第9章 第3节 统计模型（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第三节　统计模型 课标解读 1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件. 3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 4.理解2×2列联表的统计意义.了解2×2列联表独立性检验及其应用. [对应学生用书P212] 知识点一　相关关系 1.两个变量之间经常存在着相互影响、相互依赖的关系，这些关系常见的有两类：一类是变量之间的关系具有确定性；另一类是变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性. 2.一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示. 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关.此时，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关. 知识点二　回归直线方程 1.回归直线方程：＝x＋，对应的直线称为回归直线，涉及的方法为最小二乘法. 2.回归直线方程的性质 (1)回归直线一定过点(，). (2)一次函数＝x＋的单调性是由的符号决定的，函数递增的充要条件是>0，这说明：y与x正相关的充要条件是>0，y与x负相关的充要条件是<0. 知识点三　相关系数 1.相关系数：用r＝ 来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数). 2.相关系数r的性质 (1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0. (2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强. (3)|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 知识点四　独立性检验 1.2×2列联表：随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下： A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 随机变量χ2＝， n＝a＋b＋c＋d. 2.独立性检验：利用χ2(读作“卡方”)的取值推断随机变量A与B是否独立的方法. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段.(　　√　　) (2)经验回归方程＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点.(　　×　　) (3)事件X，Y关系越密切，由观测数据计算得到的χ2的观测值越小.(　　×　　) (4)两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它们的相关性越强.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(人教B版选择性必修第二册P121习题43A T3改编)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是(　　) A.x与y负相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y正相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关 答案：A 2.(人教B版选择性必修第二册P121习题43A T1改编)某公司根据以往的数据发现，销售收入y万元与广告费x万元线性相关，且回归直线方程为＝120x＋60，估计广告费用每增加2万元时，销售收入增加________万元. 答案：240 3.(苏教版选择性必修第二册P170 T6改编)已知x，y的取值如下表，y与x具有线性相关关系，且经验回归方程为＝0.95x＋，则＝________. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 答案：2.6 4.(人教A版选择性必修第三册P139 T3改编)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.974>3.841＝x0.05，则在犯错误的概率不超过______的前提下，认为x与y不独立. 答案：0.05 [对应学生用书P213] 考点 成对数据的统计相关性 (自悟通) 1.(多选)下列有关经验回归分析的说法正确的是(　　) A.经验回归直线必过样本数据的中心点(，) B.经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C.当相关系数r>0时，两个变量正相关 D.如果两个变量的相关性越强，相关系数r就越接近于1 AC　解析：经验回归直线必过样本数据的中心点(，)，故选项A正确；经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故选项B不正确；当相关系数r>0时，则两个变量正相关，故选项C正确；如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近1或－1，故选项D不正确. 2.(2024·湖南湘潭一中模拟)已知变量xi，yi具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的相关系数ri(i＝1，2，3，4)的大小关系是(　　) A.r1>r3>r4>r2 B.r3>r1>r3>r4 C.r3>r1>r4>r2 D.r1>r3>r2>r4 A　解析：观察题中散点图知，第一、三图是正相关，且第一图中点的集中程度高于第三图，r1接近1，即r1>r3>0，第二、四图是负相关，且第二图中点的集中程度高于第四图，r2接近－1，即r2<r4<0，所以有r1>r3>r4>r2.故选A. 3.为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构统计得到如下数据： 年份x 2020 2021 2022 2023 2024 足球特色学校数y/百个 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70 根据表中数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱(已知：若0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x线性相关性一般；若|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱). 参考公式：r＝，(xi－)2＝10，(yi－)2＝1.3，≈3.605 6. 解：＝2 022，＝1，(xi－)(yi－)＝(－2)×(－0.7)＋(－1)×(－0.4)＋1×0.4＋2×0.7＝3.6， r＝＝≈＞0.75. ∴y与x线性相关性很强. 判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关. (2)相关系数：当r>0时正相关；当r<0时负相关. (3)经验回归方程中：当>0时，正相关；当<0时，负相关. 考点 一元线性回归模型及应用 (精研通) 考法1　线性回归分析 【例1】 (2023·山东菏泽模拟)为了培养孩子的终身锻炼习惯，小明与小红的父亲与他们约定周一到周日每天的锻炼时间不能比前一天少.为了监督两人锻炼的情况，父亲记录了他们某周内每天的锻炼时间(单位：min)，如下表所示，其中小明周日的锻炼时间a忘了记录，但知道36≤a≤60，a∈Z. 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 序号x 1 2 3 4 5 6 7 小明的锻炼时间y/min 16 20 20 25 30 36 a 小红的锻炼时间z/min 16 22 25 26 32 35 35 (1)求这一周内小明锻炼的总时间不少于小红锻炼的总时间的概率； (2)根据小明这一周前6天的锻炼时间，求其锻炼时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日锻炼时间a的值. 参考公式：经验回归方程＝x＋中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 ＝＝，＝－. 参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582；12＋22＋32＋42＋52＋62＝91. 解：(1)因为36≤a≤60且a∈Z，所以a的取值共有25种情况， 又当小明锻炼的总时间不少于小红时，有i＋a≥i， 即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35＋35，得a≥44， 所以小明锻炼的总时间不少于小红锻炼的总时间时，a的取值共有17情况， 所以这一周内小明锻炼的总时间不少于小红的概率为. (2)由题设可知iyi＝1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582， ＝＝， ＝＝， 所以＝＝，＝－＝－×＝11， 所以y关于序号x的线性回归方程为＝x＋11. 当x＝7时，＝×7＋11＝38，估计小明周日锻炼时间a的值为38. 求经验回归方程的步骤 考法2　非线性回归分析 【例2】 (2022·湖北荆州中学模拟)某电器企业统计了近10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告费用x(十万元)的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令ui＝ln xi，yi＝ln yi，得到相关数据如表所示： uivi ui vi u 30.5 15 15 46.5 (1)从①y＝bx＋a；②y＝m·xk(m>0，k>0)；③y＝cx2＋dx＋e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由； (2)根据(1)中选择的回归类型，求出y与x的经验回归方程； (3)预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？(结果保留到万元) 参考数据：≈3.678 8，3.678 83≈49.787. 参考公式：回归方程＝u＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解：(1)由题中散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型y＝m·xk更好. (2)对y＝m·xk两边取对数，得ln y＝k ln x＋ln m，即v＝kn＋ln m， 由题表中数据，得＝＝＝， ∴ln m＝－＝1.5－×1.5＝1，∴m＝e， ∴年广告费用x和年利润额y的回归方程为＝ex. (3)由(2)知y＝ex，令y＝ex>10，得x>，即x>3.678 8， ∴x>3.678 83≈49.787，∴x≈49.8，49.8(十万元)＝498(万元)， ∴下一年应至少投入498万元广告费用. 非线性回归问题的求解步骤 (1)作出散点图或利用已知散点图； (2)根据散点图选择恰当的拟合函数； (3)作恰当变换，将其化成线性函数，求经验回归方程； (4)在(3)的基础上通过变换，可得非线性回归方程. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x(单位：万元)和销售量y(单位：万台)的数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程； (2)若用y＝c＋d模型拟合y与x的关系，可得回归方程y＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型和该模型的R2分别为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好； (3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①广告费x＝20时，销售量及利润的预报值是多少？ ②广告费x为何值时，利润的预报值最大？(计算结果精确到0.01) 参考公式及数据：经验回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计值分别为＝，＝－；≈2.24. 解：(1)∵＝8，＝4.2，iyi＝279.4，＝708， ＝＝＝0.17， ＝－＝4.2－0.17×8＝2.84， ∴y关于x的经验回归方程为＝0.17x＋2.84. (2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， ∴选用y＝1.63＋0.99更好. (3)由(2)知，①当x＝20时，销售量的预报值y＝1.63＋0.99≈6.06(万台)，利润的预报值z＝200×(1.63＋0.99)－20≈1 191.48(万元). ②z＝200(1.63＋0.99)－x＝－x＋198＋326＝－()2＋198＋326＝－(－99)2＋10 127， ∴当＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大， 故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大. 考点 独立性检验 (精研通) 【例3】 (2023·山东日照模拟)第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施.某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下： 满意情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 不满意 25 合计 120 200 (1)完成上述列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率； (2)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关. 附： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)2×2列联表如下： 满意情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 55 150 不满意 25 25 50 合计 120 80 200 所以本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为＝. (2)零假设为H0：本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关. 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝≈2.778<3.841＝χ0.05. 根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关. 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表. (2)根据公式χ2＝计算. (3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断. 某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550(或等于550分)为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表： 优秀 非优秀 合计 一班 35 13 二班 17 25 合计 (1)请完成列联表； (2)根据列联表中的数据，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析推广新课改与总成绩优秀是否有关. 附：χ2＝. α 0.100 0.050 0.010 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 解：(1)补全列联表如下： 优秀 非优秀 合计 一班 35 13 48 二班 17 25 42 合计 52 38 90 (2)零假设为H0：推广新课改与总成绩是否优秀无关. 根据列联表中的数据，得χ2＝≈9.663>6.635＝x0.010， 故根据α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，可以认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系. 分级练(65)　统计模型 分级一　提能强化 1.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的经验回归方程为＝kx＋b，则(　　) A.k与r的符号相同 B.b与r的符号相同 C.k与r的符号相反 D.b与r的符号相反 A　解析：因为相关系数r为正，表示正相关，经验回归直线上升；r为负，表示负相关，经验回归直线下降，所以k与r的符号相同.故选A. 2.(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到如图所示的散点图： 由此散点图判断，在10至40 ℃之间，下列四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2 C.y＝a＋bex D.y＝a＋b ln x D　解析：根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，并结合选项可排除A，B，C. 3.(2022·山东聊城一模)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147.依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，结论为(　　) A.变量x与y不独立 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C.变量x与y独立 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C　解析：按照独立性检验的知识及比对的参数值，当χ2＝6.147，我们可以下结论变量x与y独立.故排除选项A，B；依据α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，6.147<6.635，所以我们不能得到“变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论.故C正确，D错误.故选C. 4.(2022·南平质检)某互联网公司借助某手机应用平台推广自己的产品，对今年前5个月的月平台推广费用x(单位：百万元)与月利润额y(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 p 70 经计算，月平台推广费用x与月利润额y满足经验回归方程＝6.5x＋17.5，则p的值为(　　) A.50 B.56.5 C.60 D.70 A　解析：由于经验回归直线过样本中心点，＝5，＝，代入经验回归方程得＝6.5×5＋17.5，解得p＝50.故选A. 5.(多选)以下四个命题中正确的是(　　) A.已知两个变量具有线性相关关系，其经验回归方程为＝＋x，若＝2，＝1，＝3，则＝1 B.两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C.在经验回归方程＝0.2x＋12中，当变量x每增加一个单位时，则变量平均增加0.2个单位 D.以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到回归方程＝0.3x＋4，则c＝e4，k＝0.3 ACD　解析：对于选项A，＝2，＝1，＝3代入经验回归方程＝＋x，即3＝＋2，则＝1，正确；对于选项B，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，错误；对于选项C，在经验回归方程＝0.2x＋12中，当变量x增加一个单位时，则变量＝0.2(x＋1)＋12＝0.2x＋12＋0.2，平均增加0.2个单位，正确；对于选项D，对y＝cekx两边取对数得ln y＝ln c＋kx，设z＝ln y，则z＝kx＋ln c，与z＝0.3x＋4比较得，则4＝ln c，k＝0.3，即c＝e4，正确. 6.某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如下表： 玩手机 不玩手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20 10 30 经计算χ2的值，则有________%的把握认为玩手机对学习有影响. 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 答案：99.5　解析：由表中数据，计算得到χ2＝＝10，且10>7.879，则有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响. 7.(2023·福建莆田二中模拟)已知变量y关于x的回归方程为＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为________. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 答案：e　解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y，则z＝bx－0.5. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5代入＝－0.5得3.5＝·2.5－0.5，故＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e. 8.(2020·新高考Ⅰ卷)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表： PM2.5 SO2 [0，50] (50，150] (150，475] [0，35] 32 18 4 (35，75] 6 8 12 (75，115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表： PM2.5 SO2 [0，150] (150，475] [0，75] (75，115] (3)根据(2)中的列联表，依据α＝0.01的独立性检验，分析该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度是否有关. 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 解：(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64， 因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64. (2)根据抽查数据，可得2×2列联表： PM2.5 SO2 [0，150] (150，475] [0，75] 64 16 (75，115] 10 10 (3)零假设为H0：该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关， 计算可知χ2＝≈7.484>6.635＝x0.010， 依据α＝0.010的独立性检验，推断H0不成立，即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 9.为了构筑“绿色长城”，我国开展广泛的全民义务植树活动，有力推动了生态状况的改善，森林植被状况的改善，不仅美化了家园，减轻了水土流失和风沙对农田的危害，而且有效提高了森林生态系统的储碳能力.某地区统计了2012年到2021年十年中每年人工植树的成活数yi(i＝1，2，3，…，10)(单位：千棵)，用年份代码xi(i＝1，2，3，…，10)表示2012年，2013年，2014年，2015年，…，2021年，得到如图所示的散点图. 对数据进行回归分析发现，有两个不同的回归模型可以选择.模型一：＝x＋.模型二：＝e＋x，其中e是自然对数的底数. (1)根据散点图，判断所给模型哪个更适宜作为每年人工植树成活数y与年份代码x相关关系的回归分析模型(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)中选定的模型，求出y关于x的回归方程； (3)利用(2)中所求回归方程，预测从哪一年开始每年人工植树成活棵数能够超过5万棵. 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 参考数据：＝385，＝13.5，iyi＝914.1，设zi＝ln yi(i＝1，2，3，…，10)，≈2.5，izi≈150.7，ln 2≈0.693，ln 5≈1.609. 解：(1)根据散点图可知，随着x的增长y呈指数型增长，故应选模型二：＝e＋x. (2)由已知＝e＋x，两边同时取对数可得ln ＝＋x， 令＝ln ，则＝＋x， 由＝＝5.5，iyi≈150.7，≈2.5， ＝385可知， ＝≈＝0.16， ＝－≈2.5－0.16×5.5＝1.62， 所以＝ln ＝1.62＋0.16x，即＝e1.62＋0.16x. (3)令＝e1.62＋0.16x>50，即1.62＋0.16x>ln 50＝ln 25＋ln 2＝2ln 5＋ln 2≈3.911，得x>14.319，预测从2026年开始每年人工植树成活棵树能够超过5万棵. 分级二　知能探究 10.(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：χ2＝， α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 解：(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次， 设A家公司长途客车准点事件为M，则P(M)＝＝；　 B共有班次240次，准点班次有210次， 设B家公司长途客车准点事件为N，则P(N)＝＝. 故A家公司长途客车准点的概率为；B家公司长途客车准点的概率为. (2)列2×2联表得： 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 计算得到χ2＝ ＝≈3.205>2.706， 根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 11.(2023·湖南长沙一中模拟)某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检. (1)在试产初期，该款芯片的批次M生产前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝. ①求批次M芯片的次品率PM； ②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次M的芯片智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率； (2)该企业改进生产工艺后生产了批次N的芯片.某手机生产厂商获得批次M与批次N的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的100名用户中，安装批次M有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N有60部，其中对开机速度满意的有58人.依据α＝0.005的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关？ 附：χ2＝. α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)①批次M芯片的次品率为 PM＝1－[(1－P1)(1－P2)(1－P3)]＝1－××＝. ②设批次M的芯片智能自功检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B， 由已知得P(A)＝，P(AB)＝1－PM＝1－＝， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件B|A， P(B|A)＝＝×＝. (2)零假设为H0：芯片批次与用户对开机速度满意度无关联. 由数据可建立2×2列联表如下：(单位：人) 开机速度满意度 芯片批次 合计 M N 不满意 10 2 12 满意 30 58 88 合计 40 60 100 根据列联表得χ2＝ ＝≈10.67>7.879. 因此，依据α＝0.005的独立性检验，我们推断零假设H0不成立，即能认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联.此推断犯错误的概率不大于0.005. 学科网（北京）股份有限公司 $$