第8章 第2节 第1课时 圆的方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❶课时　圆的方程 [对应学生用书P176] 考点 求圆的方程 (自悟通) 1.(2023·重庆南开中学模拟)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则这个圆的方程为(　　) A.x2＋y2＋4x－2y＋7＝0 B.x2＋y2－8x－2y－9＝0 C.x2＋y2＋8x＋2y－6＝0 D.x2＋y2－4x＋2y－5＝0 B　解析：由题意可知圆心(4，1)，圆的直径为＝2，半径为，所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，即x2＋y2－8x－2y－9＝0.故选B. 2.(2023·福建福州模拟)已知A(－，0)，B(，0)，C(0，3)，则△ABC外接圆的方程为(　　) A.(x－1)2＋y2＝2 B.(x－1)2＋y2＝4 C.x2＋(y－1)2＝2 D.x2＋(y－1)2＝4 D　解析：设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 则△ABC外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝4.故选D. 3.圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为_______________________. 答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10　解析：方法一(几何法)　设点C为圆心.因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a).又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法二(待定系数法)　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由题意得，解得 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法三(待定系数法)　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为(－，－).由题意，得解得 故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，求出D，E，F的值. 考点 与圆有关的轨迹问题 (精研通) 【例1】 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 解：(1)方法一(直接法)　设C(x，y).因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1. 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)即(x－1)2＋y2＝4(y≠0). 方法二(定义法)　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)， 由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆 (由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0).因为B(3，0)，M是线段BC的中点， 由中点坐标公式，得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法：利用圆的几何性质列方程. (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程. 解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)， 则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，). 因为平行四边形的对角线互相平分，所以线段OP与MN的中点为同一点， 即＝，＝，整理，得 又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆. 又直线OM与该圆相交于两点(－，)和(－，)，不能作出平行四边形，不符合题意，舍去， 所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点(－，)和(－，). 考点 与圆有关的最值问题 (精研通) 考法1　斜率型、距离型、截距型最值问题 【例2】 (多选)(2022·山东泰安三模)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是(　　) A.的最大值为 B.的最小值为0 C.x2＋y2的最大值为＋2 D.x＋y的最大值为3＋ ABD　解析：由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其图象如图， 因为表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，∴∈，∴()max＝，()min＝0，A，B正确；x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，所以x2＋y2的最大值为(|OC|＋1)2.又|OC|＝，所以x2＋y2的最大值为6＋2，C错误；因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故可设x＝2＋cos θ，y＝1＋sin θ，所以x＋y＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin (θ＋)，所以当θ＝时，即x＝2＋，y＝1＋时，x＋y取最大值，最大值为3＋，D正确.故选ABD. 与圆最值问题有关的三种几何转化法 (1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 考法2　利用对称性求最值 【例3】 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________. 答案：2　解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，则圆心C(2，1)，半径r＝. 设A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B(a，b)，则 ∴a＝－4，b＝－2，∴B(－4，－2)， ∴|PA|＋|PQ|的最小值是|BC|－r＝－＝2. 形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点： (1)减少动点的个数； (2)“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2. (2)由题可知表示直线MQ的斜率k. 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. ∵直线MQ与圆C有交点，∴≤2，得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 分级练(51)　圆的方程 分级一　提能强化 1.(2023·江苏泰州模拟)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A.(－2，＋∞) B. C.(－2，－) D.(－2，2) C　解析：由题意得，解得－2<k<，故选C. 2.(2023·湖南雅礼中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－y－1＝0相切的圆的标准方程为(　　) A.x2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋y2＝1 C.x2＋(y－1)2＝ D.(x－1)2＋y2＝4 A　解析：由题意可得圆心为点(0，1)，半径r＝＝，∴所求的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选A. 3.(2022·广东广州三模)设甲：实数a<3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0是圆，则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B　解析：若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，则(－1)2＋32－4a＝10－4a>0，解得a<；∵a<3不能推得a<，而由a<可推得a<3，∴甲是乙的必要不充分条件.故选B. 4.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A. B.－ C.1 D.－1 A　解析：由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A. 5.(2023·江苏盐城模拟)圆C为过点P(4，3)，Q(2，5)的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为(　　) A.[2，5] B.[3，6] C.[5－，5＋2] D.[5－，5＋] D　解析：以PQ为直径的圆最小，则圆心为C(3，4)，半径为，圆心到原点的距离为5，∴M到原点O距离的取值范围为[5－，5＋].故选D. 6.已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 A　解析：设圆心为C(x，y)，则＝1， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图. 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4， 当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A. 7.(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，圆M为△ABC的外接圆，则下列关于圆M的说法正确的是(　　) A.圆M的圆心坐标为(1，3) B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x＋y＝0对称 D.点(2，3)在圆M内 ABD　解析：设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则 解得所以圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，半径为.因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.C错误，因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M内.故选ABD. 8.(2023·广东广州模拟)圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是________. 答案：4　解析：圆的圆心为(0，0)，r＝1，圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离为d＝＝5，所以圆上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是5－1＝4. 9.已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上. (1)求圆心为C的圆的标准方程； (2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值. 解：(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， ∵圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上， ∴解得 ∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25. (2)∵圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为d＝＝5>5， ∴直线与圆C相离，∴|PQ|的最小值为d－r＝5－5. 分级二　知能探究 10.(2020·全国卷Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点.若·＝1，则点C的轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 A　解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 设点A，B分别为(－a，0)，(a，0)(a＞0)，点C为(x，y)， 则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)， 所以·＝(x－a)(x＋a)＋y2＝x2＋y2－a2＝1，整理得x2＋y2＝a2＋1. 因此点C的轨迹为圆. 11.(多选)(2023·山东聊城高三期末)在平面直角坐标系内，已知A(－1，0)，B(1，0)，C是平面内一动点，则下列条件中使得点C的轨迹为圆的有(　　) A.||＝|| B.||＝2|| C.·＝0 D.·＝2 BCD　解析：设点C的坐标为(x，y)则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y).对于A，由||＝||得(x＋2)2＋y2＝(x－2)2＋y2，即x＝0，故A错误；对于B，由||＝2||得(x＋2)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]，整理得3x2＋3y2－10x＋3＝0.，即(x－)2＋y2＝，故B正确；对于C，由·＝0得(x＋1)(x－1)＋y2＝0，即x2＋y2＝1，故C正确；对于D，由·＝2得(x＋1)(x－1)＋y2＝2，即x2＋y2＝3，故D正确.故选BCD. 12.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5　解析：∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径r， ∴＝＝r，解得a＝1， ∴M(1，－1)，r＝，故⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 13.如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是________________. 答案：[－3，－1]∪[1，3]　解析：圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1. ∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1，3]. 14.(2023·山东日照模拟)已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________. 答案：　解析：x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0，1)为圆心，1为半径的圆.如图， 过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，则圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×(－1)＝. 15.设O为坐标原点，动点M在椭圆E：＋＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝. (1)求点P的轨迹方程； (2)设A(1，0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|＝2|AP|总成立？若存在，求出点B坐标；若不存在，说明理由. 解：(1)设点P的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x1，y1)，N(x1，0)， 由＝知即代入＋＝1得x2＋y2＝4. 即点P的轨迹方程为x2＋y2＝4. (2)假设存在点B(m，0)满足条件，设点P的坐标为(x，y)， 由|BP|＝2|AP|，得＝2， 即3x2＋3y2＋(2m－8)x＝m2－4. 此方程与x2＋y2＝4表示同一方程，故解得m＝4. 所以存在点B(4，0)满足条件. 分级三　素能创新 16.已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点P(x0，y0)在直线x－y＋1＝0上运动.若圆C上存在点Q，使∠CPQ＝30°，则x0的取值范围是________. 答案：[－1，1]　解析：如图，点C的坐标为(1，0)，点P在直线x－y＋1＝0上， 若圆C上存在点Q，使得∠CPQ＝30°，当点P在直线x－y＋1＝0上运动，极端情况，PQ与圆C相切，∠CPQ＝30°. 在Rt△CPQ中，|CQ|＝1，所以|CP|＝2. 所以以(1，0)为圆心，2为半径的圆与直线交于P，P1两点. 符合条件的点在线段PP1之间. 所以⇒或 故x0的取值范围为[－1，1]. 17.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1和圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________. 答案：5－4　解析：圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标 A(2，－3)，半径为1， 圆C2的圆心坐标为(3，4)，半径为3， ∴若M′与M关于x轴对称，则PM′＝PM， 即|PM|＋|PN|＝|PM′|＋|PN|， 由图易知，当P，N，M′三点共线时|PM′|＋|PN|取得最小值， ∴|PM|＋|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和， ∴|AC2|－3－1＝－4＝5－4. 学科网（北京）股份有限公司 $$