第7章 第2节 构成空间几何体的基本元素、平面的基本事实与推论（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第二节　构成空间几何体的基本元素、平面的基本事实与推论 课标解读 1.借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理. 3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. [对应学生用书P142] 知识点一　平面的基本事实与推论 基本事实1：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 1.基本事实1及推论是判断或证明点、线共面的依据，基本事实2是判断一条直线是否在某个平面内的依据，基本事实3是证明三线共点或三点共线的依据. 2.三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. 知识点二　构成空间几何体的基本元素 1.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围：(0，]. 2.直线与平面的位置关系 有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况. 3.平面与平面的位置关系 有平行、相交两种情况. 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　　×　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　√　　) (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合.(　　×　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.(　　×　　) 二、版本互鉴 1.(人教B版必修第四册P95 T7改编)下列命题正确的是(　　) A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 答案：D 2.(人教B版必修第四册P99 练习A T3改编)下列命题中，正确的是(　　) A.4条边相等的空间四边形是菱形 B.空间中，与同一条直线异面的两条直线一定异面 C.空间中，如果∠BAC＝∠B′A′C′且AB∥A′B′，则AC∥A′C′ D.直线AB与直线CD是异面直线，则直线AC与直线BD一定异面 答案：D 3.(苏教版必修第二册P167 T2改编)直线l与平面α不平行，则(　　) A.l与α相交 B.l⊂α C.l与α相交或l⊂α D.以上结论都不对 答案：C 4.(多选)(人教B版必修第四册P94习题112A T2改编)下列命题中，正确的是(　　) A.过一条直线的平面有无数多个 B.如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数多个公共点，并且这些公共点都在直线AB上 C.两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 D.两个相交平面可能存在不在一条直线上的3个公共点 答案：AB 5.(人教A版必修第二册P132 T4改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 C　解析：假设c∥b，又因为c∥a，所以a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能平行. 6.(人教A版必修第二册P132 T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分. 答案：8　4 [对应学生用书P143] 考点 基本事实的应用 (自悟通) 1.下列各图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) D　解析：A，B，C选项中四点一定共面，D中四点不共面. 2.在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点.如果EF∩HG＝P，那么点P(　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上 B　解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC. 3.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是______. 答案：共线　解析：∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD， ∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈CD， ∴O，C，D三点共线. 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.②证两平面重合. (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 考点 空间两条直线的位置关系 (自悟通) 1.已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　) A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 D　解析：在如图所示的长方体中，m，n1都与l异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2都与l异面，且m，n2也异面，所以C错误，故选D. 2.(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列四个结论中正确的是(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 CD　解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以A，B错误；点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN与MB1是异面直线.同理AM与DD1也是异面直线.C，D正确. 3.(多选)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(　　) BD　解析：A项中，直线GH∥MN；B项中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；C项中，连接GM(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；D项中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面.故选BD. 空间两直线位置关系的判定方法 考点 异面直线所成的角 (精研通) 【例】 (2021·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. D　解析：方法一　如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1， 所以直线PB与AD1所成的角即为直线PB与BC1所成的角， 即∠PBC1. 不妨设该正方体的棱长为2a， 则BC1＝2a，PC1＝PB1＝a，PB＝＝a， 所以BC＝PC＋PB2，所以∠C1PB＝90°， 则sin ∠PBC1＝＝＝，所以∠PBC1＝. 方法二　如图，连接A1B，BC1，A1C1，易证四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，因此∠PBC1为异面直线PB与AD1所成的角.易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝.在正方形A1B1C1D1中，因为P是B1D1的中点，所以P是A1C1的中点，所以∠PBC1＝∠A1BC1＝. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值. 解：连接BC1，易证BC1∥AD1， 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1， 由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝， 故cos ∠A1BC1＝＝， 即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 用平移法求异面直线所成角的步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4.若球O的体积为8π，求异面直线PB与AC所成角的余弦值. 解：由题意得三棱锥P­ABC，如图所示，其中PA⊥AC，PB⊥BC，AB⊥BC. 过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两线交于点D，则异面直线PB与AC所成的角为∠PBD或其补角. 由PB⊥BC，AB⊥BC，PB∩AB＝B，得BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴BC⊥PA，又PA⊥AC，BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ACBD， ∴PA⊥AD.计算可得AC＝2＝BD， 设球O的半径为R，则·πR3＝8π，∴R＝，PC＝2， ∴PA＝2，∴PB＝2，PD＝2.取PB的中点E，连接DE， ∵PD＝BD，∴DE⊥PB，∴cos ∠PBD＝＝＝， 即异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$