第7章 第3节 第2课时 空间中的垂直关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❷课时　空间中的垂直关系 [对应学生用书P152] 考点 与线面、面面垂直有关的命题真假判断 (自悟通) 1.(多选)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　) A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b B.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β C.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β D.若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β ABD　解析：若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，所以存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β.故B正确；若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确. 2.(多选)在三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，下列结论正确的是(　　) A.异面直线SB与AC所成的角为90° B.直线SB⊥平面ABC C.平面SBC⊥平面SAC D.点C到平面SAB的距离是a ABC　解析：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故A正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故B，C正确；取AB的中点E，连接CE(图略)，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即点C到平面SAB的距离，为a，故D不正确. 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系，要做到作图快、准，甚至无需作图，通过空间想象来判断； (2)寻找反例，只要存在一个反例，结论就不正确； (3)反复验证所有可能的情况，必要时运用判定定理或性质定理进行简单说明. 考点 直线、平面垂直的判定与性质 (精研通) 【例1】 如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)证明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E­BB1C1C的体积. (1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1. (2)解：由(1)知∠BEB1＝90°. 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E， 所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6. 如图，作EF⊥BB1，垂足为F， 则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3. 所以四棱锥E­BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18. 证明线面垂直的四种方法 (1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. (3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) 如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC.求证：PA⊥CD. 证明：因为AB为圆O的直径，C为圆O上一点，所以AC⊥CB. 在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°. 设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2. 由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB. 因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD， 由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB， 又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD. 考点 平面与平面垂直的判定与性质 (精研通) 【例2】 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1­BB1C1C的高. (1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1 C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)解：如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H， 由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C， 又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1， 所以A1H⊥平面BB1C1C，即四棱锥A1­BB1C1C的高为A1H. 由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°， 则△ACB≌ △A1CB，故CA＝CA1.又AA1＝2，∠ACA1＝90°，所以A1C1＝CA1＝. 方法一　由S△CA1C1＝·CA1·A1C1＝·A1H·CC1， 得A1H＝＝＝1，故四棱锥A1­BB1C1C的高为1. 方法二　在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝CC1＝1， 故四棱锥A1­BB1C1C的高为1. 面面垂直判定的两种方法与一个转化 (1)2种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). (2)1个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 如图，在三棱锥P­ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)若PA＝PC，求三棱锥P­ABC的体积. (1)证明：如图，取AC的中点O，连接BO，PO， 因为△ABC是边长为2的正三角形，所以BO⊥AC，BO＝. 因为PA⊥PC，所以PO＝AC＝1. 因为PB＝2，所以OP2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB. 因为AC∩OP＝O，AC，OP⊂平面PAC，所以BO⊥平面PAC.又OB⊂平面ABC， 所以平面PAC⊥平面ABC. (2)解：因为PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2，所以PA＝PC＝. 由(1)知BO⊥平面PAC，所以VP­ABC＝VB­APC＝S△PAC·BO ＝××××＝. 考点 垂直关系的综合问题 (精研通) 【例3】 (2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P­ABC的体积. (1)证明：因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点， 所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB. 记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽∠OBA， 所以∠HBA＝∠AOB. 所以∠HBA＝∠CAB， 所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF， 所以CF＝BF， 故CF＝AF，F是AC的中点. 因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC. 因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC， 所以EF∥DO. 又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)解：由(1)得FO∥AB， 因为AB⊥BC，所以FO⊥BC. 又PO⊥BC， 所以∠POF是二面角P­BC­F的平面角， 所以二面角P­BC­F的大小为120°. 如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB， 则∠POM是二面角P­BC­M的平面角，所以∠POM＝60°. 在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2，得PO＝2，所以PM＝. 所以三棱锥P­ABC的体积V三棱锥P­ABC＝S△ABC×PM＝××2×2×＝. 平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决.注意遵循“空间”到“平面”“低维”到“高维”的转化关系. 1.在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，AD＝1，E为棱BC上一点，且平面DAE⊥平面BCD，则DE＝________. 答案：　解析：过A作AH⊥DE， ∵平面ADE⊥平面BCD，且平面ADE∩平面BCD＝DE， ∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥BC， 又AD⊥BC，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE， ∵AE＝＝，AD＝1，∴DE＝. 2.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是上异于C，D的点. (1)证明：平面AMD⊥平面BMC. (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由. (1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD. 因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面CMD， 又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM. 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC， 所以DM⊥平面BMC. 而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)解：当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：连接AC，BD，交于点O. 因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点.连接OP， 因为P为AM的中点，所以MC∥OP. 又MC⊄平面PBD，OP⊂平面BPD，所以MC∥平面PBD. 学科网（北京）股份有限公司 $$