第7章 第3节 第1课时 空间中的平行关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❶课时　空间中的平行关系 [对应学生用书P149] 考点 线面、面面平行的命题真假判断(自悟通) 1.平面α∥平面β的一个充分条件是(　　) A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D　解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.故选D. 2.在下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　) B　解析：在B中，如图，连接MN，PN， ∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN. 由正方体的性质可知，MN∥DE，PN∥EF， ∴AB∥DE，AC∥EF. ∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF， ∴平面ABC∥平面DEF.故选B. (1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项. (2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. ②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确. 考点 直线、平面平行的判定与性质 (精研通) 【例1】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH. 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点， 又M是PC的中点，所以PA∥OM. 又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD， 所以PA∥平面BMD. 又平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH. 线面平行问题的解题关键 (1)应用线面平行判定定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行. (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线. 如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE. 证明：方法一　∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD， ∵AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE； 又AF∥ED，AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，∴AF∥平面CDE； ∵AF∩AB＝A，AB，AF⊂平面ABF，∴平面ABF∥平面CDE， 又BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE. 方法二　如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF， ∵AF∥DN，且AF＝DN，∴四边形ADNF为平行四边形， ∴AD∥FN，且AD＝FN， 又四边形ABCD为矩形，AD∥BC且AD＝BC， ∴FN∥BC，且FN＝BC，∴四边形BCNF为平行四边形， ∴BF∥NC，∵BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，∴BF∥平面CDE. 考点 平面与平面平行的判定与性质 (精研通) 【例2】 如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面. (2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB， ∴A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. 又A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD， ∵D为BC的中点，∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1. 又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化. 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点. (1)求证：BE∥平面DMF； (2)求证：平面BDE∥平面MNG. 证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO， 则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面BDE， 所以平面BDE∥平面MNG. 考点 平行关系的综合 (精研通) 【例3】 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围. (1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD. 又EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB，又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH. ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH∥FG. ∵EH⊂平面ACD，FG⊄平面ACD，∴EH∥平面ACD. 又FG⊂平面BCD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴FG∥CD. 又CD⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，∴CD∥平面EFGH. (2)解：设EF＝x(0<x<4)，∵EF∥AB，FG∥CD， ∴＝，则＝＝＝1－，∴FG＝6－x. ∵四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长l＝2(x＋6－x)＝12－x. 又∵0<x<4，∴8<l<12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12). 利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明. (1)证明：连接CP并延长与DA的延长线交于点M， 如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形， 所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM， 所以＝＝，又因为＝＝， 所以＝＝，所以PQ∥MD1. 又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA. (2)解：当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA. 如图，证明如下：因为＝，即＝，故＝. 所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR. 所以平面PQR∥平面A1D1DA. 分级练(43)　空间中的平行关系 分级一　提能强化 1.(2022·江苏盐城模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　) A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 B　解析：∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.故选B. 2.已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　) A.l⊂α，m⊂β，α∥β B.α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m C.l∥α，m⊂α D.l⊂α，α∩β＝m B　解析：选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交.故选B. 3.在如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 B　解析：在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1. 又AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC， ∴A1B1∥平面ABC.又过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 4.(多选)已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　) A.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β B.若m⊥α，n∥α，则m⊥n C.若α∥β，m⊂α，则m∥β D.若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等 BCD　解析：若m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n∥α，又n∥β，并不能得到α⊥β这一结论，故A错误；若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得m⊥n，故B正确；若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理可知m∥β，故C正确；若m∥n，α∥β，则由线面角的定义和等角定理知，m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D正确. 5.在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. 答案：平面ABD与平面ABC　解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC. 6.已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________. 答案：平行　解析：假设平面α与β不平行，则α∩β＝c，∵a⊂平面α，a∥β，∴a∥c，∵b⊂平面β，b∥α，∴b∥c，∴a∥b，这与a和b是异面直线相矛盾，故α∥β. 7.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________. 答案：　解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则＝， ∴AB＝＝＝. 8.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明：(1)如图，连接SB，在△SBC中，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB. 又SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD. 又SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1. 由(1)知EG∥平面BDD1B1，又EG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. 分级二　知能探究 9.设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，所有的动点C(　　) A.不共面 B.当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论A，B如何移动都共面 D　解析：根据平行平面的性质，不论A，B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上. 10.(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是(　　) A.FG∥平面AA1D1D B.EF∥平面BC1D1 C.FG∥平面BC1D1 D.平面EFG∥平面BC1D1 AC　解析：∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，F，G分别是B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；同理，C正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误. 11.(2021·北京二模)已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是__________. 答案：　解析：如图所示，E，F，G，M分别是AA1，A1D1，B1C1，BB1的中点，则EF∥AD1，EM∥AB，所以EF∥平面ABD1，EM∥平面ABD1，且EF∩EM＝E，所以平面ABD1∥平面EFGM，故点P的轨迹为矩形EFGM.因为MB1＝B1G＝，所以MG＝，所以S矩形EFGM＝1×＝. 12.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________.(填序号) 答案：①或③　解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确. 13.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1. 答案：M∈线段FH　解析：因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1(答案不唯一). 14.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1. (1)证明：平面ABF∥平面DCE； (2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成体积比为3∶5的上下两部分？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由. (1)证明：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF，又DE⊂平面DCE，AF⊄平面DCE，所以AF∥平面DCE， 因为四边形ABCD是正方形，AB∥CD，所以AB∥平面DCE， 因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF， 所以平面ABF∥平面DCE. (2)解：假设存在一点G满足条件，过G作MG∥BF交EC于点M，连接BG，BM，FG，如图， 由VABCDEF＝VB­ADEF＋VB­CDE ＝×3×＋×3×＝， 得VGFBME＝VB­EFG＋VB­EGM＝×＝. 过点C作BF的平行线交ED于点N，则△ABF≌△DCN，所以DN＝1， 因为MG∥BF，所以MG∥CN.所以△EGM∽△ENC. 设EG＝t，M到ED的距离为h，则＝＝＝，即h＝t， 则S△EGM＝×t×t＝t2， VGFBME＝VB­EFG＋VB­EGM＝×3××3×t＋×3×t2＝， 即4t2＋8t－21＝0，解得t＝或t＝－(舍去)，则存在点G，满足EG＝， 即G为ED的中点时满足条件. 分级三　素能创新 15.(多选)如图，往透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个命题中正确的是(　　) A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.棱A1D1始终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 ACD　解析：由题图知，A正确；水面EFGH中EH，FG的长度不变，EF，HG随倾斜度变化而变化，B错误；因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG.又A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面).所以C正确；因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝(定值)，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$