第8章 第1节 直线方程、两直线的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第八章　平面解析几何 第一节　直线方程、两直线的位置关系 课标解读 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 4.能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直. 5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 6.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离. [对应学生用书P168] 知识点一　直线的方程 1.直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角称为θ，则称θ为这条直线的倾斜角. (2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°). 2.斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3.直线方程的五种形式 (1)点斜式方程：y－y0＝k(x－x0)(不含直线x＝x0). (2)斜截式方程：y＝kx＋b(不含垂直于x轴的直线). (3)两点式方程：＝(x1≠x2，y1≠y2)(不含直线x＝x1和直线y＝y1). (4)截距式方程：＋＝1(不含垂直于坐标轴和过原点的直线). (5)一般式方程：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)(平面直角坐标系内的直线都适用). 知识点二　两条直线的位置关系 1.两条直线的相交、平行与重合 (1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1； l1与l2平行⇔A1B2＝A2B1且C1≠C2； l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且C1＝C2. 2.两条直线的垂直 (1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 3.三种距离 (1)两点间的距离：点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则|AB|＝. (2)点到直线的距离：P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d，d＝. (3)两平行线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d，d＝ (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝ty＋b. 识记几种特殊位置的直线方程 (1)x轴：y＝0； (2)y轴：x＝0； (3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)； (4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)； (5)过原点的直线：y＝kx或x＝0. 谨防4个易错点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况. (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况. (3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 2个充要条件 (1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. . 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(　　√　　) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　×　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　×　　) (4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(　　×　　) (5)当直线l1和l2斜率都存在时，k1＝k2⇒l1∥l2.(　　×　　) (6)如果两条直线l1和l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　×　　) (7)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　×　　) 二、版本互鉴 1.(多选)(人教B版选择性必修第一册P101 习题22B T2改编)已知A(－2, a)，B(a＋1, 3)，C(－1, 2)三点共线，则实数a的值可以为(　　) A.－ B.－1 C.1 D. 答案：AD 2.(苏教版选择性必修第一册P18 T2改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0 D　解析：因为直线的斜率为k＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 3.(北师大版选择性必修第一册P19 T2改编)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 答案：A 4.(湘教版选择性必修第一册P59 例1改编)已知三点A(2，1)，B(5，2)，C(4，3)，则AB的斜率为________；BC的倾斜角为________. 答案：　 5.(人教A版选择性必修第一册P77 T3改编)已知点B(m，6)到直线3x－y＋6＝0的距离为3，则实数m的值为________. 答案：± 6.(人教B版选择性必修第一册P85 T6改编)已知直线l过点A(3，0)，且在两坐标轴上的截距之和为5，则直线l的方程是____________. 答案：2x＋3y－6＝0 7.(湘教版选择性必修第一册P67 T2改编)已知直线l的方程为5x－ay＋10＝0，若直线l与两坐标轴所围成的三角形面积为10，则实数a＝________. 答案：±1 8.(人教A版选择性必修第一册P79 T7改编)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________. 答案： 9.(人教A版选择性必修第一册P102 T1改编)设直线l的方程为x－y cos θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是________. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$