第8章 第1节 第2课时 两条直线的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❷课时　两条直线的位置关系 [对应学生用书P172] 考点 两条直线平行与垂直 (自悟通) 1.已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　) A.－1 B.2 C.0或－2 D.－1或2 D　解析：方法一　∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在.又∵l1∥l2，∴＝－，∴a＝－1或a＝2.又∵两条直线在y轴上的截距不相等.∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行. 方法二　由A1B2－A2B1＝0，得(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.此时A1C2－A2C1＝(a－1)×3－1×1≠0.所以a＝－1或a＝2. 2.(2023·浙江杭州模拟)已知直线l1的方程为x＋ay－2＝0，直线l2的方程为2x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则直线l1与l2的交点坐标为(　　) A.(－，－) B.(0，1) C.(2，5) D.(，) B　解析：因为直线l1的方程为x＋ay－2＝0，直线l2的方程为2x－y＋1＝0，且l1⊥l2，所以2－a＝0，解得a＝2，所以直线l1的方程为x＋2y－2＝0，由解得所以直线l1与l2的交点坐标为(0，1).故选B. 3.已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　) A. B. C. D. D　解析：由题意，得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点(－1，－)时，解得m＝－.所以实数m的取值集合为. (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时，可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 考点 两条直线的交点与距离问题 (自悟通) 1.(2023·江苏苏州模拟)若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A.(－∞，2) B. C.(－∞，－3) D.(－，2) D　解析：联立解得因为交点在第四象限， 所以解得－<m<2.故选D. 2.(2023·广东广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________. 答案：[0，10]　解析：由题意，得点P到直线4x－3y－1＝0的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]. 3.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________. 答案：　解析：因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0.由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为. 利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等. 考点 对称问题 (精研通) 考法1　中心对称问题 【例1】 直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1)对称的直线方程是____________. 答案：x－2y＋11＝0　解析：设所求直线上任一点(x，y)， 则关于M(－2，1)的对称点(－4－x，2－y)在已知直线上， ∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0. 中心对称问题的解法 (1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(x′，y′)，则 (2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决. 过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程. 解：设l1与l的交点为A(a，8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4， 即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 考法2　轴对称问题 【例2】 (1)已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________. (2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________. 答案：(1)(2，6)　(2)x－2y＋3＝0　解析：(1)设点A′的坐标为(x，y). 由题意可知解得所以点A′的坐标为(2，6). (2)设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)， 由得 因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0. 轴对称问题的解法 (1)若点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有 (2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决. 1.(2022·广东潮州二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(3，4)，若将军从点A(－2，0)处出发，河岸线所在直线方程为y＝x，则“将军饮马”的最短总路程为(　　) A.5 B.3 C.45 D.5 B　解析：因为点A(－2，0)关于直线y＝x的对称点为A′(0，－2)，所以|A′B|即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为|A′B|＝＝3.故选B. 2.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　) A.(－2，4) B.(－2，－4) C.(2，4) D.(2，－4) C　解析：设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y).则 解得∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0. 又知点C在直线y＝2x上，联立解得则C(2，4). 3.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A.(0，4) B.(0，2) C.(－2，4) D.(4，－2) B　解析：由题知直线l1恒过定点(4，0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2，1)对称的点为(4，0)，故直线l2所过定点为(0，2).故选B. 分级练(50)　两条直线的位置关系 分级一　提能强化 1.(2023·山东济南历城二中模拟)点P(1，0)到直线x－2y＋1＝0的距离d＝(　　) A. B. C. D. B　解析：d＝＝，故选B. 2.(多选)(2024·江西宜丰中学10月月考)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则(　　) A.若l1⊥l2，则＝－4 B.若l1∥l2，则ab＝3 C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a＝± D.当b<0时，l2不经过第一象限 BCD　解析：A：当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误； B：当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3，故B正确； C：对于直线l1，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－， 所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S＝××＝1，解得a＝±，故C正确； D：由题意知当b<0时，l2：y＝x＋，斜率<0，在y轴上的截距<0， 所以直线过第二、三、四象限，故D正确.故选BCD. 3.已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　) A.x－y＋1＝0 B.x－y＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x＋y＝0 A　解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0. 4.若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点(　　) A.(，) B.(，－) C.(，－) D.(－，) B　解析：∵m＋2n－1＝0，∴m＝1－2n.∵mx＋3y＋n＝0，∴(1－2n)x＋3y＋n＝0，即(1－2x)n＝－x－3y，由解得x＝，y＝－.故直线过定点(，－).故选B. 5.(2023·广东深圳模拟)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 B　解析：易知直线y＝k(x＋1)过定点A(－1，0)，设B(0，－1)，则当线段AB与直线y＝k(x＋1)垂直时，距离最大，此时|AB|＝＝，故选B. 6.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是________________. 答案：3x＋4y＋5＝0　解析：在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0. 7.已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________. 答案：　解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图， 所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8，当k＝－＝时，四边形面积最小. 8.已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________. 答案：或－4　解析：由平面几何知识得AB平行于直线ax＋y＋1＝0或AB的中点(1，3)在直线ax＋y＋1＝0上. 当AB平行于直线ax＋y＋1＝0时，因为kAB＝－，所以a＝； 当AB中点(1，3)在直线ax＋y＋1＝0上时，则a＋3＋1＝0， 即a＝－4.所以a＝或－4. 9.如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米？ 解：如图建立平面直角坐标系，则P点的坐标为(3，4)， 设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)， 所以A(3－，0)，B(0，4－3k)， 所以△ABO的面积S＝(4－3k)(3－)＝(24－9k－)， 因为k<0，所以－9k－≥2＝24， 当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号. 此时，A(6，0)，B(0，8)，得|AB|＝10，所以人行道的长度为10米. 分级二　知能探究 10.(多选)(2023·江苏海安高级中学模拟)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是(　　) A.x－2y＋2＝0 B.2x－y－2＝0 C.2x＋3y－18＝0 D.2x－3y＋6＝0 BC　解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，∵点A(－2，2)，B(4，－2)到直线的距离相等，∴＝，解得k＝－或k＝2.当k＝－时，直线l的方程为y－4＝－(x－3)，整理得2x＋3y－18＝0；当k＝2时，直线l的方程为y－4＝2(x－3)，整理得2x－y－2＝0.综上，直线l的方程可能为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.故选BC. 11.(多选)唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2，4)，军营所在位置为B(6，2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则(　　) A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x－y－8＝0 B.将军在河边饮马的地点的坐标为 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x－6y＋6＝0 D.“将军饮马”走过的总路程为5 BD　解析：由题可知A，B在x＋y－3＝0的同侧， 设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)，如下图所示： 则解得即B′(1，－3). 将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB′， 又A(2，4)，所以直线AB′的方程为7x－y－10＝0，故A错误； 设将军在河边饮马的地点为M，则M即为7x－y－10＝0与x＋y－3＝0的交点， 联立两直线方程解得M，故B正确； 将军从河边回军营的路线所在直线为BM，又B(6，2)， 所以直线BM的方程为x－7y＋8＝0，故C错误； 总路程|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MB′|＝|AB′|＝＝5， 所以“将军饮马”的总路程为5，故D正确. 故选BD. 12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋1－a＝0，a∈R，若直线l在两坐标轴上的截距相等，直线l的方程为__________. 答案：2x＋y＝0或x＋y＋1＝0　解析：直线l的方程为(a＋1)x＋y＋1－a＝0， 即a(x－1)＋x＋y＋1＝0， 令可得可得该直线l经过定点(1，－2). 由于直线l在两坐标轴上的截距相等，分以下两种情况讨论： 若直线l过原点，该直线的斜率为k＝＝－2，直线方程为y＝－2x，即2x＋y＝0； 若直线l不过原点，设它的方程为x＋y＋c＝0，其中c≠0， 再把点(1，－2)代入直线l的方程，可得c＝1，此时直线l的方程为x＋y＋1＝0. 综上可得，直线l的方程为2x＋y＝0或x＋y＋1＝0. 13.设光线l从点A(－4，)出发，经过x轴反射后经过点B(0，)，则光线l与x轴的交点为________，若该入射光线l经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为________. 答案：(－1，0)　－　解析：点A(－4，)关于x轴的对称点为A′(－4，－)，则直线A′B：y＝x＋与x轴交于点(－1，0)，所以光线l与x轴的交点为(－1，0)；由入射角是60°，得折射角是30°，且光线经过(－1，0)，得出折射光线所在直线方程为y＝－x－，所以纵截距为－. 14.(2023·江苏南京模拟)已知实数a，b，c，d满足＝＝，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________. 答案：　解析：∵实数a，b，c，d满足＝＝，∴3a－4b＝0，3c－4d＋9＝0，∴点(a，b)在直线3x－4y＝0上，点(c，d)在直线3x－4y＋9＝0上，∴(a－c)2＋(b－d)2的几何意义就是直线3x－4y＝0上的点到直线3x－4y＋9＝0上点的距离的平方，故所求最小值为()2＝. 15.已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0). (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； (2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大. 解：(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)， 则解得 所以C′(－1，1).所以直线AC′的方程为y＝1. 由得直线AC′与直线l的交点为P(，1)，此时|AP|＋|CP|取最小值. (2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)， 则 解得所以B′(3，3). 所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0.由得直线AB′与直线l的交点为Q(2，5)，此时|AQ|－|BQ|取最大值. 分级三　素能创新 16.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，即圆内接正多边形的边数无限增加时，其面积可无限逼近圆面积.这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在平面直角坐标系的坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的是(　　) A.x＋(－1)y－＝0 B.(1－)x－y＋＝0 C.x－(＋1)y＋＝0 D.(－1)x－y＋＝0 C　解析：作出符合题意的圆内接正八边形ABCDEFGH，如图所示， 易知A(，0)，B(1，1)，C(0，)， D(－1，1)，则直线AB，BC，CD的方程分别为y＝(x－)，y＝(1－)x＋，y＝(－1)x＋. 整理为一般式，即x＋(－1)y－＝0，(1－)·x－y＋＝0，(－1)x－y＋＝0， 分别对应题中的A，B，D选项.故选C. 17.已知实数a，b满足a2－3ln a－b＝0，c∈R，求(a－c)2＋(b＋c)2的最小值. 解：设f(x)＝x2－3ln x(x＞0)， 则(a－c)2＋(b＋c)2表示曲线y＝f(x)上的点(a，b)到直线y＝－x上的点(c，－c)的距离的平方. f′(x)＝2x－，令2x－＝－1，x＞0， 解得x＝1，所以曲线y＝f(x)上一点到直线y＝－x的最小距离d＝＝， 所以(a－c)2＋(b＋c)2的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$