第2章 第3节 第3课时 对数函数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❸课时　对数函数 课标解读 1.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点. 2.知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数. [对应学生用书P38] 知识点一　对数函数 一般地,函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 知识点二　对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 (1)注意对数函数图象在平面直角坐标系中的分布规律：在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”. (2)底数a与1的大小关系决定了对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性.因此若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论. 知识点三　反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. (1)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)为奇函数. (2)函数f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)为奇函数. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　×　　) (2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　　×　　) (3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同.(　　√　　) (4)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，(，－1)，函数图象只在第一、四象限.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(湘教版必修第一册P123 T19)与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的函数为(　　) A.y＝x B.y＝lg x C.y＝2x D.y＝ 答案：D 2.(人教B版必修第二册P27 例2改编)已知log0.7(2m)<log0.7(m－1)，则实数m的取值范围是________. 答案：m>1 3.(人教B版必修第二册P29 习题42A T7改编)函数y＝的定义域是_______________. 答案：(0, 2] 4.(苏教版必修第一册P149 T4改编)函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________. 答案：(，＋∞) [对应学生用书P39] 考点 对数型函数图象的辨析 (自悟通) 1.若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) B　解析：若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}， 则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象大致如选项B所示. 2.在同一个平面直角坐标系中，函数f(x)＝与g(x)＝lg 的图象可能是(　　) A　解析：由题意知a>0且a≠1，所以函数g(x)＝lg 单调递减，故排除B，D；对于A，C，由函数f(x)＝的图象可知0<a<1，对于函数g(x)＝lg ，g(1)＝lg a<0，故A正确，C错误. 研究对数型函数图象的思路 研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，要注意底数a>1与0<a<1这两种不同情况. 考点 对数函数图象的应用 (精研通) 【例1】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A.0<a－1<b<1 B.0<b<a－1<1 C.0<b－1<a<1 D.0<a－1<b－1<1 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，) B.(，1) C.(1，) D.(，2) (1)A　(2)B　解析：(1)由题图可知，f(x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上有0<<b<1. (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示. 由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞， 所以＜a＜1. 　若将本例(2)中的条件“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________. 答案：(0，]　解析：若方程4x＝logax在(0，]上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在(0，]上有交点.由图象可知解得0＜a≤，即实数a的取值范围为(0，]. 与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，应用时要准确画出图象，把方程的根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的关系的问题. 1.已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 答案：a>1　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象(如图所示)可知a>1. 2.函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b－a的最小值为________. 答案：　解析：令|log3x|＝0，得x＝1；令|log3x|＝1，得x＝或x＝3.如图所示， 可知(b－a)min＝1－＝. 考点 对数函数的性质 (精研通) 考法1　比较大小问题 【例2】 若a>b>c>1且ac<b2，则(　　) A.logab>logbc>logca B.logcb>logba>logac C.logbc>logab>logca D.logba>logcb>logac B　解析：方法一　∵a>b>c>1，∴logab<logaa＝1，logca>logcc＝1，∴logab<logca，可排除A，C选项. ∵a>b>c>1，ac<b2，∴<，又∵c<b，∴logc>logb>logb，∴logcb>logba>1，而logac<1，∴logcb>logba>logac. 方法二(特殊值法)　令a＝4，b＝3，c＝2，可排除A，C.再令a＝6，b＝4，c＝2，可排除D. 利用对数函数单调性比较对数值的大小 (1)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较. (2)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. (2023·广东湛江一模)已知a＝0.1，b＝log910，c＝lg 11，则(　　) A.b>c>a B.c>b>a C.b>a>c D.c>a>b A　解析：根据指数函数和对数函数的性质，可得 a＝0.1<0＝1，b＝log910>log99＝1，c＝lg 11>lg 10＝1. 因为2＝lg 100>lg 99＝lg 9＋lg 11>2，所以1>lg 9×lg 11，故>lg 11. 又因为b＝log910＝，所以b>c，所以b>c>a. 考法2　解对数方程或不等式 【例3】 (1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为x＝________. (2)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________. 答案：(1)　(2)(－1，0)∪(1，＋∞)　解析：(1)原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x＞1，所以x＝. (2)由题意得或 解得a＞1或－1＜a＜0. 简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解. (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论. (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f()<f()，则f(2x－1)>0的解集为(　　) A.(0，1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(0，＋∞) C　解析：方法一　因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f()<f()，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f(2x－1)>0⇒2x－1>1，所以x>1. 方法二　由f()<f()知loga<loga，所以loga2－1<loga3－1，所以loga2<loga3，所以a>1，由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0，所以2x－1>1，即x>1. 考法3　与对数函数有关的复合函数问题 【例4】 若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，4) B.(－4，4] C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D.[－4，4) D　解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)×a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4，4). 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤 一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论 二判 判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 1.(2022·河南新乡二模)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32的解集为(　　) A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，1) C　解析：由函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)， 即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x<log32⇒g(x)<g(0)，则有x<0，即不等式的解集为(－∞，0). 2.已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是____________. 答案：(1，)　解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数， 由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得1<a<； 当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数， 由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0， ∴a>4，且a<4，故a不存在. 综上可知，实数a的取值范围是(1，). 分级练(13)　对数函数 分级一　提能强化 1.函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.a C　解析：∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2. 2.(2023·山西太原期中)设函数f(x)＝则f(－1)＋f(log23)＝(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 B　解析：根据题意，函数f(x)＝由log23＞0，得f(log23)＝4log23＝32＝9，f(－1)＝log2(1＋1)＝log22＝1，则f(－1)＋f(log23)＝1＋9＝10. 3.(2023·山东泰安期末)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　) C　解析：由函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，可知0<a<1，函数y＝loga(|x|－1)的定义域为{x|x>1或x<－1}，故排除A，B；又y＝loga(|x|－1)＝可知y＝loga(|x|－1)在(1，＋∞)上单调递减，故排除D. 4.(2023·江苏南京模拟)设a＝ln 5，b＝ln ，c＝，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a B　解析：因为ln e<ln 5<ln e2，所以ln 5∈(1，2)，所以c＝∈(1，)且a>c， 又b＝ln ＝ln 5∈(，1)，所以a>c>b. 5.(2023·贵州六盘水一中模拟)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　) A.1<a<2 B.0<a<2且a≠1 C.0<a<1 D.a≥2 A　解析：令u(x)＝x2－ax＋1，函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min>0， ∴Δ＝a2－4<0，∴1<a<2，所以a的取值范围是1<a<2. 6.(多选)(2023·广东中山一中模拟)关于函数y＝ln (－1)的说法正确的是(　　) A.定义域为(－1，1) B.图象关于y轴对称 C.图象关于原点对称 D.在(0，1)上单调递增 ACD　解析：因为f(x)＝ln (－1)＝ln ()，所以>0⇒<0⇒－1<x<1，所以定义域为(－1，1)，故A正确；因为f(－x)＝ln ()＝－f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；又y＝1－x>0在(0，1)上单调递减，所以y＝－1>0在(0，1)上单调递增，又y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝ln (－1)在(0，1)上单调递增，故D正确. 7.已知函数f(x)＝lg (＋2x)＋2，则f(ln 2)＋f(ln )＝________. 答案：4　解析：由函数f(x)的解析式可得f(x)＋f(－x)＝lg (＋2x)＋2＋lg (－2x)＋2＝lg (1＋4x2－4x2)＋4＝4，∴f(ln 2)＋f(ln )＝f(ln 2)＋f(－ln 2)＝4. 8.(2023·湖北武汉高三期末)已知函数f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________. 答案：4　解析：由题知x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以函数的定义域为{x|x>4或x<－2}.因为函数u＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，函数y＝lg u在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4. 9.已知f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)， (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)解不等式f(x)>1. 解：(1)因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)，所以解得－2<x<2， 所以函数f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称. 因为f(－x)＝log3(2－x)－log3(2＋x)＝－[log3(2＋x)－log3(2－x)]＝－f(x)， 所以函数f(x)为(－2，2)上的奇函数. (2)因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)＝log3>1，所以解得1<x<2， 所以不等式f(x)＞1的解集为(1，2). 分级二　知能探究 10.(多选)已知a＞0，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　) A.(a－1)(a－b)＜0 B.(a－1)(a－b)＞0 C.(b－1)(b－a)＜0 D.(b－1)(b－a)＞0 AD　解析：①当a＞1时，logab＞1＝logaa， ∴b＞a，∴b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)·(b－a)＞0. ②当0＜a＜1时，logab＞1＝logaa， ∴b＜a，∴0＜b＜a＜1， ∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(b－a)＞0. 11.已知函数f(x)＝()x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值(　　) A.恒为正 B.等于0 C.恒为负 D.不大于0 A　解析：因为函数f(x)＝()x－log3x在(0，＋∞)上是减函数， 所以当0<x1<x0时，有f(x1)>f(x0)， 又x0是函数f(x)的零点，因此有f(x0)＝0，所以f(x1)>0，即f(x1)的值恒为正. 12.已知函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，则(　　) A.f(x)在(0，4)内单调递减 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(2，0)中心对称 D.f(x)的最大值为2 D　解析：由f(x)＝log2x＋log2(4－x)知即0<x<4， 所以f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(－x2＋4x)，令t＝－x2＋4x，则y＝log2t. 因为x∈(0，4)时，t＝－x2＋4x不单调，所以f(x)不单调，故A错误； 因为f(x)的定义域为(0，4)不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； 因为f(4－x)＝log2(－x2＋4x)≠－f(x)，所以f(x)的图象不关于点(2，0)对称，故C错误； 因为t＝－x2＋4x，x∈(0，4)，所以当x＝2时，tmax＝4，因为y＝log2t是增函数，所以ymax＝log24＝2，故D正确. 13.(2023·广东汕头模拟)函数f(x)＝|log3x|，若正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)，且f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n－m＝(　　) A. B. C. D. A　解析：∵f(x)＝|log3x|，正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)， ∴0＜m＜1＜n，且|log3m|＝|log3n|， ∴log3m＝－log3n，∴log3m＋log3n＝0，解得mn＝1， 又f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2， 易知f(m2)＝－log3m2＝2，此时 ∴n－m＝. 14.已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________.(写出一个即可) 答案：log2x(答案不唯一)　解析：符合对数函数幂的对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝log2x，则nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn). 分级三　素能创新 15.田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律.在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝0.32.1，b＝log30.8，c＝30.8，对方的三个数以及排序如表： 第一局 第二局 第三局 对方 3 0.9 0.027 则我方必胜的排序是________. 答案：b，c，a　解析：由指数函数性质知0.33<0.32.1<1，a＝0.32.1∈(0.33，1)，c＝30.8∈(1，＋∞)，由对数函数性质知b<0，因此b<a<c，所以当排序为b，c，a时，我方必胜. 16.函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”.若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围. 解：函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R， 当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增， 可得f(x)为R上的增函数； 当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数. ∴f(x)在定义域R上为增函数， 由f(x)＝loga(ax＋t2)＝x， 得ax＋t2＝ax，即ax－ax＋t2＝0， 令u＝ax，u＞0，即由u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根， 可得1－4t2＞0，且t2＞0， 解得t∈(－，0)∪(0，). 学科网（北京）股份有限公司 $$