第2章 第5节 函数图象（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第五节　函数图象 课标解读 1.会画一些函数的图象，理解图象的作用. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数与不等式解的问题. [对应学生用书P45] 知识点一　利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先，(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次，列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 知识点二　利用图象变换法作函数图象 平移变换 y＝f(x)的图象y＝f(x＋a)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)＋h的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)－h的图象 对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象 y＝f(x)的图象y＝f(x)的反函数的图象 y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象 翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象 y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象 伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象 y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称. (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x) 的图象关于点(a，b)对称. (3)若对函数y＝f(x)的定义域内任意的自变量x都满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　×　　) (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a＞0且a≠1)的图象相同.(　　×　　) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　×　　) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称. (　　√　　) 二、版本互鉴 1.(人教A版必修第一册P68例5改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 答案：C 2.(苏教版必修第一册P108 T9改编)某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是(　　) 答案：D 3.(苏教版必修第一册P154 T7改编)若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________. 答案：－1 4.(人教A版必修第一册P91T1改编)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________. 答案：(0，＋∞)　解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝ 其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a＞0， 即实数a的取值范围是(0，＋∞). [对应学生用书P46] 考点 函数图象的画法 (自悟通) 作出下列函数的图象： (1)y＝()|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)先作出y＝()x的图象，保留y＝()x图象中x≥0的部分，再作出y＝()x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()|x|的图象，如图①实线部分. (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②实线部分. (3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③. 函数图象的画法 考点 函数图象的辨析 (自悟通) 1.(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间[－，]的图象大致为(　　) A　解析：令f(x)＝(3x－3－x)cos x，x∈[－，]，则f(－x)＝(3－x－3x)cos (－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B，D；又当x∈(0，)时，3x－3－x>0，cos x>0，所以f(x)>0，排除C. 2.已知函数y＝f(1－x)的图象如图，则y＝|f(x＋2)|的图象是(　　) A　解析：把函数y＝f(1－x)的图象向左平移1个单位长度得y＝f(－x)的图象；作出f(－x)关于y轴对称的函数图象得y＝f(x)的图象；将f(x)的图象向左平移2个单位长度得y＝f(x＋2)的图象；将y＝f(x＋2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x＋2)|的图象. 3.(2022·湖南永州二模)已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则y＝f(x)的解析式可能是(　　) A.y＝－x cos x B.y＝ C.y＝ D.y＝sin x＋x cos x A　解析：由函数图象知函数关于原点对称，为奇函数，可以排除选项B；其余选项都为奇函数.对于选项D，当x＝π时，y＝－π，选项D错误；选项C中的图象由于x≠0，故选项C错误；当x∈(0，)时，y<0，当x＝π时，y＝π，故选项A可能正确. 辨别函数图象的策略 (1)从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性判断图象的对称性； (4)从函数的周期性判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点排除不符合要求的图象. 考点 函数图象的应用 (精研通) 考法1　利用图象研究函数性质 【例1】 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) C　解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减. 利用图象研究函数性质问题的思路 考法2　利用图象解不等式问题 【例2】 (1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3] (2)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示.若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________. 答案：(1)D　(2)1　解析：(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图①所示，则函数f(x－1)的大致图象如图②所示. 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]. (2)由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4即为f(3)<f(x＋t)<f(0)，故x＋t∈(0，3)， 即不等式的解集为(－t，3－t)，依题意可得t＝1. 利用函数的图象解不等式的基本思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解. 考法3　利用图象解决方程根的问题 【例3】 若函数f(x)＝则关于x的方程x－f(x)＝0在[－2，2]上的根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 B　解析：分别作出y＝f(x)，y＝x的图象，如图，可知函数f(x)的图象与直线y＝x在[－2，2]上有4个交点，所以方程x－f(x)＝0在[－2，2]上的根的个数为4. 利用函数的图象解决方程根的问题的思路 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标. 1.(多选)(2023·江苏南通高三期末)某同学在研究函数f(x)＝(x∈R)时，给出下面几个结论，其中正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点(－1，1)对称 B.f(x)是单调函数 C.f(x)的值域为(－1，1) D.函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点 BCD　解析：作出y＝f(x)的图象，如图所示. 对于A，f(x)的图象关于(0，0)对称，不关于点(－1，1)对称，故A错误；对于B，f(x)是R上的增函数，故B正确；对于C，由图象知，f(x)的值域为(－1，1)，故C正确；对于D，令g(x)＝f(x)－x＝0，得x(－1)＝0，即x()＝0，解得x＝0，从而函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点，故D正确. 2.(2023·福建福州月考)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1，3)上的解集为(　　) A.(1，3) B.(－1，1) C.(－1，0)∪(1，3) D.(－1，0)∪(0，1) C　解析：作出函数f(x)的图象如图所示. 当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3).所以x∈(－1，0)∪(1，3). 3.已知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________. 答案：(1，)　解析：y＝作出其图象，如图所示. 此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－，要使直线y＝1与其有四个交点， 只需a－＜1＜a，所以1＜a＜. 分级练(15)　函数图象 分级一　提能强化 1.(2023·湖南娄底模拟)函数f(x)＝的图象大致是(　　) A　解析：因为函数f(－x)＝＝f(x)，x∈R，所以函数f(x)＝为偶函数，图象关于y轴对称，所以排除D，又f(2)＝1，排除B，C. 2.(2023·贵州贵阳模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　) C　解析：因为y＝x2－1与y＝e|x|都是偶函数， 所以f(x)＝为偶函数，排除A，B；又由x→＋∞时，f(x)→0，x→－∞时，f(x)→0，排除D. 3.已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是(　　) B　解析：函数f(x－1)的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数f(x)的图象. ∵函数f (x－1)是定义在R上的奇函数， ∴函数f (x－1)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，排除A，C，D. 4.(2022·河北唐山二模)不等式()x≤ 的解集是(　　) A.[0，] B.[，＋∞) C.[0，] D.[，＋∞) B　解析：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，如图所示. 当()x＝ 时，解得x＝，由图象知()x≤ 的解集是[，＋∞). 5.已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上为减函数，且f(3)＝0，则不等式(x＋3)f(x)<0的解集是(　　) A.(－∞，－3)∪(3，＋∞) B.(－∞，－3)∪(0，3) C.(－3，0)∪(0，3) D.(－∞，－3)∪(－3，3) D　解析：由题意，画出f(x)的图象如图所示，(x＋3)f(x)<0等价于 或由图可知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－3，3). 6.(2023·云南昆明高三开学考试)已知函数f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，若h(x)的图象如图所示，则h(x)可能是(　　) A.h(x)＝ B.h(x)＝ C.h(x)＝ D.h(x)＝ C　解析：∵f(x)＝ex＋e－x，x∈R，f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，x∈R， ∴f(x)是偶函数，且f(0)＝2. ∵g(x)＝ex－e－x，x∈R，g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)， ∴g(x)是奇函数且g(0)＝0.由图象知函数h(x)是奇函数且h(0)＝0. 对于A，h(x)＝，x∈R，h(－x)＝＝＝h(x)，函数不是奇函数，故错误； 对于B，h(x)＝，h(0)无意义，函数不过原点，故错误； 对于C，h(x)＝，x∈R，h(－x)＝＝＝－h(x)，函数是奇函数，故正确； 对于D，h(x)＝，h(0)无意义，图象不过原点，故错误. 7.(2023·湖北高三开学考试)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝1－|2x－1|.若对∀x∈[m，＋∞)，都有f(x)≤，则m的取值范围是(　　) A.[，＋∞) B.[，＋∞) C.[，＋∞) D.[，＋∞) B　解析：因为当x∈[0，1)时，f(x)＝1－|2x－1|，所以f(x)＝ 又因为函数f(x)满足f (x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的部分图象如图所示， 由图可知，若∀x∈[m，＋∞)，都有f(x)≤，则m≥. 8.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________. 答案：[－1，＋∞)　解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象， 观察图象可知， 当且仅当－a≤1，即a≥－1时， 不等式f(x)≥g(x)恒成立， 因此实数a的取值范围是[－1，＋∞). 9.(2023·吉林松原模拟)对a，b∈R，记max{a，b}＝则函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________. 答案：　解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得其最小值为. 10.若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，求k的取值范围. 解：函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移1个单位长度后， 再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示. 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]. 分级二　知能探究 11.(多选)定义一种运算：a⊗b＝设f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|，则下面结论中正确的有(　　) A.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 B.函数f(x)的图象与直线y＝5有三个公共点 C.函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，3] D.函数f(x)的最小值是2 ACD　解析：由题意，f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|＝作出函数的图象如图所示. 由图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确； 函数f(x)的图象与直线y＝5有四个公共点，故B错误； 函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，3]，故C正确；函数f(x)的最小值是2，故D正确. 12.已知函数f(x)＝－1的定义域是[m，n](m，n为整数)，值域是[0，4]，则满足条件的整数对(m，n)的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D　解析：由f(x)＝0，得x＝2或x＝－2， 由f(x)＝4，得x＝0，易知当x<0时，f(x)为增函数， 当x>0时，f(x)为减函数，其图象如图所示. 若使f(x)的定义域是[m，n](m，n为整数)，值域是[0，4]， 则满足条件的整数对(m，n)有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)，共5个. 13.(2023·陕西西北工业大学附中模拟)已知函数f(x)＝则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点O对称的点共有(　　) A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 C　解析：作出函数f(x)＝的图象，如图所示，则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点O对称的点， 即为当x<0时，f(x)＝2x2＋4x＋1关于原点O对称的函数图象与y＝的图象的交点， 由图象可知，交点有2个， 所以函数f(x)＝的图象上关于坐标原点O对称的点共有2对. 14.已知函数g(x)＝－()|x－1|，h(x)＝cos πx，当x∈(－2，4)时，函数g(x)与h(x)的交点横坐标分别记为xi(i＝1，2，…，n)，则i＝(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 C　解析：易知g(x)＝－()|x－1|的图象关于x＝1对称，h(x)＝cos πx的图象关于x＝1对称.作出两个函数的图象，如图所示. 根据图象知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x＝1，另外6个交点关于直线x＝1对称，因此i＝3×2＋1＝7. 15.(2023·广东深圳月考)若函数f(x)＝在(－∞，a]上的最大值为4，求a的取值范围. 解：可知y＝2x＋1在(－∞，1]上单调递增，y＝log2(x＋1)在(1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝4，f(15)＝4，画出函数f(x)的图象，如图所示， 观察图象可知，当f(x)在(－∞，a]上的最大值为4时，a的取值范围为[1，15]. 分级三　素能创新 16.已知函数f(x)＝若∃x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0成立，请写出一个符合条件的函数g(x)的表达式为________. 答案：g(x)＝(答案不唯一)　解析：由∃x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0可得g(x0)＝－f(－x0)，由y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于 原点对称可得y＝ln x与y＝－ln (－x)的图象关于原点对称，如图. 取y＝时，在第三象限显然有一交点x0，故取g(x)＝符合. 学科网（北京）股份有限公司 $$