第1章 第2节 常用逻辑用语（课件PPT）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第二节　常用逻辑用语 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 栏目索引 必备知识 基础落实 关键能力 精准突破 必备知识 基础落实 必居其一且仅居其一 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 ⇒ ⇔ 充分 必要 充分 必要 充分必要 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 ∀ ∃ 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 ∃x∈I，¬p(x) ∀x∈I，¬p(x) 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 √ √ √ √ 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 返回导航 第1轮 数学（X） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 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p(x) _____________________ 1．判断正误 (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　　) (3)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题.(　　　) (4)“三角形内角和是180°”是全称命题．(　　　) 2．(2023·广东省深圳二模)命题“∀a∈N＋，2a≥a2”的否定是(　　) A．∃a∈N＋，2a≥a2 B．∃a∈N＋，2a<a2 C．∀a∈N＋，2a<a2 D．∀a∈N＋，2a>a2 B　解析：“∀a∈N＋，2a≥a2”是全称量词命题，它的否定是存在量词命题“∃a∈N＋，2a<a2”．故选B. 3．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 B　解析：由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立． 由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立． 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 4．已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 D　解析：当a＝－1，b＝4时，p不能推出q； 当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p， 所以p是q的既不充分又不必要条件． 故选D. 5．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，lg x＝1 B．∃x∈R，sin x＝0 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0 C　解析：当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的性质知D是真命题． 6．(忽视二次项系数的讨论致误)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是____________． 答案：[0，4)　解析：①当a＝0时，1>0恒成立，∴a＝0满足条件， ②当a≠0时， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a<0，)))) 解得0<a<4. 综上，实数a的取值范围是[0，4). 1.(2023·河北模拟)“a<11 ”是“∃x∈R，x2－2x＋a<0 ”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B　解析：∃x∈R，x2－2x＋a<0，则要满足Δ＝4－4a>0，解得a<1，因为a<11 a<1，但a<1⇒a<11. 故“a<11 ”是“∃x∈R，x2－2x＋a<0 ”的必要不充分条件．故选B. 2．已知a，b均为不等于0的实数，则“ eq \f(a,b) ＋ eq \f(b,a) ≥2”是“a>0，b>0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B　解析：由 eq \f(a,b) ＋ eq \f(b,a) ≥2，得 eq \f(a,b) ＋ eq \f(b,a) －2＝ eq \f(a2＋b2－2ab,ab) ＝ eq \f(（a－b）2,ab) ≥0， 于是ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，所以充分性不成立； 反之，当a>0，b>0时， eq \f(a,b) ＋ eq \f(b,a) ≥2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a)) ＝2(当且仅当a＝b时，取等号)，则必要性成立，故选B. 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分而不必要条件 B．“ eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) ”是“a＜b”的既不充分又不必要条件 C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B D．“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件 BC　解析：当c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错误； eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) 与a＜b相互之间不能推导，如a＝2，b＝－1时，满足 eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) 但不满足a＜b，反之若a＝－1，b＝2，满足a＜b但不满足 eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) ，∴“ eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) ”是“a＜b”的既不充分也不必要条件，B正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C正确；由a＞b＞0能得出an＞bn，当a＝－4，b＝－2时，a2＞b2，但a＜b，D错误． 【例1】 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求m的取值范围． 解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以A＝{x|－2≤x≤10}． 由“x∈A”是“x∈B”的必要条件，知B⊆A. 又B为非空集合， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，　解得0≤m≤3.,1＋m≤10，)))) 所以m的取值范围是[0，3]. 【变式探究】 若将本例中条件改为“若“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件”，求m的取值范围． 解：由“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件，知BA， 又B为非空集合，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m<10)))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m>－2，,1＋m≤10，)))) 解得0≤m≤3或0≤m<3， 所以0≤m≤3， 故m的取值范围是[0，3]. 【练1】 已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1].若“x∈B”是“x∈A”的充分而不必要条件，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，3] B．(2，3] C．∅ D．[2，3] A　解析：若“x∈B”是“x∈A”的充分而不必要条件，则BA， 所以m＋1≥2m－1，或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，)) 等号不能同时取得，解得m≤3，即m的取值范围是(－∞，3]. 【练2】 (2024·安徽宣城八校联考)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要而不充分条件，则a的最小值为________________． 答案：3　解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要而不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3. 角度1　含有一个量词的命题的否定 【例2】 (2023·河南省开封市一模)设命题p：∀x∈R，ex≥x＋1，则¬p是(　　) A．∀x∈R，ex≤x＋1 B．∀x∈R，ex<x＋1 C．∃x∈R，ex≤x＋1 D．∃x∈R，ex<x＋1 D　解析：∀x∈R，ex≥x＋1的否定是∃x∈R，ex<x＋1.故选D. 【练3】 命题“∃x∈R，x2＝1”的否定形式是(　　) A．∃x∈R，x≠1或x≠－1 B．∃x∈R，x≠1且x≠－1 C．∀x∈R，x≠1或x≠－1 D．∀x∈R，x≠1且x≠－1 D　解析：由特称量词命题的否定形式得：命题“∃x∈R，x2＝1”的否定形式是“∀x∈R，x≠1且x≠－1”．故选D. 【练4】 (2024·山东潍坊二模)十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为(　　) A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 都没有正整数解 B．对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 至少存在一组正整数解 C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 至少存在一组正整数解 D．存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn 至少存在一组正整数解 D　解析：命题的否定形式为换量词，否结论，故只有D满足题意．故选D. 角度2　含有一个量词的命题的真假判断 【例3】 下列命题中，真命题是(　　) A．∃x∈R，sin2( eq \f(x,3) )＋cos2( eq \f(x,3) )＝ eq \f(1,3) B．∀x∈(0， eq \f(π,4) )，sinx>cos x C．∃x∈R，x2＋x＝－2 D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1 D　解析：∀x∈R，均有sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3))) ＋cos2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3))) ＝1，故A是假命题；当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) 时，sinx<cos x，故B是假命题； ∵方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，∴x2＋x＋2＝0无解，故C是假命题；令f (x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，则f (x)为增函数，故f (x)>f (0)＝0，即∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1，故D是真命题．故选D. 【练5】 (2024·咸阳一模)已知命题p：“存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x>1”，则下列说法正确的是(　　) A．¬p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” B．¬p：“不存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” C．¬p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1” D．¬p：“任意x∈(－∞，1)，使得(log23)x≤1” C　解析：因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以¬p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1”． 【练6】 (多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋ eq \r(2) 的值恒为正数 C．∀x∈R，x4<x5 D．∃x∈R，x2－2x＋1≤0 AD　解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x在R上为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cos x＋ eq \r(2) ＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) ＋ eq \r(2) ，当sin (x＋ eq \f(π,4) )＝－1时，y＝0，故B为假命题； 当x＝0时，x4＝x5，故C为假命题； x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故D为真命题． $$