第8章 第6节 直线与圆锥曲线的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第六节　直线与圆锥曲线的位置关系 课标解读 1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题的思想方法. 2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系. [对应学生用书P191] 知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系 1.代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C的交点个数 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 0 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行) 1 a≠0 Δ＞0 两个不相等的解 2 Δ＝0 两个相等的解 1 Δ＜0 无实数解 0 2.几何法：在同一平面直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系. 知识点二　圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2| ＝·. 设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点： (1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝－； (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝； (3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝(y0为中点P的纵坐标). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”. (　　√　　) (2)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”. (　　×　　) (3)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C只有一个公共点”. (　　×　　) (4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.(　　√　　) (5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.(　　×　　) 二、版本互鉴 1.(北师大版选择性必修第一册P77T1改编)直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 答案：A 2.(人教B版选择性必修第一册P164 T2改编)已知直线x－2y＋2＝0与椭圆x2＋4y2＝4相交于A，B两点，则线段AB的长为________. 答案： 3.(人教A版选择性必修第一册P135 例4改编)过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________. 答案： [对应学生用书P192] 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 (自悟通) 1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B.(0，＋∞) C.(0，1)∪(1，5) D.[1，5)∪(5，＋∞) D　解析：由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<≤1且m≠5，解得m≥1且m≠5. 2.(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A.(1，1) B.(－1，2) C.(1，3) D.(－1，－4) D　解析：结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得x－x＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·. 由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图.对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB即为渐近线y＝3x，与双曲线没有交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D. 3.已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A.(1，) B.(1，] C.(，＋∞) D.[，＋∞) C　解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意，得>2， 所以e＝＝>＝. 判定直线与圆锥曲线位置关系的方法 (1)判定直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在圆锥曲线内部或圆锥曲线上判定直线和圆锥曲线有交点. 考点 弦长问题 (精研通) 【例1】 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设，得F(，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设，得x1＋x2＝. 由得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－. 则－＝，得t＝－，满足Δ＞0.所以l的方程为y＝x－. (2)由＝3，得y1＝－3y2. 由得y2－2y＋2t＝0. 所以y1＋y2＝2，即－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. |AB|＝·|y1－y2|＝. 求解直线被圆锥曲线截得的弦长的方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0). 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A. B. C.－ D.－ C　由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3.联立消y得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，则Δ＝36m2－16(3m2－3)>0，得m2<4.所以m＝－. 2.如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，y)(－<x<).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值. 解：(1)设直线AP的斜率为k，则k＝＝x－. 因为－<x<，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1). (2)联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标xQ＝. 因为|PA|＝(x＋)＝(k＋1)， |PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3.因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f(k)在区间(－1，)上单调递增，(，1)上单调递减， 因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值，最大值为. 考点 中点弦问题 (精研通) 【例2】 已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，离心率为，且过点(1，). (1)求椭圆M的方程； (2)若过点N(1，1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程. 解：(1)∵e＝＝＝，则3a2＝4b2. 将(1，)代入椭圆方程，得＋＝1，解得a＝2，b＝， ∴椭圆M的方程为＋＝1. (2)设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ). ∵线段PQ的中点恰为点N，∴xP＋xQ＝2，yP＋yQ＝2. ∵＋＝1，＋＝1，两式相减， 得(xP＋xQ)·(xP－xQ)＋(yP＋yQ)(yP－yQ)＝0， ∴＝－，即直线PQ的斜率为－， ∴直线PQ的方程为y－1＝－(x－1)，即3x＋4y－7＝0. 解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的方法 根与系数 的关系法 将直线方程代入圆锥曲线方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解 点差法 设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2. (1)求椭圆E的方程； (2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过点F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点.证明：直线OD平分线段MN. (1)解：由题意，得解得故椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)， 则2x0＝x1＋x2，2y0＝y1＋y2. 由(1)可得F(－1，0)，则直线DF的斜率为kDF＝＝－. 当n＝0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN； 当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝＝. ∵点M，N在椭圆E上，∴整理， 得＋＝0， 又2x0＝x1＋x2，2y0＝y1＋y2，∴＝－，即直线OP的斜率为kOP＝－. ∵直线OD的斜率为kOD＝－，∴直线OD平分线段MN. 学科网（北京）股份有限公司 $$