第7章 第3节 空间中的平行关系与垂直关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第三节　空间中的平行关系与垂直关系 课标解读 1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行、垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行、垂直关系的简单命题. [对应学生用书P146] 知识点一　线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 知识点二　面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行(简记为“面面平行”⇒“线线平行”) ⇒a∥b 知识点三　直线与平面的垂直的判定定理与性质定理 1.定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 3.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)线面角θ的范围：θ∈. 知识点四　平面与平面垂直的判定定理和性质定理 1.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的平面角α的范围：α∈[0，π]. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 应用线面平行判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须具备，缺一不可. 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：(1)平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P；(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β. 面面平行判定定理的一个推论 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)同一条直线与两个平行平面所成角相等. (6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 定义中强调的是“任意一条直线”，它与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直. 线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须是相交的. 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 与垂直有关的结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线和这个平面平行.(　　×　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　　×　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　×　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　√　　) (5)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　×　　) (6)垂直于同一个平面的两平面平行.(　　×　　) (7)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　×　　) (8)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　×　　) 二、版本互鉴 1.(多选)(人教B版必修第四册P109 习题113B T1改编)下列命题中正确的是(　　) A.平行于同一条直线的两条直线平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行 C.平行于同一个平面的两条直线平行 D.平行于同一个平面的两个平面平行 答案：AD 2.(北师大版必修第二册P219 T1改编)下列命题中正确的是(　　) A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 答案：D 3.(苏教版必修第二册P178 T4改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 答案：A 4.(人教A版必修第二册P143 T2改编)已知平面α，β和直线a，b，c，a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则α与β的位置关系为(　　) A.平行 B.相交 C.相交或平行 D.不确定 答案：C 5.(湘教版必修第二册P173 T2改编)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为________. 答案：45° 6.(人教A版必修第二册P152 T4改编)在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心. 答案：(1)外　(2)垂 7.(人教B版必修第四册P108 T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________. 答案：平行四边形　解析：因为平面ABFE∥平面DCGH， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG. 同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形. 8.(苏教版必修第二册P172 T1改编)如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__________；与AP垂直的直线有__________. 答案：AB，BC，AC　AB　解析：因为PC⊥平面ABC， 所以PC垂直于直线AB，BC，AC. 因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC， 又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB. 学科网（北京）股份有限公司 $$