第2章 微专题系列3 幂、指、对数式比较大小问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

微专题系列❸——幂、指、对数式比较大小问题 [对应学生用书P44] 类型 利用指数函数、对数函数的图象和性质比较大小 比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等比较大小问题的桥梁媒介作用. 【例1】 若a＝()－0.3，b＝log52，c＝e－，则(　　) A. a<b<c B.c<a<b C. b<c<a D.c<b<a C　解析：结合指数函数y＝()x的图象易知a＝()－0.3>1， 结合对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增可知b＝log52<log5＝. 又c＝e－＝∈(，1)，所以b<c<a. 【练1】 已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b D　解析：因为c＝log＝log23>log2e＝a，所以c＞a. 因为b＝ln 2＝＜1＜log2e＝a，所以a＞b.所以c＞a＞b. 类型 构造函数利用函数单调性比较大小 【例2】 (多选)若已知实数x，y满足log3x－log3y<()x－()y，则下列结论正确的是(　　) A.> B.x3<y3 C.2x－y<1 D.ln (y－x)>0 ABC　解析：因为log3x－log3y<()x－()y成立，所以x，y∈R＋.由log3x－log3y<()x－()y变形得log3x－()x<log3y－()y，令函数f(x)＝log3x－()x，因为y＝log3x，y＝－()x都在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝log3x－()x在(0，＋∞)上单调递增，所以log3x－()x<log3y－()y即f(x)<f(y)，所以0<x<y.因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以>，A正确；因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，所以x3<y3，B正确；因为x－y<0，函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以2x－y<20＝1，C正确；因为y－x>0，ln(y－x)的符号可正可负，所以D错误. [思维过程] 明确目标→根据已知不等式判断选项正确与否. 提取信息→所给不等式左边含对数式，右边含指数式. 建立联系→构造函数f(x)＝log3x－()x，判断其在(0，＋∞)上单调递增，可得0<x<y，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可. 【练2】 给出下列命题：①ln 2>，②ln 2>，③log23>log58，其中真命题为(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ C　解析：对于①，∵ln 2＝ln 2＝ln >ln e＝1，∴ln 2>，故①正确；对于②，对于函数y＝(x>0)，y′＝，当0<x<e时，y′>0，此时函数y＝单调递增，因为0<2<e，所以<＝，则ln 2<，故②错误； 对于③，因为log23－＝log2＝log2>log21＝0，即log23>，又log58－＝log5＝log5<log51＝0，即log58<，所以log23>log58，③正确. 类型 利用特例、设元法，巧解涉及三元变量的比较大小问题 比较大小时，若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质解题. 【例3】 若log2x＝log3y＝log5z<－1，则(　　) A.2x<3y<5z B.5z<3y<2x C.3y<2x<5z D.5z<2x<3y B　解析：设log2x＝log3y＝log5z＝t<－1，可得x＝2t，y＝3t，z＝5t，所以2x＝2t＋1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1.又t<－1，所以t＋1<0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z<3y<2x. 【练3】 设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系不可能是(　　) A.＜＜ B.＝＝ C.＜＜ D.＜＜ D　解析：方法一　取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，选项B正确；取x＝4，由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知＜＜，选项A正确；取x＝，由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知＜＜，选项C正确.综上可知本题应选D. 方法二　设log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，可得x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1， ∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1. 若0＜k＜1，则函数f(x)＝xk－1在定义域上单调递减，∴＞＞，即＜＜， 故C正确；若k＝1，则函数f(x)＝xk－1＝1，∴＝＝，故B正确； 若k＞1，则函数f(x)＝xk－1在定义域上单调递增，∴＜＜，故A正确. 综上可知，，的大小关系不可能是D. 分级练(14)　幂函数 分级一　提能强化 1.幂函数y＝f(x)经过点(27，3)，则f(x)是(　　) A.偶函数，且在(0, ＋∞)上是增函数 B.偶函数，且在(0, ＋∞)上是减函数 C.奇函数，且在(0, ＋∞)上是增函数 D.奇函数，且在(0, ＋∞)上是减函数 C　解析：依题意，设f(x)＝xα，将点(27, 3)代入上式，得3＝27α，得到α＝，即f(x)＝x，所以该函数为奇函数，且在(0, ＋∞)上是增函数，故选C. 2.(2023·宁夏银川模拟)若幂函数y＝xm是偶函数，且x∈(0, ＋∞)时为减函数，则实数m的值可能为(　　) A.－2 B.－ C. D.2 A　解析：由题意，∵幂函数y＝xm是偶函数，且x∈(0, ＋∞)时为减函数， ∴m为负偶数，∴实数m的值可能为－2，故选A. 3.设a＝30.2，b＝0.23，c＝log0.23，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b A　解析：∵1<30.2<30.5＝，0.23＝0.008，log0.23<log0.21＝0，∴a>b>c.故选A. 4.若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()等于(　　) A.3 B.－3 C. D.－ C　解析：设f(x)＝xα，∵＝3，∴＝2α＝3， ∴α＝log23，∴f()＝()log23＝.故选C. 5.幂函数y＝x|m－1|与y＝x3m－m2(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为(　　) A.0 B.1和2 C.2 D.0和3 C　解析：由题意可得解得m＝2，故选C. 6.已知a＝()，b＝()，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<b<a C. b<c<a D.c<a<b A　解析：c＝log>log＝1，a＝()＝()5×＝()， b＝()4×＝(). 因为y＝x在(0，＋∞)上为增函数， 且<，所以a<b， 又()<()0＝1，即b<1，可得a<b<c. 故选A. 7.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　) A.函数为增函数 B.函数为偶函数 C.若x≥9，则f(x)≥3 D.若x2>x1>0，则 >f() AC　解析：设幂函数f(x)＝xα，将点(4，2)代入函数f(x)＝xα得2＝4α， 则α＝，所以f(x)＝x， 显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确； f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确； 当x≥9时，≥3，即f(x)≥3，所以C正确； 当0<x1<x2时，[]2－f2()＝()2－()2 ＝－＝＝－<0， 即 <f()成立， 所以D不正确.故选AC. 8.(2023·四川成都模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是__________. 答案：(－∞， 1)　解析：当x>1时，恒有f(x)<x，即当x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知(图略)α<1时满足题意. 9.已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)<f(10－2a)，则实数a的取值范围为________. 答案：(3，5)　解析：∵f(x)＝x－的定义域为(0, ＋∞)，且在定义域内是减函数， ∴a＋1>10－2a>0，解得3<a<5. 10.已知α∈，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________. 答案：－1　解析：∵α∈{－2，－1，－，，1，2，3}， 幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减， ∴α是奇数，且α＜0，∴α＝－1. 分级二　知能探究 11.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则a－＝(　　) A.0 B.1 C. D.2 A　解析：因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M(，)，N(，)， 分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log， 所以a－＝log－＝0. 故选A. 12.已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f(())，b＝f(ln π)，c＝f(－)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c A　解析：根据题意知，m－1＝1，所以m＝2，所以2n＝8，所以n＝3，所以f(x)＝x3. 因为f(x)＝x3是定义在R上的增函数， 又－<0<()<()0＝1<ln π， 所以c<a<b.故选A. 13.(多选)已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x，则在(－2，0)上，下列函数中与f(x)单调性相同的是(　　) A.y＝－x2＋1 B.y＝|x| C.y＝e|x| D.y＝ BC　解析：由题意知函数f(x)＝x在(－2, 0)上单调递减.A中函数在(－2, 0)上单调递增； B中函数在(－2, 0)上单调递减； C中函数在(－2, 0)上单调递减； D中函数在(－2, 0)上单调递增.故选BC. 14.(多选)已知函数f(x)＝log(x＋)，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为(0，＋∞) B.f(x)的值域为[－1，＋∞) C.f(x)是奇函数 D.f(x)在(0，1)上单调递增 AD　解析：由题知f(x)＝log(x＋)，则x＋>0且x≠0，解得x>0，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，故A正确； 因为x＋≥2，所以f(x)≤－1，故B错误； 因为f(x)的定义域不关于原点对称， 所以f(x)不是奇函数，故C错误； 当x∈(0, 1)时，y＝x＋单调递减，y＝logx也单调递减， 故f(x)在(0, 1)上单调递增，故D正确.故选AD. 15.已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)的图象经过点(2, ). (1)试确定m的值； (2)求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围. 解：(1)∵幂函数f(x)的图象经过点(2，)， ∴＝2，即2＝2. ∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. (2)由(1)知f(x)＝x，则函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数. 由f(2－a)>f(a－1)，得 解得1≤a<.∴实数a的取值范围为[1，). 分级三　素能创新 16.已知幂函数f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k，当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，则实数k的取值范围是(　　) A.(0，1) B.[0，1) C.(0，1] D.[0，1] D　解析：∵f(x)是幂函数，∴(m－1)2＝1，解得m＝2或m＝0. 若m＝2，则f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足已知条件. 若m＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，满足已知条件，即f(x)＝x2. 当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)； 当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)， 即B＝[2－k，4－k). ∵A∪B＝A，∴B⊆A， ∴2－k≥1且4－k≤4， 解得0≤k≤1，故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$