第8章 微专题系列12 斜率公式的应用（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

微专题系列——斜率公式的应用 [对应学生用书P171] 斜率公式的应用主要形式有比较大小、求解点共线问题、求参数取值范围、求函数最值等.由于斜率公式具有把代数问题几何化的功能，因此在解答过程中，借助斜率公式的几何意义画出草图，利用斜率与倾斜角的关系解决问题. 类型 斜率模型的几何意义 【例1】 已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________________. 答案：＜＜　解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小.因为a>b>c>0，所以＜＜. [思维过程] 明确目标→比较大小. 提取信息→已知函数f(x). 建立联系→画出函数图象，利用所求式子的几何意义比较大小. 充分观察待求式的结构特征，抽象出几何意义， 对于函数f(x)图象上两点(a，f(a))，(b，f(b))， 比较与的大小时， 可将问题转化为比较这两点与原点连线的斜率的大小. 类型 求最值问题 【例2】 已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值. 解：如图，函数y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象为抛物线的一部分即曲线段AB，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.易得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是. [思维过程] 明确目标→求代数式最值. 提取信息→已知实数x，y满足的关系式. 建立联系→画出函数图象，利用所求式子的几何意义比较大小. 对于求形如k＝，y＝的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解. 分级练(49)　直线的倾斜角与斜率、直线方程 分级一　提能强化 1.若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　　) A.0 B. C. D.不存在 C　解析：因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为. 2.直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　) A.， B.－，－ C.－，－ D.－， C　解析：将直线变形为斜截式得y＝－x－，所以直线的斜率为－，在y轴上的截距为－. 3.(多选)(2024·山西大同三中十月月考)已知直线l过点M(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B点，则(　　) A.若直线l的斜率为1，则直线l的方程为y＝x＋5 B.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为x＋y＝1 C.若M为AB的中点，则l的方程为3x－2y＋12＝0 D.直线l的方程可能为y＝3 AC　解析：对于A，若直线l的斜率为1，则直线l的方程为y－3＝x＋2，即y＝x＋5，故A选项正确；对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为y＝－x，故B选项错误；对于C，因为中点M(－2，3)，且点A，B在x轴、y轴上，所以A(－4，0)，B(0，6)，故直线AB的方程为＋＝1，即3x－2y＋12＝0，故C选项正确；对于D，直线y＝3与x轴无交点，与题意不符，故D选项错误.故选AC. 4.(2023·山东菏泽模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(　　) A.1±或0 B.或0 C. D.或0 A　解析：由题意知kAB＝kAC，即＝， 即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±. 5.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) B　解析：由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合. 6.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪( C　解析：直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1. 由倾斜角和斜率的关系(如图所示)，得该直线倾斜角的取值范围为∪. 7.已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线都通过定点(　　) A.(－，3) B.(，3) C.(，－3) D.(－，－3) D　解析：直线方程可化为2x＋1－m(y＋3)＝0，令得 ∴直线恒过定点(－，－3).故选D. 8.(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是(　　) A.4 B.－4 C.3 D.－3 CD　解析：设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在x，y轴上的截距分别是－，－，所以6＝××＝.所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3. 分级二　知能探究 9.(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1，0)，B(3，1)，则下列结论正确的是(　　) A.直线l恒过定点(0，1) B.当m＝0时，直线l的斜率不存在 C.当m＝1时，直线l的倾斜角为 D.当m＝2时，直线l与直线AB垂直 CD　解析：直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0，－1)，选项A错误；当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，选项B错误；当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为，选项C正确；当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，kAB＝＝，故k·kAB＝－1，故直线l与直线AB垂直，选项D正确. 10.已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　　) A.1 B. C.2 D.3 D　解析：当x＝0时，y＝a＋3；当y＝0时，x＝. 令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.因为a＞1，所以a－1＞0， 所以t≥5＋2＝9，当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立. 故选D. 11.(多选)直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是(　　) A.3x＋2y＝0 B.2x＋3y＝0 C.x－y－5＝0 D.x＋y－1＝0 BCD　解析：当直线l的截距为0时，此时直线l的方程为y＝－x，即2x＋3y＝0.当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 则解得或 当a＝1，b＝1时，可得直线l的方程为x＋y＝1，即x＋y－1＝0； 若a＝5，b＝－5时，可得直线l的方程为＋＝1，即x－y－5＝0.故选BCD. 12.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________. 答案：，－3　解析：设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tan α. 则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋，其斜率为tan (α＋). 依题意知，tan (α＋)＝2，即＝2，∴tan α＝， ∴正方形一边所在直线的斜率k＝，则相邻一边所在直线的斜率为－3. 综上可知，所求斜率为或－3. 13.已知P(－3，2)，Q(3，4)及直线ax＋y＋3＝0.若沿的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是________. 答案：(－，－)　解析：直线l：ax＋y＋3＝0过定点A(0，－3)，易知PQ，QA，l的斜率分别为kPQ＝，kAQ＝，kl＝－a.如图，若l与PQ延长线相交，由图可知kPQ<kl<kAQ，解得－<a<－. 14.在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f(x)＝k(x－2)＋3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，给出下列四个命题： ①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条；③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条. 其中，所有真命题的序号是________. 答案：②③④　解析：∵直线y＝k(x－2)＋3与x轴，y轴交点的坐标分别是A(2－，0)，B(0，3－2k)，∴S△AOB＝××|3－2k|＝×，当k>0时，S△AOB＝×＝×(4k＋－12)，∵4k＋≥2＝12，当且仅当k＝时取等号，∴S△AOB≥0，当且仅当k＝时取等号，∴当S△AOB＝m>0，在k>0时，k有两个值；当k<0时，S△AOB＝×＝×＝×，∵－4k＋≥2＝12，当且仅当k＝－时取等号，∴S△AOB≥12，当且仅当k＝－时取等号，当S△AOB＝m>12时，在k<0时，k有两个值；∴当m＝0时，仅有一条直线使△AOB的面积为m，故①不正确；当0<m<12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，故②正确；当m＝12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，故③正确；当m>12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，故④正确；综上所述，真命题的序号是②③④. 分级三　素能创新 15.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　　) A.0° B.1° C.2° D.3° C　解析：∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴平行线O3E， 则∠OO3E＝α≈16°，所以直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°. 16.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，求直线＋＝1与坐标轴所围成的三角形的面积. 解：由an＝可知an＝－， 所以Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－， 又知Sn＝，所以1－＝，所以n＝9. 所以直线方程为＋＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9＝45. 学科网（北京）股份有限公司 $$