k<0. 综上，k的取值范围是(－3，0). 角度2　给定区间上的恒成立问题 【例4】 若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] A　解析：方法一　令f (x)＝x2－2x＋a，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝（－1）2－2×（－1）＋a≤0，,f（2）＝22－2×2＋a≤0，)) 解得a≤－3，故选A. 方法二　当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，由题意得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3.故选A. 【练4】 (2024·广东中山段考)若x∈[－1，2]时，不等式m≥x2－2x＋3恒成立，则实数m的最小值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．不存在最小值 C　解析：x∈[－1，2]时，不等式m≥x2－2x＋3恒成立，即m≥(x2－2x＋3)max， 令f (x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，x∈[－1，2]， 故f (x)max＝f (－1)＝6， 所以m≥6，即实数m的最小值为6.故选C. 角度3　给定参数范围的恒成立问题 【例5】 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0 恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3) C　解析：令f (a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0 恒成立转化为f (a)>0在a∈[－1，1] 上恒成立． 易知只需f (－1)＝x2－5x＋6>0且f (1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程可解得x<1或x>3. 【练5】 已知当a∈[0，2] 时，不等式ax2＋(a＋1)x＋1－ eq \f(3,2) a<0 恒成立，则x的取值范围为________________． 答案：(－2，－1)　解析：由题意，因为当a∈[0，2] 时，不等式ax2＋(a＋1)x＋1－ eq \f(3,2) a<0 恒成立， 可转化为关于a 的函数f (a)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋x－\f(3,2))) a＋x＋1， 则f (a)<0 对任意a∈[0，2] 恒成立，则满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝x＋1<0，,f（2）＝2x2＋3x－2<0，)) 解得－2<x<－1，即x的取值范围为(－2，－1). 【例6】 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120 eq \r(6t) (0≤t≤24)吨． (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象． 解：(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－120 eq \r(6t) (0≤t≤24). 令 eq \r(6t) ＝x，则x2＝6t，即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40， ∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x2－120x<80，得x2－12x＋32<0，解得4<x<8，即4< eq \r(6t) <8，解得 eq \f(8,3) <t< eq \f(32,3) . 因为 eq \f(32,3) － eq \f(8,3) ＝8，所以每天约有8小时供水紧张． 【练6】 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价每降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加 eq \f(8,5) x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f (x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． 解：(1)由题意，得y＝100 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10))) ·100 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(8,50)x)) . 因为售价不能低于成本价，所以100 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10))) －80≥0，解得0≤x≤2， 所以y＝f (x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0，2]. (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得 eq \f(1,2) ≤x≤ eq \f(13,4) ， 所以x的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) . $$