第8章 第4节 双曲线（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第四节　双曲线 课标解读 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质. [对应学生用书P183] 知识点一　双曲线的概念 1.定义：一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，|F1F2|称为双曲线的焦距. 2.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，集合P表示的点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，集合P表示的点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，集合P表示的点不存在. 知识点二　双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图象 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 1.等轴双曲线 (1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (2)性质：a＝b；e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项. 2.共轭双曲线 (1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线. (2)性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　×　　) (2)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　　√　　) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　√　　) (4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(人教A版选择性必修第一册P127 T10改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1(x≥4) C.－＝1 D.－＝1(x≥3) 答案：D 2.(人教B版选择性必修第一册P148 练习B T1改编)已知双曲线C过椭圆＋＝1的焦点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：B 3.(苏教版选择性必修第一册P99 T8改编)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 4.(人教B版选择性必修第一册P156 习题26A T4改编)已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F1(－4，0)，一条渐近线方程是3x－2y＝0，则此双曲线的标准方程是________. 答案：－＝1 5.(北师大版选择性必修第一册P66 T3改编)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________. 答案：(3，0)　 6.(苏教版选择性必修第一册P99 T8改编)设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过点(a，0)，(0，b)的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率为________. 答案： [对应学生用书P184] 考点 双曲线的标准方程 (自悟通) 1.(多选)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 AB　解析：设双曲线方程为－＝1(m≠0).又2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 2.(2023·江苏赣榆高级中学模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　) A.x2－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 B　解析：因为焦距为2，故半焦距为，故a2＋b2＝5.因为P(2，1)在一条渐近线上，故×2＝1，解得a＝2，b＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1.故选B. 3.已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a＞0)上一点P到左焦点F1的距离为6，点O为坐标原点，点M为PF1的中点，若|OM|＝5，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±4x A　解析：由|OM|＝5，得|PF2|＝10＞6， ∴点P在双曲线左支上，故|PF1|－|PF2|＝－4＝－2a， ∴a＝2，得双曲线的方程为－＝1， ∴双曲线C的渐近线方程为y＝±2x. 4.已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线且经过点P(2，3)，则双曲线E的标准方程为__________，顶点坐标为____________. 答案：－＝1　(0，6)，(0，－6)　解析：根据题意，设所求双曲线E的方程为－＝λ(λ≠0).又由双曲线经过点P(2，3)，得－＝λ，即λ＝－4，所以双曲线E的方程为－＝－4，其标准方程为－＝1，顶点坐标为(0，6)，(0，－6). 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程. (2)待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值. 考点 双曲线的定义及应用 (精研通) 【例1】 (1)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.－＝1(x＜0) B.－＝1(x＞0) C.－＝1(x＜0) D.－＝1(x＞0) (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________. 答案：(1)A　(2)2　解析：(1)设动圆M的半径为r.由题意知，|MC1|＝r＋5，|MC2|＝r＋1，则|MC1|－|MC2|＝4＜|C1C2|＝8，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝4，则b2＝12，则动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x＜0).故选A. (2)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝， ∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“1·2＝0”，则△F1PF2的面积为________. 答案：2　解析：不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2.∵1·2＝0，∴1⊥2， ∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2. (1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支. (2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置. 1.设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上.若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝(　　) A.8 B.4 C.8 D.4 C　解析：由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|， 由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝4，|NF1|－|NF2|＝4， 两式相加，得|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8. 2.(2023·广东普宁华侨中学模拟)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________. 答案：24　解析：由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14，∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24. 考点 双曲线的简单几何性质 (精研通) 考法1　求双曲线的渐近线 【例2】 (1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A. B. C. D. (2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为____________. 答案：(1)D　(2)y＝±x　解析：(1)根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a， 即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交. 通解　由得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝|x1－x2|＝＝. 优解　圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝， 所以|AB|＝2＝2＝. (2)∵e＝＝2，∴c＝2a.又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b＝a， ∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x. (1)求双曲线的渐近线方程的关键是根据双曲线的几何性质列出a，b，c的关系式，但要分清双曲线的焦点在哪个坐标轴上. (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为k2＝＝e2－1. 考法2　双曲线的离心率问题 【例3】 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________. (2)(2022·浙江卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过点F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1<0<x2.若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是________. 答案：(1)　(2)　解析：(1)方法一　由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)， 设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)， 因为＝－，所以即所以A. ＝，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0， 即c2－y＝0，解得y＝4c2. 因为点A在双曲线C上，所以－＝1， 又y＝4c2，所以－＝1，即－＝1， 化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝. 方法二　由方法一得A，y＝4c2， 所以|AF1|＝＝＝＝， |AF2|＝＝＝＝， 由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即－＝2a， 即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝. 方法三　由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|.设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝ m，所以|BD|＝＝ m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝. (2)如图所示，过点F且斜率为的直线AB：y＝(x＋c)，渐近线l：y＝x，解方程组 得B(，)，由|FB|＝3|FA|，得A(－，)，而点A在双曲线上，则－＝1，解得＝，所以离心率e＝. 1.求双曲线离心率或其取值范围问题的解题思路 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围. 2.双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系 当k>0时，k＝＝＝＝；当k<0时，k＝－＝－. 考法3　与双曲线有关的最值、范围问题 【例4】 已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点.若1·2<0，则y0的取值范围是(　　) A.(－，) B.(－，) C.(－，) D.(－，) A　解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)， 则1＝(－－x0，－y0)，2＝(－x0，－y0). 因为1·2<0，所以(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0. 因为点M(x0，y0)在双曲线C上， 所以－y＝1，即x＝2＋2y， 所以3y－1<0，所以－<y0<. 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解. (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决. 　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为(　　) A. B. C.2 D.2 C　解析：因为过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3， 故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)(c>0). 因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c. 因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2， 当且仅当A，B分别为双曲线的左、右顶点时等号成立.所以双曲线离心率的最小值为2. 分级练(54)　双曲线 分级一　提能强化 1.已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　) A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0) C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0) B　解析：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支， 设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5， 所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0). 2.(2022·山东日照三模)下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是(　　) A.y2－x2＝4 B.－y2＝1 C.－x2＝1 D.x2－y2＝1 A　解析：由于双曲线的焦点在y轴上，所以选项B，D不满足题意，选项A中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积为－1，所以两渐近线互相垂直，所以选项A满足题意；选项C中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积不为－1，所以两渐近线不互相垂直，所以选项C不满足题意.故选A. 3.(2022·山东菏泽二模)已知双曲线E：－＝1的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则下列说法正确的是(　　) A.E的焦点到渐近线的距离为2 B.m＝6 C.E的实轴长为6 D.E的离心率为 D　解析：依题意可得＝，得m＝9，故B错误；b＝＝3，a＝2，c＝＝，所以E的焦点到渐近线的距离为＝3，故A错误；因为a＝2，所以E的实轴长为2a＝4，故C错误；E的离心率为＝＝＝＝，故D正确.故选D. 4.(2023·湖北襄阳五中模拟)已知双曲线－＝1的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，1)，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.－＝1 C　解析：由题意得解得所以双曲线的方程为－y2＝1，故选C. 5.(多选)(2023·湖南益阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0)的离心率为，则(　　) A.C的右顶点坐标为(2，0) B.C的焦距为4 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线y＝3x与C有两个交点 ABC　解析：双曲线的虚半轴长b＝4，半焦距c＝，离心率＝＝，得a＝2，则c＝2，双曲线C的右顶点为(2，0)，A选项正确；双曲线的焦距为2c＝4，B选项正确；双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，C选项正确；直线y＝3x过原点，且斜率为3，大于渐近线的斜率2，所以直线y＝3x与双曲线没有交点，D选项错误.故选ABC. 6.(多选)(2023·山东省威海二模)已知双曲线E：－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2＝，则(　　) A.双曲线E的离心率为 B.双曲线E的渐近线方程为y＝±x C.点P到直线x＝1的距离为2 D.以双曲线E的实轴为直径的圆与l相切 ACD　解析：由双曲线方程可知，a2＝3， 设∠PF1F2＝θ，则tan θ＝，那么cos θ＝，sin θ＝， 如图，作PA⊥x轴，垂足为点A，设|PA|＝h，|PF2|＝x，则|PF1|＝x＋2， 所以＝sin ＝，sin θ＝＝， 两式联立解得x＝2，即|PF2|＝2，|PF1|＝2＋2， 在△PF1F2中，由余弦定理， 可得4c2＝(2＋2)2＋(2)2－2×(2＋2)×2×cos ， 4c2＝36，得c＝3， 所以双曲线E的离心率e＝＝＝，故A正确； b＝＝，所以双曲线E的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误； 直线l的方程为y＝(x＋3)，与双曲线方程－＝1联立， 得x2－2x－7＝0，解得x＝1±2，因为点P在双曲线的右支上， 所以点P的横坐标为1＋2，P到直线x＝1的距离为2，故C正确； 以实轴为直径的圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线l的距离d＝＝，故D正确. 故选ACD. 7.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足∠POF2＝2∠PF1F2，设e1，e2分别是C1，C2的离心率，则e1，e2的关系是(　　) A.e1e2＝2 B.e＋e＝2 C.e＋e1e2＋e＝2 D.e＋e＝2ee D　解析：因为∠POF2＝∠PF1F2＋∠F1PO，∠POF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝∠F1PO，所以OF1＝OP＝OF2＝c，所以PF1⊥PF2， 记椭圆半长轴长为a1，双曲线半实轴长为a2，PF1＝m，PF2＝n， 则由椭圆和双曲线定义可得：m＋n＝2a1…① m－n＝2a2…② ①2＋②2可得2(m2＋n2)＝4(a＋a)， 由勾股定理知，m2＋n2＝4c2，代入上式可得2c2＝a＋a， 整理得＋＝2，即＋＝2，所以e＋e＝2ee，故选D. 8.(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________. 答案：　解析：双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，解得m＝或m＝－(舍去). 9.(2022·河北衡水模拟)已知双曲线C的焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±x，则C的离心率为________. 答案：　解析：由题意，设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0).因为渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以双曲线C的离心率e＝＝＝＝. 10.(2023·山东烟台模拟)在平面直角坐标系xOy中，F为双曲线C：－＝1的一个焦点，过点F的直线l与C的一条渐近线垂直.若l与C有且仅有一个交点，则C的离心率为________. 答案：　解析：如图，不妨设F为右焦点，直线l与渐近线y＝x垂直，要使l与C有且仅有一个交点，则l与另一条渐近线不相交，即l与另一条渐近线平行，则两条渐近线互相垂直，即＝1，则离心率为＝＝. 分级二　知能探究 11.(2023·江苏南京师大附中模拟)已知点A，B是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，过点B作倾斜角为的直线l交C于点P，点M是线段AP的中点.若|OM|＝|OA|，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D.＋1 A　解析：易得O是线段AB的中点，又点M是线段AP的中点，如图所示，则OM∥PB，又|OM|＝|OA|，则|AB|＝|PB|＝2a，作PQ⊥x轴于点Q，又∠PBQ＝，则|BQ|＝a，|PQ|＝a，则P(2a，a)，代入C可得－＝1，解得b2＝a2，故离心率为＝＝.故选A. 12.(多选)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足＋＋＝0(其中O为坐标原点)，则(　　) A.双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0 B.双曲线C的离心率为 C.||＝1 D.△OMN的面积为6 ABD　解析：如图，设双曲线C的焦距为2c＝2，MN与y轴交于点P，由题意可知|OM|＝c＝，则P(0，b)， 由＋＋＝0得点E为△OMN的重心， 可得|OE|＝|OP|，即a＝b，＝＝， 所以a＝2，b＝3，e＝.双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，||＝2， M的坐标为(2，3)，S△OMN＝×4×3＝6，故选ABD. 13.(多选)(2022·河北唐山三模)已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则(　　) A.|PF1|－|PF2|＝2 B.双曲线C的渐近线方程为y＝±x C.双曲线C的离心率为 D.|1＋2|≥2 CD　解析：双曲线C：－x2＝1焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2.对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误；对于B选项，焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误；对于C选项，e＝＝＝，故C正确；对于D选项，设P(x，y)，则|PO|＝＝＝≥(x＝0时等号成立)，因为O为F1F2的中点，所以|1＋2|＝|2|＝2||≥2，故D正确.故选CD. 14.(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________. 答案：2(满足1<e≤皆可)　解析：双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4，可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝＝≤＝， 又因为e>1，所以1<e≤，故e的一个值为2(满足1<e≤皆可). 15.(2022·福建莆田三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F.圆O：x2＋y2＝a2与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线FP与双曲线C交于点Q，且＝，则双曲线C的离心率为________. 答案：　解析：如图所示，设双曲线的左焦点为F1， 设直线OP的倾斜角为θ，则tan θ＝，得cos θ＝，由题意可知|OP|＝a，P为QF的中点，则|QF1|＝2a，则双曲线的定义有|QF|－|QF1|＝2a，从而|PF|＝2a，所以在△POF中，由余弦定理得cos θ＝＝，整理得5a2＝c2，从而得e＝. 16.(2023·湖北七市联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(3，0)，点N的坐标为(0，2)，点M为双曲线C左支上的动点，且△MNF的周长不小于20，则双曲线C的离心率的取值范围为________. 答案：(1，]　解析：设双曲线C的左焦点为F′，连 接MF′，F′N(图略)，则|MF|－|MF′|＝2a，即|MF|＝|MF′|＋2a，故|MF|＋|MN|＝|MF′|＋|MN|＋2a≥|F′N|＋2a，当且仅当N，M，F′三点共线时等号成立.由F(3，0)，F′(－3，0)，N(0，2)可得|F′N|＝|FN|＝＝7，故△MNF的周长为|MN|＋|MF|＋|NF|≥|F′N|＋2a＋|NF|＝14＋2a.依题意，△MNF周长的最小值14＋2a≥20，解得a≥3，所以双曲线C的离心率e＝≤＝.又e＞1，可得1＜e≤. 分级三　素能创新 17.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，南非双曲线建筑物惊艳世界(如图).若将此建筑物外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，则此双曲线的离心率为(　　) A.2 B.3 C.2 D.2 B　解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，可得解得所以双曲线的离心率为e＝＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$