第2章 微专题系列4 嵌套函数的零点问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

微专题系列❹——嵌套函数的零点问题 [对应学生用书P51] 在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.在函数里面调用另一个函数，就叫做函数嵌套. 嵌套函数和一些复杂的分段函数求零点个数是常考题型.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数的图象、性质求解. 类型 嵌套函数零点个数的判断 【例1】 已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________. 答案：5 解析：由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1. 作出函数y＝f(x)的图象如图所示. 由图象知直线y＝与y＝f(x)的图象有2个交点， 直线y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点. 因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个. [思维过程] 明确目标→求嵌套函数零点的个数. 提取信息→所给函数f(x)为分段函数且函数y为嵌套函数. 建立联系→令y＝0直接解方程求出f(x)的值，并作出其图象以及函数y＝1和y＝的图象，分析图象求解. 将条件分拆为几个函数并准确画出相关函数的图象，数形结合是解决嵌套函数零点的常用方法. 【练1】 已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 A　解析：令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题.令f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图①所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1<t2)，则t1＝0，1<t2<2. 　 由图②知，当f(x)＝0时，有1个解，即x＝2； 当f(x)＝t2时，有3个解.所以函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－共有4个零点. 类型 求嵌套函数零点中的参数 【例2】 已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)则g(f(1))＝________； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________. 答案：(1)－2　(2))　解析：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象，如图， 由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点， 即所求实数a的取值范围是. [思维过程] 明确目标→求复合函数值和已知方程解的个数求参数取值范围. 提取信息→二次函数f(x)和分段函数g(x). 建立联系→(1)直接代入求值；(2)换元令f(x)＝t，将问题转化为函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象交点个数问题求解. 破解与复合函数零点个数有关的问题的关键：一是注意观察图象，即认真观察两个函数的图象特征；二是将外层函数的定义域和内层函数的值域准确对接. 【练2】 (多选)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有8个不同的实数解，则实数a的取值可能是(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 ABC　解析：由题意可得a≤0时，f(x)在R上单调递增，显然方程f(f(x))＝0有8个不同的实数解不成立；当a>0时，令f(x)＝t，则由f(t)＝0得，t1＝－2a，t2＝0，t3＝a，又方程f(f(x))＝0有8个不同的实数解，则可得解得a>8，故选ABC. 【练3】 已知函数f(x)＝若方程[f(x)]2－(m＋1)f(x)＋m＝0恰有5个不同的实数解，则实数m的取值范围为(　　) A.(1，5) B.(1，5)∪(5，9) C.(1，5] D.(0，1)∪{5} A　解析：当x>0时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)， 易知函数f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，f(1)＝5，f(3)＝1.由[f(x)]2－(m＋1)f(x)＋m＝0，可得(f(x)－1)(f(x)－m)＝0，即f(x)＝1或f(x)＝m. 由图象可知y＝f(x)与y＝1有2个公共点，所以只需y＝f(x)与y＝m有3个公共点，所以1<m<5. 【练4】 (2023·重庆实验外国语学校开学考试)已知函数f(x)＝|4x－3|＋2，若函数g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1有4个零点，求m的取值范围. 解：令g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1＝0， 即[f(x)－(m－1)][f(x)－(m＋1)]＝0， 解得f(x)＝m－1或f(x)＝m＋1. f(x)的图象如图所示，要使g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1有4个零点， 只需解得3＜m＜4. 即m的取值范围是(3，4). 分级练(16)　函数与方程 分级一　提能强化 1.(2023·山东日照高三开学考试)已知函数f(x)在区间[－2，2]上的图象连续不断，则“f(x)在区间[－2，2]上有零点”是“f(－2)·f(2)<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B　解析：已知函数f(x)在区间[－2，2]上的图象连续不断，根据零点存在定理，若f(－2)·f(2)<0，则f(x)在区间[－2，2]上有零点；若有f(－2)＝0或者f(2)＝0，f(x)在区间[－2，2]上有零点，但是f(－2)·f(2)<0不成立.故“f(x)在区间[－2，2]上有零点”是“f(－2)·f(2)<0”的必要不充分条件. 2.(多选)(2022·江苏南京二模)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 ABD　解析：由题知f(0)·f(1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)·f(2)>0，无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点，故在区间(1，2)上可能有零点. 3.函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]上的零点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B　解析：令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0，2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或x＝2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个. 4.(2023·江苏连云港模拟)已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则2m＋log4|m|＝(　　) A.－ B. C. D. D　解析：易知函数f(x)单调递减，又因为f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，由零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(－2，－1)内，则m＝－2，所以2m＋log4|m|＝2－2＋log42＝＋＝. 5.(多选)(2023·山东临沂检测)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 ABC　解析：因为函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点， 所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象如图所示. 由图可知，m＝1或m≤0，结合选项可知，m可以为－1，0，1. 6.(2023·山东省实验中学阶段检测)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D　解析：令t＝f(x)＋1＝①当t>0时，f(t)＝ln t－，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－>0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示. 由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点.综上所述，函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数为5. 7.(多选)(2022·江苏苏州三模)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A.x1＋ x2<0 B.x1x2<0 C.ex1＋ln x2＝0 D.x1x2－x1＋x2<1 BCD　解析：x1，x2分别为直线y＝－x与y＝ex和y＝ln x的交点的横坐标.因为函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，所以这两个函数的图象关于直线y＝x对称，而直线y＝－x，y＝x的交点是坐标原点，故x1，x2关于原点对称，故x1＋x2＝0，x1x2<0，x1∈(－1，0)，x2∈(0，1)，e x1＋ln x2＝－x1－x2＝0，x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)<0，故x1x2－x1＋x2<1. 8.(2023·湖南长沙南雅中学模拟)函数f(x)＝|x－2|·x－2t有三个不同的零点，则实数t的取值范围是________. 答案：(0，)　解析：作出函数y＝|x－2|x的图象和直线y＝2t，如图所示，由图象可得当0<2t<1时，直线与函数图象有三个交点，即函数f(x)有三个不同的零点，故0<t<. 9.(2023·江苏泰州一模)写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数f(x)＝________. ①f(x)为奇函数；②f(x)存在3个不同的零点；③f(x)在(1，＋∞)上是增函数. 答案：x3－3x(答案不唯一)　解析：若f(x)＝x3－3x，则f(x)为奇函数，f(x)有三个零点0，±，f′(x)＝3x2－3，当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数，故①②③都满足. 10.(2023·广东佛山模拟)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ＝________. 答案：－　解析：依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解， 故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1个解， ∴2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－. 分级二　知能探究 11.(2023·北京四中开学考试)已知函数f(x)＝若函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，1) D.(1，＋∞) B　解析：如图，指数函数y＝2x>0，没有零点，y＝－x有唯一的零点x＝0，所以若函数f(x)存在零点，需f(x)＝－x(x<a)有零点，即0∈(－∞，a)，所以a>0. 12.(多选)(2023·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝2x－logx，且实数a，b，c(a>b>c>0)满足f(a)f(b)·f(c)<0.若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是(　　) A.x0<a B.x0>a C.x0<b D.x0<c ABC　解析：由题意，函数f(x)＝2x－logx＝2x＋log2x， 可知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 又实数a，b，c(a>b>c>0)满足f(a)f(b)f(c)<0， 所以f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0或f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0， 又实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，即f(x0)＝0， 所以只有x0<c不成立，可能成立的是x0<a，x0>a和x0<b. 13.(2023·湖南岳阳模拟)设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3，满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　) A.(，6) B.(，4] C.(2，4) D.(2，6) C　解析：设x1<x2<x3，作出函数f(x)的图象如图所示. 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， 由图象可知，－1<m<3，则f(x1)＝2x1＋3∈(－1，3)，可得－2<x1<0， 由于二次函数y＝x2－4x＋3的图象的对称轴为直线x＝2，所以x2＋x3＝4， 因此2<x1＋x2＋x3<4. 14.函数f(x)＝()|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________. 答案：10　解析：问题可转化为两个函数y＝()|x－1|与y＝－2cos πx的图象在[－4，6]上的交点的横坐标的和，易知两个函数图象均关于直线x＝1对称，所以两个函数的图象在直线x＝1两侧的交点对称，且每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象如图所示，两个函数的图象在直线x＝1两侧分别有5个交点，所以所求零点之和为5×2＝10. 15.(2023·甘肃天水开学考试)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数y＝[x]，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}＝x－[x]，则函数f(x)＝2x{x}－x－1的所有零点之和为________. 答案：－1　解析：∵当x＝0时，f(0)＝－1；当x≠0时，令f(x)＝0，可得2{x}＝1＋，则函数y＝f(x)的零点，即为函数y＝2{x}与函数y＝1＋的图象交点的横坐标，作出函数y＝2{x}与函数y＝1＋(x≠0)的图象，如图所示， 由图象可知，两函数图象除交点(－1，0)之外，其余的交点关于点(0，1)对称， 所以函数y＝f(x)的所有零点之和为－1. 16.已知定义在R上的奇函数f(x)恒有f(x－1)＝f(x＋1)，当x∈[0，1)时，f(x)＝.若k∈(－，－)，求函数g(x)＝f(x)－kx－在(－1，6)上有多少个零点？ 解：因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)的周期为2， 又因为f(x)为奇函数，f(x)＝－f(－x)， 令x＝1，得f(1)＝－f(－1)，又f(－1)＝f(1)， 所以f(1)＝f(－1)＝0. 当x∈(－1，1)时，f(x)＝＝1－， 由y＝单调递减得函数f(x)在(－1，1)上单调递增， 所以－<f(x)<，作出函数图象如图所示， 由图象可知当y＝kx＋过点(5，－)时，k＝－， 此时在(－1，6)上只有3个零点. 当y＝kx＋经过点(3，0)时，k＝－， 此时有5个零点. 当－<k<－时，有4个零点. 当y＝kx＋经过点(5，0)时，k＝－， 此时有5个零点. 当－<k<－时，有4个零点. 当y＝kx＋经过点(6，0)时，k＝－， 此时在(－1，6)上只有3个零点. 当－<k<－时，有4个零点. 所以当k∈(－，－)时， 函数g(x)＝f(x)－kx－在(－1，6)上有4个或5个零点. 分级三　素能创新 17.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢.”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究.现将墙的厚度改为200尺，则两鼠相遇至少需要(　　) A.6天 B.7天 C.8天 D.9天 C　解析：设需要n天时间才能打穿， 则＋≥200， 化简并整理得2n－－199≥0， 令f(n)＝2n－－199， 则f(7)＝27－－199<0，f(8)＝28－－199>0， 又f(n)在[1，＋∞)上单调递增， ∴f(n)在(7，8)内存在一个零点， ∴至少需要8天时间才能相遇. 学科网（北京）股份有限公司 $$