第8章 第5节 抛物线（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第五节　抛物线 课标解读 1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程及其简单几何性质. 2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 3.了解抛物线的简单应用. [对应学生用书P187] 知识点一　抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线. 知识点二　抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图象 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 (1)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①x1x2＝，y1y2＝－p2. ②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角). ③以弦AB为直径的圆与准线相切. ④以AF或BF为直径的圆与y轴相切； ⑤过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上，即以焦点弦AB为直径的圆与准线相切. (2)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(2p，0)作直线与抛物线交于A，B两点，则OA⊥OB；过原点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B两点(即OA⊥OB)，则直线AB必过定点(2p，0). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. (　　×　　) (2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　×　　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　×　　) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(　　×　　) 二、版本互鉴 1.(北师大版选择性必修第一册P69T1改编)若抛物线的焦点坐标为(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　　) A.y2＝－6x B.y2＝－12x C.x2＝－6y D.x2＝－12y 答案：D 2.(多选)(人教B版选择性必修第一册P166 练习B T1改编)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，且过点P(－2，2)，则抛物线的标准方程可能为(　　) A.x2＝－4y B.y2＝－4x C.y2＝x D.x2＝y 答案：BD 3.(苏教版选择性必修第一册P104 T5改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________. 答案： 4.(人教A版选择性必修第一册P139 T10改编)已知等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，则这个等腰直角三角形的斜边长为________. 答案：4p 5.(北师大版选择性必修第一册P74 T3改编)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝________. 答案：8 6.(人教B版选择性必修第一册P159 T5改编)抛物线x2＝y上到直线2x－y－4＝0距离最小的点P的坐标为________. 答案：(1，1) [对应学生用书P188] 考点 抛物线的定义及应用 (精研通) 【例1】 (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A.2 B.2 C.3 D.3 (2)(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 (3)(2023·湖北襄阳测试)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点.若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________. (1)B　(2)D　(3)4　解析：(1)由题意，得F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝1，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A在x轴上方，则可求得A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B. (2)因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上， 所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5， 所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4. (3)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. 抛物线定义的应用技巧 (1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. (2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关. 1.已知直线l1：x＝－1，l2：x－y＋1＝0，P为抛物线y2＝4x上任意一点，则点P到直线l1与l2的距离之和的最小值为(　　) A.2 B. C.1 D. B　解析：由抛物线y2＝4x知其准线方程为x＝－1，由抛物线定义可知点P到直线l1：x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离，∴点P到直线l1的距离与点P到直线l2的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线l2：x－y＋1＝0的距离，即d＝＝.故选B. 2.已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，则点A到C的准线的距离为________. 答案：　解析：将点A的坐标(1，)代入抛物线方程，得5＝2p，解得p＝，即y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以A到抛物线C的准线的距离为1－＝. 考点 抛物线的标准方程 (精研通) 【例2】 (1)(2023·广东中山期末)抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为(　　) A.y2＝4x B.y2＝8x C.y2＝12x D.y2＝16x (2)(2023·山东肥城教学研究中心模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，过点M作准线l的垂线，交l于点H，若|MH|＝2，∠HFM＝30°，则抛物线C的方程为________. 答案：(1)B　(2)y2＝6x　解析：(1)因为抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为x＝－，由抛物线定义，得1－(－)＝3，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x. (2)因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以|MF|＝|MH|＝2.又∠HFM＝30°， 所以△MHF是顶角为120°的等腰三角形，所以|HF|＝2， 如图，记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝60°， 所以p＝|QF|＝|HF|sin ∠QHF＝2sin 60°＝3， 所以该抛物线C的方程为y2＝6x. 求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位，确定焦点或准线的位置，再定形，根据条件求p. (2)对于焦点在x轴上的抛物线，为避开讨论，设成y2＝mx(m≠0)，则焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.同理焦点在y轴上的抛物线也可设成x2＝my(m≠0). (2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为____________. 答案：x＝－　解析：抛物线C的焦点为F(，0)，将x＝代入y2＝2px，解得y＝±p.不妨设P(，p)，则kOP＝＝2.因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，所以直线PQ：y－p＝－(x－).令y＝0，得x＝.由|FQ|＝6，得－＝2p＝6，所以p＝3.故C的准线方程为x＝－. 考点 抛物线的简单几何性质 (精研通) 【例3】 (1)(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A.p＝2 B.|MN|＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 (2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　) A.(0，2) B.[0，2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞) (1)AC　(2)C　解析：(1)由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0). 对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)， 所以＝1，即p＝2，所以A选项正确. 对于B，通解　不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.所以M ，N(3，－2)，所以由两点间距离公式可得|MN|＝ ＝，故B选项错误. 优解一　不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B选项错误. 优解二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，Δ＝64>0，则x1＋x2＝，x1x2＝1，所以由弦长公式得|MN|＝×＝，故B选项错误. 光速解　易知直线y＝－(x－1)的倾斜角为，所以|MN|＝＝，故B选项错误. 对于C，通解　由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确. 光速解　由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C选项正确. 对于D，由两点间距离公式可得|MN|＝，|OM|＝，|ON|＝，故D选项错误.综上，选AC. (2)由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0，2)，准线方程y＝－2.由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，即y0＞2. 抛物线几何性质的应用技巧 (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键. 1.(2023·河北唐山高三期末)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是C上两点，若y－2y＝4，则＝(　　) A. B. C. D.2 A　解析：由抛物线C：y2＝4x，得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1.又y－2y＝4，所以4x2－8x1＝4，即x2＝2x1＋1，所以x2＋1＝2(x1＋1)，即|BF|＝2|AF|，所以＝.故选A. 2.已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　) A. B. C.1 D.2 D　解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1， 设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1(图略)，则|MM1|＝. 因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6， 所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，得|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2.故选D. 3.(2022·山东济宁三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足＝2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为(　　) A. B. C. D. B　解析：由题意得抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)， 准线方程为x＝－1，如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵＝2，∴|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)， ∴x1＝2x2＋1. ∵|y1|＝2|y2|，∴y＝4y，∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝. ∴线段AB的中点E到该抛物线准线的距离为[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$