第8章 第7节 第2课时 范围问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❷课时　范围问题 圆锥曲线中的范围问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求范围问题；二是以直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求范围问题. [对应学生用书P197] 考点 范围问题 (精研通) 考法1　构造不等式求范围问题 【例1】 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点. (1)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 解：(1)连接PF1(图略).由△POF2为等边三角形可知， 在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c， 所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率e＝＝－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16， ·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16，①　x2＋y2＝c2，②　＋＝1.③ 由②③及a2＝b2＋c2，得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2，得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，即a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4. 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞). 考法2　构造函数求范围问题 【例2】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1，). (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(2，0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝t，其中t∈(，2)，求|AB|的取值范围. 解：(1)依题意，得解得 ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)显然直线AB的斜率存在，设AB：y＝k(x－2). 由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， ∴Δ＝8(1－2k2)>0，解得k2<. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－. 由＋＝t，得P(，)， 代入椭圆C的方程，得t2＝. 由<t<2，得<k2<， ∴|AB|＝·＝2. 令u＝，则u∈(，)，∴|AB|＝2∈(0，)， ∴|AB|的取值范围为(0，). 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. (2023·江苏无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(x0，2)，抛物线C的焦点F在以OP为直径的圆上(O为坐标原点). (1)求抛物线C的方程； (2)过点P引圆M：(x－3)2＋y2＝r2(1<r≤)的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求实数t的取值范围. 解：(1)由已知条件，得∠PFO＝90°， 所以x0＝，4＝2p×＝p2，解得 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)由题意可知，过点P引圆(x－3)2＋y2＝r2(1<r≤)的切线斜率存在， 设切线PA的方程为y＝k1(x－1)＋2， 则圆心M到切线PA的距离d＝＝r，整理，得(r2－4)k－8k1＋r2－4＝0. 设切线PB的方程为y＝k2(x－1)＋2，同理，得(r2－4)k－8k2＋r2－4＝0. 所以k1，k2是方程(r2－4)k2－8k＋r2－4＝0的两根，k1＋k2＝，k1k2＝1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1＋8＝0， 由根与系数的关系得2y1＝， 所以y1＝＝－2＝4k2－2，同理，得y2＝4k1－2. 设点D的横坐标为t， 则t＝＝＝ ＝2(k＋k)－2(k1＋k2)＋1＝2(k1＋k2)2－2(k1＋k2)－3. 设m＝k1＋k2，则m＝∈，所以t＝2m2－2m－3， 对称轴m＝>－，则t∈(. 分级练(58)　范围问题 分级一　提能强化 1.(2022·江苏南通模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，虚轴长为，两准线间的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值. 解：(1)依题意可得解得所以双曲线方程为x2－2y2＝1. (2)由(1)可知A(1，0)，依题意可知kAP·kAQ＝－1， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x－2y＝1，x－2y＝1， 则有kAP＝＝，kAQ＝＝， 所以·＝－1，·＝－1， 所以x2y1＋2x1y2＝2y2－y1，y2x1＋2y1x2＝2y1－y2， 作差得x2y1－x1y2＝3(y1－y2)，又PQ的方程为(x2－x1)y＝(y2－y1)x＋x2y1－x1y2， 所以PQ过定点M(3，0)，所以d≤|AM|＝2，即d的最大值为2. 2.(2022·山东肥城模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(，)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，－)中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点Q(2，0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN面积的取值范围. 解：(1)由对称性可知P3，P4都在椭圆C上， 对于椭圆C在第一象限的图象上的点(x，y)， 易知y随x的增大而减小，故P1，P2中只有P2符合. 所以P2，P3，P4三点在椭圆C上， 故b＝1，将P3的坐标代入椭圆C方程得a＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由已知直线l斜率不为0，故设方程为x＝my＋2， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(m2＋2)y2＋4my＋2＝0， ∴Δ＝16m2－8(m2＋2)＝8(m2－2)>0，即m2>2，y1＋y2＝－，y1y2＝. 故S△OMN＝·2·|y1－y2|＝|y1－y2|＝＝， 令＝t>0，则m2＝t2＋2， 令S△OMN＝＝≤＝，当且仅当t＝2，即m2＝6时取等号， ∴△OMN面积的取值范围为(. 分级二　知能探究 3.(2023·四川成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P(0，1)的直线交椭圆C于A，B两点，求·的取值范围. 解：(1)∵e＝＝，2b＝4，∴b＝2， 又a2＝b2＋c2，即a2＝4＋a2，解得a＝4，c＝2， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当直线AB的斜率不存在时，AB：x＝0， 不妨设A(0，2)，B(0，－2)，则·＝－4； 当直线AB的斜率存在时， 设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(4k2＋1)x2＋8kx－12＝0，Δ＝64k2＋48(4k2＋1)>0恒成立， 故x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝ (k2＋1)·(－)－＋1＝＝ ＝－4－∈[－11，－4)， 综上·∈[－11，－4]， 故·的取值范围为[－11，－4]. 4.(2023·辽宁大连模拟)已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，抛物线上一点A(m，2)(m>0)到F的距离为3. (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点B(2，0)且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N.若＝λ，λ∈(，4)，求斜率k的取值范围. 解：(1)由题意知2＋＝3，得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y. 将点A(m，2)(m>0)代入x2＝4y，得m＝2，所以点A的坐标为(2，2). (2)直线l：y＝k(x－2)与抛物线C：x2＝4y联立，消去y得x2－4kx＋8k＝0， Δ＝16k2－32k>0，解得k<0或k>2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则有x1＋x2＝4k，x1x2＝8k，＝，(x2－2，y2)， 则y1＝λy2，即λ＝，又x＝4y1，x＝4y2. 所以λ＝＝()2∈(，4)，则∈(－2，－)∪(，2)， 因为＝＋＋2＝＝2k，设t＝，则2k＝t＋＋2， 因为t∈(－2，－)∪(，2)，则t＋∈(∪， 所以k∈(∪)，因为k<0或k>2， 所以k的取值范围是(－，0)∪(2，). 学科网（北京）股份有限公司 $$