第8章 第3节 椭圆（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第三节　椭　圆 课标解读 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. [对应学生用书P179] 知识点一　椭圆的概念 1.定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，|F1F2|称为椭圆的焦距. 2.P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数. (1)若a>c，则集合P表示的点的轨迹为椭圆. (2)若a＝c，则集合P表示的点的轨迹为线段. (3)若a<c，则集合P表示的点不存在. 知识点二　椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图象 性质 范围 x∈[－a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，且e∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 (1)设P为椭圆上不同于长轴两端点的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则①b≤|OP|<a；②a－c<|PF1|<a＋c. (2)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长的弦为长轴. (3)过原点最长的弦为长轴，最短的弦为短轴. (4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)；④S△PF1F2＝b2·tan . 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　×　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　×　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　√　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(人教A版选择性必修第一册P115 T1改编)如果点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式：＋＝10，则动点M满足的轨迹方程是(　　) A.x2＋y2＝10 B.x2＋y2＝5 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：D 2.(人教B版选择性必修第一册P134 T3改编)已知椭圆C中的b＝3，经过点(0，－4)，焦点在y轴上，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：A 3.(人教A版选择性必修第一册P109 T1改编)如果椭圆＋＝1上一点P与焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________. 答案：4 4.(北师大版选择性必修第一册P53 T3改编)已知椭圆的长轴与短轴之比为3∶2，则它的离心率为________. 答案： 5.(人教B版选择性必修第一册P141 T4改编)已知椭圆的一个焦点为F(6，0)，且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是________. 答案：＋＝1 [对应学生用书P180] 考点 椭圆的定义及应用 (自悟通) 1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 A　解析：由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|， ∴点P的轨迹是以O，F为焦点的椭圆. 2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 C　解析：由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式， 得|MF1|·|MF2|≤()2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立. 3.(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　) A. B. C. D. B　解析：方法一　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝　①，由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6　②.由①②，解得mn＝.设|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得＝－，得x2＝＝＝，所以|OP|＝. 方法二　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，α＝∠F1PF2，则cos ∠F1PF2＝cos α＝，故sin ∠F1PF2＝sin α＝＝＝，则tan＝或tan ＝2(舍去).故△F1PF2的面积S△F1PF2＝b2tan ＝6×＝3.又S△F1PF2＝×2c|y0|＝|y0|，故y＝3，又＋＝1，所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝. 方法三　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图(图同方法一)， 设点P的坐标为(x0，y0)，利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝. 因为cos ∠F1PF2＝，所以sin ∠F1PF2＝，故S△F1PF2＝＝3. 又S△F1PF2＝×2c|y0|＝|y0|，故y＝3，又＋＝1， 所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝. 方法四　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图(图同方法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝　①，由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6　②.由①②，解得mn＝.因为＝(1＋2)，所以||2＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)＝[(m＋n)2－mn]＝，所以|PO|＝. 4.设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________. 答案：　解析：由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|PF1|·|PF2|＝4a2－16，∴|PF1|·|PF2|＝，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝××＝. 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 考点 椭圆的标准方程及应用 (自悟通) 1.(2023·宁夏银川高级中学月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，AB⊥F1F2于点F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2，则椭圆方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 C　解析：由题意得c＝，＝4，c2＝a2－b2，解得a＝3，b＝， 所以所求椭圆方程为＋＝1. 2.(2022·湖北荆州中学三模)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 A　解析：由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0). 因为椭圆C的离心率为，面积为12π，所以 解得a2＝16，b2＝9，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A. 3.(2023·江苏南京师大附中高三开学考试)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1，0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 B　解析：不妨设A在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1，0)，点C，F1是线段AB的三等分点，则C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以xA＝1，所以＋＝1，则yA＝，即A(1，)， 所以C(0，)，B(－2，－)，将点坐标代入椭圆方程，得＋＝1， 即＋＝1.又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4， 所以椭圆的标准方程是＋＝1.故选B. 确定椭圆方程的“定位”与“定量” 定位 在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式 定量 确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解 考点 椭圆的简单几何性质 (精研通) 考法1　离心率问题 【例1】 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. (2)(2023·广东广州真光中学高三开学考试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使得∠F1PF2＝π，则该椭圆离心率的取值范围是________. 答案：(1)A　(2)　解析：(1)由题易知A(－a，0)，设P(x1，y1)， 则Q(－x1，y1)，则kAP＝，kAQ＝， 故kAP·kAQ＝·＝＝.又＋＝1， 则y＝，所以＝，即＝， 所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选A. (2)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝ ＝ ＝＝－， 所以|PF1|·|PF2|＝4b2. 又|PF1||PF2|≤＝a2，即4b2≤a2， 当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，故4a2－4c2≤a2，所以3a2≤4c2， 即e2≥，解得e∈. 求椭圆离心率或其取值范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解. (3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 考法2　有关最值问题 【例2】 (1)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A. B. C. D.2 (2)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞) (1)A　(2)A　解析：(1)方法一　由题意知B(0，1).设点P的坐标为(x，y)(－1≤y≤1)， 则|PB|＝.① 由＋y2＝1，得x2＝5(1－y2).②　把②代入①， 得|PB|＝＝(－1≤y≤1)， 易知当y＝－时，|PB|max＝. 方法二　由题意知B(0，1)，设点P(cos θ，sin θ)，θ为参数， 则|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－4sin2θ－2sinθ＋6.又因为－1≤sin θ≤1， 所以当sin θ＝－时，(|PB|2)max＝－＋＋6＝，所以|PB|max＝. (2)当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则≥tan 60°＝，即≥，解得0＜m≤1. 当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞). 椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形. (2)椭圆相关量的取值范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0<e<1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的取值范围或最值时，要注意应用这些不等关系. 1.已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0，4)，则|PA|的最大值为(　　) A. B. C.5 D.2 C　解析：设P(x0，y0)，则由题意，得＋y＝1，故x＝4(1－y)，所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－3(y0＋)2＋.又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5.故选C. 2.(2023·山东潍坊一中模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为Q.若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A.(，1) B.(－1，1) C.(0，－1) D.(0，) B　解析：设P(x0，y0)，则Q(，y0). ∵四边形QPF1F2为平行四边形，∴|PQ|＝|F1F2|， ∴－x0＝2c，即x0＝－2c＝∈(－a，a)， ∴－1<<1，∴－1<2－e2－2e<1，得－1<e<1.故选B. 3.(多选)(2023·广东鹤华中学高三开学考试)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点(P不在x轴上)，则(　　) A.椭圆C的焦点在x轴上 B.△PF1F2的周长为8＋2 C.|PF1|的取值范围为 D.tan ∠F1PF2的最大值为3 ABD　解析：对于A，由椭圆的方程可知，椭圆焦点在x轴上，故A正确； 对于B，因为c＝＝，而△PF1F2的周长为2a＋2c＝8＋2，故B正确； 对于C，因为P不在x轴上，所以a－c<|PF1|<a＋c， 所以|PF1|的取值范围为(4－，4＋)，故C不正确； 对于D，设椭圆的上顶点为B，则0≤∠F1PF2≤∠F1BF2<， 所以tan ∠F1PF2的最大值为tan ∠F1BF2. 设∠OBF2＝α，则tan α＝，且∠F1BF2＝2α，而tan 2α＝＝3， 所以tan∠F1PF2的最大值为3，故D正确.故选ABD. 分级练(53)　椭　圆 分级一　提能强化 1.(多选)(2023·湖南高三开学考试)“方程＋＝1表示椭圆”的一个充分条件是(　　) A.m＝－1 B.m＝0 C.m＝1 D.m>0 AC　解析：若方程＋＝1表示椭圆，则解得－2<m<0或0<m<2.故m＝－1与m＝1是－2<m<0或0<m<2的充分条件，故选AC. 2.(2023·河北衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x，y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D.2 A　解析：设椭圆的半焦距为c，由题意可得解得 所以椭圆C的离心率e＝＝，故选A. 3.(2023·广东韶关一模)在椭圆C1：＋＝1与椭圆C2：＋＝1中，下列结论正确的是(　　) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 C　解析：设椭圆C1的焦距为2c1，椭圆C2的焦距为2c2， 则c＝4－3＝1，c＝4－m－(3－m)＝1，∴2c1＝2c2.故选C. 4.(2022·江苏南通模拟)已知椭圆＋＝1的一个焦点为F(－，0)，则这个椭圆的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 C　解析：∵椭圆＋＝1的一个焦点为F(－，0)，∴b2＝2，c＝， ∴a2＝b2＋c2＝3＋2＝5，∴椭圆方程为＋＝1.故选C. 5.(2023·广东清远高三期末)若椭圆C：＋＝1的焦距为6，则实数m＝(　　) A.13 B.40 C.5 D.2 A　解析：因为椭圆C：＋＝1的焦距为6，可知2c＝6，则c＝3，所以a2＝m，b2＝4，所以m－4＝32，解得m＝13.故选A. 6.(2023·山东淄博4月诊断)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos ∠ABC＝，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. D　解析：由题意，可作图如下： 则cos ∠ABF1＝＝，sin ∠ABF1＝＝＝， 即AB∶AF1∶BF1＝3∶4∶5， 可设AB＝3k，则AF1＝4k，BF1＝5k， 由AB＋AF1＋BF1＝AF2＋BF2＋AF1＋BF1＝4a，则4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a， AF2＝2a－AF1＝2k，在Rt△AF1F2中，F1F2＝＝2k＝2c， 则e＝＝＝. 7.(多选)(2023·湖南长沙一中模拟)已知椭圆C：＋＝1，F1，F2是椭圆C的两个焦点，M，N是椭圆C上两点，且M，N分别在x轴两侧，则(　　) A.若直线MN经过原点，则四边形MF1NF2为矩形 B.四边形MF1NF2的周长为20 C.△MF1F2的面积的最大值为12 D.若直线MN经过F2，则F1到直线MN的最大距离为8 BC　解析：对于A，若直线MN经过原点，易知四边形MF1NF2为平行四边形，因为|MN|不一定与|F1F2|相等，所以MF1NF2不一定是矩形，故不正确；对于B，四边形MF1NF2的周长为4a＝20，故正确；对于C，△MF1F2的面积的最大值为×2c×b＝3×4＝12，故正确；对于D，若直线MN经过F2，则F1到直线MN的最大距离为|F1F2|＝2c＝6，故不正确.故选BC. 8.(2022·广东佛山二模)若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是________. 答案：(1，2)　解析：因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上， 所以解得1<k<2，即实数k的取值范围为(1，2). 9.(2023·山东烟台高三期末)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：________. ①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为. 答案：＋＝1(答案不唯一)　解析：只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可，故答案为＋＝1(答案不唯一). 分级二　知能探究 10.(多选)(2023·江苏宿迁模拟)若椭圆C：＋＝1(b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，则下列b的值，能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有(　　) A.b＝ B.b＝ C.b＝2 D.b＝ ABC　解析：以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，因为圆x2＋y2＝c2与椭圆C有公共点，所以c2≥b2，即9－b2≥b2，所以b2≤，即0<b≤，满足条件的有ABC. 11.(2023·山东潍坊模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，直线y＝kx交E于第一象限内的点B.点C在E上，若四边形OABC为平行四边形，则(　　) A.若k越大，则E的长轴越长 B.若k越大，则E越扁 C.若k＝，则E的离心率为 D.若k＝，则E的离心率最大 C　解析：由四边形OABC为平行四边形知BC＝a，故B(，k)，代入椭圆方程得＋＝1，即k2＝3.对于A，若k越大，a越小，A错误；对于B，若k越大，则e＝越小，椭圆越圆，B错误；对于C，若k＝，则e＝＝，C正确；对于D，e＝无最大值，D错误.故选C. 12.(2023·江苏南京一中高三开学考试)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线与椭圆在第一象限相交于点A.已知Q(c，a)，|F2Q|>|F2A|，P是椭圆C上的动点，且|PF1|＋|PQ|<|F1F2|恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是(　　) A.(，1) B.(，) C.(0，) D.(，1) D　解析：椭圆C的图象如图所示， ∵|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|F2Q|＝，|F1F2|＝3c，∴<3c，∴e>， 又|F2Q|>|F2A|，得>，即<，得e>，又椭圆离心率e∈(0，1)， ∴e∈(，1).故选D. 13.(2022·湖南长郡中学一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为____________. 答案：＋＝1　解析：椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋＝1. 14.(2023·山东青岛二模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E交于点A，B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M.由椭圆的光学性质知，F1，A，M三点共线.若|AB|＝a，＝，则＝________. 答案：　解析：如图所示： 因为点B关于l的对称点为M，则|AM|＝|AB|， 因为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，且|AB|＝a， 所以|AF1|＋|BF1|＝3a， 所以＝＝＝， 可得|BF1|＝，则|AF1|＝3a－|BF1|＝， 所以|BF2|＝2a－|BF1|＝，故＝×＝. 15.(2022·湖南长沙模拟)中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F.已知∠BAF＝∠FAO，记该椭圆的离心率为e，则e的取值范围是____________. 答案：(，)　解析：根据角平分线定理＝，＝，结合a2＝b2＋c2及离心率e＝有＝，化简得2e3－2e2－2e＋1＝0.设f(x)＝2x3－2x2－2x＋1，又f()＝－－＋1＝>0，f()＝－－1＋1＝－<0，f′(x)＝6x2－4x－2＝2(3x2－2x－1)＝2(3x＋1)·(x－1)，当x∈(0，1)时，f′(x)<0恒成立，故f(x)在(0，1)上单调递减，所以e∈(，). 分级三　素能创新 16.某同学在篮球场打球时，无意间发现当球放在地面上时，球的斜上方的一只灯泡照过来的光线使得球在地面上留下了影子，这个影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但自己还是不太确定这个想法，于是他回到家里重新翻阅了教材对椭圆这一节知识进行学习和思考，当他读到教材中的阅读材料后明白自己的猜想没有问题，而且通过学习，他还确定地面和球的接触点(切点)就是椭圆影子的焦点，如图，地平面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡(当成质点)，灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在地平面上的点为A，椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率为________. 答案：　解析：如图，以A为原点建立直角坐标系， 由题可知|NQ|＝a＋c，|QR|＝a－c，因此只需要求出N，Q，R的横坐标即可， 由题可得P(0，3)，R(－1，0)，则PR：3x－y＋3＝0，kPR＝3， 设M(n，1)，Q(n，0)，则M到PR的距离d＝＝1， 解得n＝，则|QR|＝－1＝＝a－c， 又设PN：kx－y＋3＝0，由d＝＝1，得(n2－1)k2＋4nk＋3＝0， ∴kPR·kPN＝，则kPN＝，则xN＝＝3－3n2， ∴a＋c＝|NQ|＝3n2＋n－3＝＋1， ∴解得a＝，c＝，∴离心率e＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$