第8章 第7节 第4课时 定值问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❹课时　定值问题 圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，也是高考重要的考点和热点之一.其求解步骤一般为 一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等； 二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或有多个变量，但是能整体约分也可以)； 三定值：化简式子得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值. [对应学生用书P200] 考点 定值问题 (精研通) 【例】 (2023·河北石家庄二中模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且过点A(2，－1)，直线l与曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程； (2)求证：△MON面积为定值，并求出该定值. (1)解：设双曲线C的焦距为2c(c>0). 由题意，得⇒，则双曲线C的方程为－y2＝1. (2)证明：由于直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，则直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋m，则消去y，得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， Δ＝64k2m2－4(4k2－1)(4m2＋4)＝0⇒4k2＝m2＋1， 设直线l与x轴交于一点D，则|OD|＝－， S△OMN＝S△MOD＋S△NOD＝OD×|yM－yN|＝|k|·|xM－xN|. 双曲线两条渐近线方程为y＝±x， 联立⇒M(，)，联立⇒N(，)， 则S△MON＝·|k|·＝·|k|· ＝··|k|·＝2(定值). 故△MON面积为定值，且定值为2. 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法，其解题流程为变量 1.(2023·湖北恩施高三期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值. (1)解：∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2， ∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，∴＝2，∴a＝1， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)证明：如图，由题意知，A(－1，0)，B(1，0)， 由题可知，直线l斜率不能为零， 故可设直线l的方程为x＝ny＋2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝，∴ny1y2＝－(y1＋y2)， ∵直线MA的斜率k1＝，直线NB的斜率k2＝， ∴＝＝＝＝＝－，为定值. 2.(2022·山东青岛二中高三开学考试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，P(4，6)是C上一点. (1)求C的方程； (2)过点M(1，1)的直线与C交于两点A，B，与直线l：y＝3x－12交于点N.设＝λ，＝μ，求证：λ＋μ为定值. (1)解：设C的焦距为2c，则2c＝|F1F2|＝8，即c＝4，F1(－4，0)，F2(4，0). 由双曲线的定义，得2a＝|PF1|－|PF2|＝－＝4， 即a＝2，所以b＝＝＝2，故C的方程为－＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(m，n)，显然直线AB的斜率存在， 可设直线AB的方程为y－1＝k(x－1)，代入3x2－y2＝12， 得(3－k2)x2－2k(1－k)x＋2k－13－k2＝0. 由过点M(1，1)的直线与C交于两点A，B，得3－k2≠0， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，① 由N(m，n)在直线l：y＝3x－12上，得n＝3m－12，即12－3m＋n＝0，② 由N(m，n)在直线AB上，得n－1＝k(m－1).③ 由＝λ，得＝λ(1－x1，1－y1)， 即x1－m＝λ(1－x1)，解得λ＝.同理，由＝μ，得μ＝， 结合①②③，得λ＋μ＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝0. 故λ＋μ是定值. 分级练(60)　定值问题 分级一　提能强化 1.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值. (1)解：由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4，① 由MF1⊥MF2得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，② 由题意得S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|＝1，③ 由①②③，可得b2＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)证明：依题意，H(0，1)，显然直线RS的斜率存在且不为0， 设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)， 代入椭圆方程并化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.Δ＝16(4k2－m2＋1)>0， 设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，故x1＋x2＝，x1x2＝. kHR＋kHS＝＋＝＋＝2k＋(m－1) ＝2k＋(m－1)＝2k－＝. ∵直线RS过点(2，－1)，∴2k＋m＝－1，∴kHR＋kHS＝－1. 故kHR＋kHS为定值－1. 2.(2023·江苏南通高三期末)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为e，且点(e，3)，(，b)都在双曲线C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF1∥BF2.证明：＋为定值. (1)解：由点(，b)在C：－＝1上，有－＝1，解得a2＝1， 由点(e，3)在C：－＝1上，有×－＝1，即c2－＝1， 即1＋b2－＝1，所以b2＝3. 所以双曲线的方程为x2－＝1. (2)证明：由AF1∥BF2，设直线AF1的倾斜角为θ，如图，连接AF1，BF2， 由双曲线的定义可得|AF2|＝2a＋|AF1|＝|AF1|＋2，|BF1|＝2a＋|BF2|＝|BF2|＋2， 又|F1F2|＝2c＝4， 在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos θ， 即(|AF1|＋2)2＝|AF1|2＋16－2×4·|AF1|·cos θ，所以|AF1|＝， 在△F1BF2中，∠F1F2B＝π－θ，同理可得|BF2|＝， 所以＋＝＋＝，所以＋为定值. 分级二　知能探究 3.(2023·重庆云阳江口中学高三期末)双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与椭圆C2：＋＝1的焦点相同，且渐近线方程为y＝±x，双曲线C1的上下顶点分别为A，B.过椭圆C2上顶点R的直线l与双曲线C1交于点P，Q(P，Q不与A，B重合)，记直线PA的斜率为k1，直线QB的斜率为k2. (1)求双曲线C1的方程； (2)证明：为定值，并求出该定值. (1)解：由椭圆C2：＋＝1的焦点(0，2)，即C1：－＝1(a>0，b>0)中c＝2， 由渐近线方程为y＝±x＝±x，得＝，则由c2＝a2＋b2， 即可求出a＝，b＝1. 所以双曲线C1的方程为－x2＝1. (2)证明：由题意可知，R(0，3)，直线PQ的斜率k存在， 所以设直线PQ方程为y－3＝kx，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程得(k2－3)x2＋6kx＋6＝0， 由根与系数的关系得两式相除，得k＝－，① k1＝，k2＝， ∴＝·＝·＝，② 将①代入②得，＝＝＝－2. 4.(2023·山东即墨高三下学期质检)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆E的标准方程； (2)如图，已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，原点O为△ABC的重心； (ⅰ)如果直线AB，OC的斜率都存在，求证：kAB·kOC为定值； (ⅱ)试判断△ABC的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由. (1)解：因为＝，得到c＝a，又b＝1，a2＝b2＋c2， 解得a＝2，b＝1，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1. (2)(ⅰ)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋m，联立 消去y得到(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得，x1＋x2＝，x1·x2＝， 由Δ＝64m2k2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，得m2<4k2＋1， 设线段AB的中点D，因为O为△ABC的重心， 所以kAB·kOC＝kAB·kOD＝k·＝－为定值. (ⅱ)解：△ABC的面积为定值.理由如下： 设C(x3，y3)，因为原点O为△ABC的重心，所以，当直线AB的斜率不存在时，有C(－2，0)或C(2，0)， 由重心的性质知，当C(－2，0)时，直线AB的方程为x＝1，当C(2，0)时，直线AB的方程为x＝－1，将x＝1或x＝－1代入＋y2＝1，均求得|AB|＝，又点C到直线AB的距离为3， 所以S△ABC＝|AB|×h＝××3＝， 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，由(ⅰ)知， x1＋x2＝，x1·x2＝， 又因为原点O为△ABC的重心，所以x3＝－(x1＋x2)＝，y3＝－(y1＋y2)＝， 又因为点C(x3，y3)在曲线E上，代入＋y2＝1，得＋2＝1， 化简得4m2＝1＋4k2， 又Δ＝64m2k2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝64k2－16m2＋16＝16(4m2－1)－16m2＋16＝48m2， 所以|AB|＝·|x2－x1|＝＝， 原点O到直线AB的距离d＝. 所以S△ABC＝|AB|×3d＝×＝＝为定值， 综上所述，△ABC的面积是定值，定值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$