第2章 微专题系列2 奇偶性的一般化对称性（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

微专题系列❷——奇偶性的一般化：对称性 [对应学生用书P29] 类型 中心对称 【例1】 已知函数f(x)＝ln (－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________. 答案：－2　解析：根据函数奇偶性的定义可知g(x)＝ln (－x)是奇函数，因此函数f(x)＝g(x)＋1，也即f(x)是由奇函数g(x)向上平移1个单位长度得到的.对于奇函数g(x)，有g(a)＋g(－a)＝0，则f(a)＝g(a)＋1，f(－a)＝g(－a)＋1，于是f(a)＋f(－a)＝g(a)＋g(－a)＋2＝2，从而f(－a)＝2－f(a)＝－2. [思维过程] 明确目标→求f(－a). 提取信息→函数f(x)的解析式. 建立联系→从f(x)中分离出奇函数g(x)＝ln (－x)，将问题转化为函数图象平移问题，并结合g(x)图象的对称性求解f(－a)的值. 若g(x)是关于点(0，0)成中心对称的，则f(x)＝g(x)＋b关于点(0，b)成中心对称，则有f(x)＋f(－x)＝2b.也即若f(x)关于点(0，b)成中心对称，则f(x)＋f(－x)＝2b.更一般地，若f(x)关于点(a，b)成中心对称，则f(x)＋f(2a－x)＝2b.上述结论其实反映了中心对称函数的一般性质，同时也告诉我们，将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个中心对称函数平移后都可以变成奇函数，这样便可以得到对称中心. 对于轴对称图象，有如下结论(可以结合三角函数的对称性来记忆)： f(x)＝f(－x)⇔f(x)关于直线x＝0成轴对称；f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)关于直线x＝a成轴对称；f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)关于直线x＝a成轴对称. 【练1】 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　　) A.0 B.m C.2m D.4m B　解析：由f(－x)＝2－f(x)知f(x)的图象关于点(0，1)对称，而y＝＝1＋的图象也关于点(0，1)对称，因此两个函数的交点也关于点(0，1)对称，从而对于每一组对称点xi＋x′i＝0，yi＋y′i＝2， 所以(xi＋yi)＝i＋i＝(2i)＝(yi＋y′i)＝×2m＝m. 类型 轴对称 【例2】 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　) A.0 B.m C.2m D.4m B　解析：根据轴对称的结论可知f(x)＝f(2－x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，而y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1对称，因此它们的交点也关于直线x＝1对称，对于每一组对称点的横坐标有xi＋xi′＝2×1，则i＝×(2i)＝(xi＋xi′)＝×2×m＝m. [思维过程] 明确目标→求两图象交点横坐标之和. 提取信息→f(x)＝f(2－x)及函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点坐标. 建立联系→f(x)＝f(2－x)⇒f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称，函数y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1成轴对称，从而它们的交点也关于直线x＝1成轴对称. 【练2】 已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　) A.－ B. C. D.1 C　解析：函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)由两个部分构成，即y＝x2－2x和y＝ex－1＋e－x＋1.不难发现，函数y＝x2－2x的图象关于直线x＝1对称.根据奇偶性的构成方式可知y＝ex＋e－x为偶函数，也即关于直线x＝0对称，而y＝ex－1＋e－(x－1)的图象由y＝ex＋e－x的图象向右平移1个单位长度得到，也即函数y＝ex－1＋e－x＋1的图象关于直线x＝1对称.综上，函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)的图象关于直线x＝1对称.又由于函数f(x)有唯一零点，那么这个零点只能是x＝1(可以类比二次函数有唯一零点只能是与x轴相切的情形)，所以f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝. 分级练(9)　函数的奇偶性、周期性与对称性 分级一　提能强化 1.(2023·河北唐山高三期末)函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是(　　) A.f(x)＋g(x)为奇函数 B.f(x)＋g(x)为偶函数 C.f(x)g(x)为奇函数 D.f(x)g(x)为偶函数 C　解析：令F1(x)＝f(x)＋g(x)，则F1(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－F1(x)，且F1(－x)≠F1(x)，∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A，B错误；令F2(x)＝f(x)g(x)，则F2(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F2(x)，且F2(－x)≠F2(x)，∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 2.函数f(x)＝的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y＝x对称 B　解析：因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称. 3.(2022·湖南邵阳二中模拟)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1 C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1 B　解析：由题意可得f(x)＝＝－1＋，对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 4.(2023·湖南长沙月考)定义函数D(x)＝则下列命题中正确的是(　　) A.D(x)不是周期函数 B.D(x)是奇函数 C.D(x)的图象存在对称轴 D.D(x)是周期函数，且有最小正周期 C　解析：当m为有理数时，D(x＋m)＝∴D(x＋m)＝D(x)，∴任何一个非零有理数m都是D(x)的周期，∴D(x)是周期函数，但无最小正周期，∴选项A，D错误；若x为有理数，则－x也为有理数，∴D(x)＝D(－x)，若x为无理数，则－x也为无理数，∴D(x)＝D(－x)，综上，总有D(－x)＝D(x)，∴函数D(x)为偶函数，图象关于y轴对称，∴选项B错误，选项C正确. 5.(2023·广东六校第一次联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　) A.0.5 B.1.5 C.2.5 D.3.5 C　解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的周期函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5. 6.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，－3) B.(3，＋∞) C.(－∞，－1) D.(1，＋∞) D　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2).又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞).　 7.(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝________. 答案：2　解析：通解(定义法)　因为f(x)为偶函数， 所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)，得a＝2. 优解(特值法)　因为f(x)为偶函数， 所以f ＝f ，即－a＝＋a，得a＝2. 8.(2023·湖北荆州中学高三开学考试)设函数f(x)＝，若函数f(x)在R上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 答案：0　解析：因为f(x)＝，其定义域为R，又f(－x)＝－＝－f(x)， 故f(x)为奇函数，故M＋m＝0. 9.(2023·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝ln (－x)，则f(ln 5)＋f(ln )＝________. 答案：0　解析：因为函数f(x)的定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln (－x)＋ln (＋x)＝ln 1＝0，所以函数f(x)是奇函数，又ln ＝－ln 5，所以f(ln 5)＋f(ln )＝0. 10.(2022·江苏苏州三模)求出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x). ①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2. 解：函数f(x)是其图象对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x(答案不唯一). 分级二　知能探究 11.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f(－)＝，则f()＝(　　) A.－ B.－ C. D. C　解析：由f(x)是定义域为R的奇函数，得f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)， 所以f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－(1＋x))＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)， 则f(x)是以2为周期的周期函数，所以f()＝f(－2)＝f(－)＝. 12.(多选)(2023·山东临沂统考一模)已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为(　　) A.g(x)＝lg B.g(x)＝3x－3－x C.g(x)＝＋ D.g(x)＝ln (＋x) BD　解析：因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，整理得g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数. 对于A，定义域为(－1，1)，不满足题意； 对于B，定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意； 对于C，定义域为R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，不符合题意； 对于D，定义域为R，g(－x)＝ln (－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln (－x)＋ln (＋x)＝0，符合题意.故选BD. 13.(2022·湖南雅礼中学二模)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，则(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x＋3)是偶函数 C.f(3)＝0 D.f(x)＝ f(x＋3) B　解析：∵f(x＋1)是奇函数，∴f(x＋1)＝－f(－x＋1).∵f(x－1)是偶函数，∴f(x－1)＝f(－x－1)，即f(x＋1)＝ f(－x－3)，∴－f(－x＋1)＝ f(－x－3)⇒f(x)＋f(x＋4)＝0，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即周期为8.另一方面f(x＋5)＝－f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋3)＝f(－x＋3)，即f(x＋3)是偶函数. 14.若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.三个函数y＝2|x|－1，y＝，y＝中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B　解析：易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一致，但是y＝＝1－的最大值接近1，y＝2|x|－1≥0，y＝≥0，故与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为1. 15.(2023·福建统考)写出一个同时满足下列三个性质的函数f(x)＝________. ①若xy>0，则f(x＋y)＝f(x)f(y)；②f(x)＝f(－x)；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 答案：(答案不唯一)　解析：当f(x)＝时，f(x＋y)＝，f(x)f(y)＝·＝，故f(x＋y)＝f(x)f(y). 又f(－x)＝＝＝f(x)，也即f(x)＝f(－x)成立，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 16.已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(2)＝3，求f(2 022). 解：由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数. 由f(x＋4)＝－f(x)＋2，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x)， ∴f(x)是周期T＝8的偶函数， ∴f(2 022)＝f(6＋252×8)＝f(6)＝－f(2)＋2＝2－3. 分级三　素能创新 17.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……癸亥，60年为一个纪年周期，周而复始，循环记录.按照“干支纪年法”，2020年是庚子年，则中华人民共和国成立100周年(公元2049年)是(　　) A.己未年 B.辛巳年 C.庚午年 D.己巳年 D　解析：由题知，2 049－2 020＝29.因为“天干”以10为周期，所以2050年仍为“庚”，所以2049年为“己”；因为“地支”以12为周期，所以2044年仍为“子”，所以2049年为“巳”.故2049年为己巳年. 学科网（北京）股份有限公司 $$