第8章 第1节 第1课时 直线的倾斜角与斜率、直线方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❶课时　直线的倾斜角与斜率、直线方程 [对应学生用书P170] 考点 直线的倾斜角与斜率 (自悟通) 1.直线2x cos α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. B　解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].又θ∈[0，π)，所以θ∈， 即倾斜角的取值范围是. 2.(2023·安徽宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 D　解析：因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2. 3.已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A.k≥ B.k≤－2 C.k≥或k≤－2 D.－2≤k≤ D　解析：直线l：y＝k(x－2)＋1过定点P(2，1).∵kPA＝＝－2，kPB＝＝， 又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤. (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法. (2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性. 考点 直线方程 (自悟通) 1.经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为(　　) A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0 C.x－y＋5＝0 D.x－y－5＝0 D　解析：倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1.又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0. 2.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________. 答案：2x＋3y－5＝0　解析：联立解得 ∴直线l1，l2的交点为(1，1).∵所求直线的一个方向向量v＝(－3，2)， ∴所求直线的斜率k＝－.则所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0. 3.设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________； (2)若直线l的斜率为1，则m＝________. 答案：(1)－　(2)－2　解析：(1)由直线l在x轴上的截距为－3，得直线过点(－3，0)，代入方程，得(m2－2m－3)×(－3)－0＋6－2m＝0，即3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－，经检验可知当m＝3时，直线方程为y＝0，不符合题意，舍去，所以m＝－. (2)由直线l的斜率为1，得直线方程中x，y的系数互为相反数，且不为0， 所以(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝0，解得m＝－2或m＝－1， 当m＝－1时，2m2＋m－1＝0，不符合题意，舍去，所以m＝－2. 求直线方程的方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程. (2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程. 考点 直线方程的综合应用 (精研通) 考法1　直线过定点问题 【例1】 已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________； (3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________. 答案：(1)(0，3)　(2)(－3，0)　(3)(3，0)　解析：(1)当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0). 考法2　与直线有关的最值问题 【例2】 (1)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________. (2)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程. 答案：(1)5　解析：易得A(0，0)，B(1，3). 设P(x，y)，则消去m得x2＋y2－x－3y＝0， 所以点P在以AB为直径的圆上，PA⊥PB， 所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，|PA|×|PB|≤＝5. (2)解：方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A(，0)，B(0，1－2k). ∵直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点， ∴⇒k<0. 于是S△AOB＝|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝(4－－4k) ≥[4＋2]＝4. 当且仅当－＝－4k，即k＝－时等号成立，△AOB的面积最小值为4， 此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 方法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1. 又∵＋≥2⇒ab≥4， 当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，等号成立，△AOB的面积最小值为4. 此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标. (2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围. (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得∴无论k取何值，直线l总过定点(－2，1). (2)解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$