1.1 探索勾股定理（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

1.1 探索勾股定理 【考点1：一直直角三角形的两边，求第三边长】 【考点2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【考点3：等面积法求直接斜边上的高问题】 【考点4：作无理数的线段】 【考点5：勾股定理的证明】 知识点1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【考点1：一直直角三角形的两边，求第三边长】 【典例1】直角三角形两条直角边分别为4和6，则斜边长为（　　） A．6 B． C．10 D．6或 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．144 【变式1-2】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．或12 C． D．12 【考点2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（　　） A．17.5 B．20 C． D．28 【变式2-1】如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式2-2】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．144 B．194 C．12 D．13 【变式2-3】已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【考点3：等面积法求直接斜边上的高问题】 【典例3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4.8 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【考点4：作无理数的线段】 【典例4】边长为1的正方形OABC在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　） A．1 B． C． D． 【变式4-1】如图，数轴上的点A所表示的数为x，则点A坐标为　　． 【变式4-2】（1）如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件： ①所作的正方形的顶点，必须在方格上； ②所作正方形的面积为8个平方单位 （2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹） 知识点2：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【考点5：勾股定理的证明】 【典例5】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E． （1）求证：∠DAC＝∠BCE； （2）如果AC＝BC． ①求证：CD＝BE； ②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【变式5-1】（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理； （2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0），若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值． 【变式5-2】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称