第2章 第3节 第1课时 指数与对数运算（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第三节　指数函数、对数函数 第❶课时　指数与对数运算 课标解读 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. [对应学生用书P31] 知识点一　指数 1.根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义)； (2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝. 化简时，一定要注意区分n是奇数还是偶数.当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|. 2.分数指数幂的意义 (1)a＝；(2)a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 知识点二　对数 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质：①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaan＝n(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R). 1.换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2)logbn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0). 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3.对数恒等式 alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)()＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　　×　　) (3)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (4)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) 二、版本互鉴 1.(人教A版必修第一册P109 T2改编)设a>0，则下列运算中正确的是(　　) A.aa＝a B.a÷a＝a C.aa－＝0 D.(a)4＝a 答案：D 2.(苏教版必修第一册P79 T2改编)设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) A.a B.a C.a D.a 答案：C 3.(人教A版必修第一册P127 T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　) A. B. C.2a＋b D.2b＋a A　解析：log1210＝＝＝. [对应学生用书P32] 考点 指数幂运算 (自悟通) 1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A.(－2)－2＝4 B.2a－3＝ C.(－2)0＝－1 D.(a－)4＝ D　解析：(－2)－2＝，故A错误；2a－3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a－)4＝，故D正确. 2.若x＋x－＝3，求的值. 解：由x＋x－＝3，两边平方，得x＋x－1＝7， ∴x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45. 由(x＋x－)3＝33，得x＋3x＋3x－＋x－＝27， ∴x＋x－＝18，∴x＋x－－3＝15， ∴＝. 3.化简下列各式： (1)(2)0＋2－2×(2)－－(0.01)0.5； (2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3) ； (3). 解：(1)原式＝1＋×()－()＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3) ＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－. (3)原式＝＝a－－－·b＋－＝. 指数幂的运算技巧 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 考点 对数式的化简与求值 (自悟通) 1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A. B. C. D. B　解析：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝. 2.(多选)(2022·广东汕头二模)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A.ab＋bc＝2ac B.ab＋bc＝ac C.＝＋ D.＝－ AD　解析：由题意，设4a＝6b＝9c＝M(M＞0)， 则a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M， ∴＝logM4，＝logM6，＝logM9. ∵logM4＋logM9＝2logM6，∴＋＝，即＝－， 整理得ab＋bc＝2ac，易知A，D正确，B，C错误. 3.(2023·河北唐山模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A. B. C. D. C　解析：由题设有＝＝1014[H＋]2.因为10－7.45≤[H＋]≤10－7.35， 所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7，所以－0.9≤lg 1014[H＋]2≤－0.7. 又lg ≈－0.3，lg ≈－0.48，lg ≈－0.78，lg ＝－1， 所以只有lg 在范围之中. 4.计算下列各式的值： (1)log535＋2log－log5－log514； (2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. 解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2＝log5＋log2＝log553－1＝2. (2)原式＝[(log66－log63)2＋log62×log6(2×32)]÷log64 ＝÷log622 ＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62×log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1. 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行运算. (2)将同底对数的和、差、积合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (4)灵活利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 考点 指数、对数运算的实际应用 (精研通) 【例】 (2022·山东济南历城二中模拟)在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办.会上传出消息，未来6G速率有望达到1 Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平.香农公式C＝Wlog2(1＋)是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的(参考数据：log23≈1.58，log25≈2.32)(　　) A.2.4倍 B.2.5倍 C.2.6倍 D.2.7倍 B　解析：设提升前最大信息传递率为C1，提升后最大信息传递率为C2， 则由题意可知，C1＝Wlog2(1＋11)＝Wlog212，C2＝Wlog2(1＋499)＝Wlog2500， 所以＝＝＝＝ ＝≈＝≈2.5. 所以最大信息传递率C会提升到原来的2.5倍. 利用指数、对数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算. 1.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(参考数据：≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 C　解析：由题意，得L＝5＋lg V＝4.9，所以lg V＝－0.1，所以V＝10－0.1＝≈≈0.8. 2.(2023·广东金山中学模拟)地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准.震级ML是据震中100 km处的标准地震仪(周期0.8 s，衰减常数约等于1，放大倍率2 800倍)所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的.里氏震级的计算公式：ML＝lg ()，其中A0表示“标准地震振幅”(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距离实际震中的距离造成的偏差)，Amax是指我们关注的这个地震在距震中100 km处接收到的地震波的最大振幅.4.5级地震给人的震感已比较明显，那么6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值为(　　) A.e B.10 C.100 D.e2 C　解析：由于ML＝lg ()，所以Amax＝A010ML，所以6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值为＝102＝100. 分级练(11)　指数与对数运算 分级一　提能强化 1.(2023·江苏句容碧桂园学校高三开学考试)下列等式中，正确的是(　　) A.＝a B.2－log23＝ C.＝(－5) D.＝2 D　解析：对于A，当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|，错误；对于B，2－log23＝log24－log23＝log2≠，错误；对于C，＝5≠(－5)，错误；对于D，＝(2)＝(8)＝(8)＝2，正确. 2.函数y＝的定义域是(　　) A.[1，2] B.[1，2) C.[，1] D.(，1] D　解析：由题意得解得<x≤1. 3.(2023·河南驻马店模拟)已知5a＝8，4b＝5，则ab＝(　　) A.2 B. C. D.1 B　解析：由题意得a＝log58，b＝log45，则ab＝log58·log45＝＝＝. 4.已知函数f(x)＝|ln x|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，则＋＝(　　) A. B.1 C.2 D.4 C　解析：由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0，所以ln m＝－ln n，即mn＝1， 所以＋＝＝＝2. 5.(2023·天津塘沽一中模拟)若xlog23＝1，则3x＋3－x＝(　　) A. B. C. D. A　解析：因为xlog23＝1，所以x＝log32，所以3x＋3－x＝3log32＋3－log32＝2＋＝. 6.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A.25 B.5 C. D. C　解析：由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a－3b＝4＝. 7.已知x，y为正实数，则(　　) A.lg (x2·y)＝(lg x)2＋lg y B.lg (x·)＝lg x＋lg y C.eln x＋ln y＝x＋y D.eln x·ln y＝xy B　解析：A中，lg (x2·y)＝lg x2＋lg y＝2lg |x|＋lg y，故A不正确；B中，lg (x·)＝lg x＋lg ＝lg x＋lg y，故B正确；C中，eln x＋ln y＝eln x·eln y＝xy，故C不正确；D中，eln x·ln y＝(eln x)ln y＝xln y，故D不正确. 8.(2022·四川宜宾四中二模)桥梁由于自身结构的优势占地要比路基工程少，所以在平原区的高铁设计中大量采用桥梁代替普速铁路中常见的路基工程.在低桩承台对称竖直桩桩基基础刚度计算及有限元模拟中常用到三个公式Fc＝，Sc＝，Ic＝，其中Fc，Sc，Ic分别为承台地面以上水平方向地基系数c的图形面积和对底面的面积矩和惯性矩；cc表示承台底面处水平土的地基系数；hc表示承台底面埋入地面或局部冲刷下的深度.在设计某一桥梁时，已知Ic＝2.0×108，cc＝300，则Sc＝(　　) A.3.8×108 B.2.4×106 C.2.0×106 D.1.2×108 C　解析：根据题意，得2.0×108＝，解得hc＝200， 所以Sc＝＝2.0×106. 9.(2023·河南郑州四中模拟)计算：1.10＋eln 2－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝________. 答案：1　解析：原式＝1＋2－4＋2(lg 5＋lg 2)＝－1＋2＝1. 10.(2022·四川凉山三模)计算：()－2＋eln 3－(－1)0＋lg 4＋lg 0.25＝________. 答案：18　解析：()－2＋eln 3－(－1)0＋lg 4＋lg 0.25＝42＋3－1＋lg (4×0.25)＝18. 分级二　知能探究 11.(2022·广西桂林二模)若正数a，b满足1＋loga＝2＋logb＝log(a－b)，则－的值为(　　) A.－3 B.－2 C.2 D.3 A　解析：令1＋loga＝2＋logb＝log(a－b)＝k， 则a＝()k－1，b＝()k－2，a－b＝()k， 所以－＝＝＝＝－3. 12.(多选)(2023·广东佛山艺术高级中学模拟)已知2a＝5b＝m，则下面四个命题中正确的是(　　) A.若a＝b，则m＝1 B.若m＝10，则＋＝1 C.若a＝b，则m＝10 D.若m＝10，则＋＝ AB　解析：当a＝b时，由2a＝5b＝m，可得()a＝1，则a＝0，此时m＝1，所以A正确；当m＝10时，由2a＝5b＝m，可得a＝log210，b＝log510，则＋＝lg 2＋lg 5＝1，所以B正确. 13.2023年12月30日8时13分，长征二号丙火箭在中国酒泉卫星发射中心点火起飞，成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝10lg .若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为(　　) A.130 dB B.140 dB C.150 dB D.160 dB B　解析：由人交谈时的声强级约为50 dB，得50＝10lg ⇒＝105⇒x＝10－7，即人交谈时的声强为10－7 W/m2，因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，所以火箭发射时的声强为10－7×109＝100，因此火箭发射时的声强级为10lg ＝10lg 1014＝10×14＝140(dB). 14.(2022·山西大附中三模)某高山地区的大气压强p(单位：Pa)与海拔高度h(单位：m)近似满足函数关系p＝p0e－kh，其中k＝0.000 126，p0是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为p1，p2，且＝，那么甲、乙两处的海拔之差约为(参考数据：ln 2≈0.693)(　　) A.4 900 m B.5 500 m C.6 200 m D.7 400 m B　解析：记甲、乙两处的海拔高度分别为h1，h2，则由题可知＝＝e－k(h1－h2)＝，则h1－h2＝≈＝5 500(m). 15.(2023·河南模拟预测)民以食为天，科学研究表明：适宜的进食温度在10 ℃到40 ℃左右.大量实验数据表明：把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0，那么t min后物体的温度θ(单位：℃)满足公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(其中k为常数).现有60 ℃的物体放在20 ℃的空气中冷却，2 min后物体的温度是40 ℃.现将一盘出锅温度是100 ℃的美食放在20 ℃的空气中冷却，为达到适宜的进食温度，至少应冷却(　　) A.2 min B.3 min C.4 min D.5 min C　解析：∵现有60 ℃的物体放在20 ℃的空气中冷却，2 min后物体的温度是40 ℃， ∴40＝20＋(60－20)e－2k，解得e－2k＝.① ∵适宜的进食温度在10 ℃到40 ℃左右，一盘出锅温度是100 ℃的美食放在20 ℃的空气中冷却， ∴40＝20＋(100－20)e－kt，解得e－kt＝.② 联立①②解得t＝4，即至少应冷却4 min. 分级三　素能创新 16.因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号.把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题. (1)对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，n∈R，那么logaMn＝nlogaM； (2)请你运用上述对数运算性质，计算(＋)的值； (3)对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就.例如，因为210＝1 024∈(103，104)，所以210是一个4位数，我们取lg 2≈0.301 0，请你运用上述对数运算性质，判断250的位数是多少？ 解：(1)设M＝ax，则Mn＝anx. 根据对数定义有logaM＝x，logaMn＝nx， 因此logaMn＝nlogaM. (2)由logaMn＝nlogaM可得(＋)＝·(＋) ＝(＋)＝×＋×＝＋＝. (3)设250的位数为k，则10k－1≤250≤10k， 所以lg 10k－1≤lg 250≤lg 10k， 即k－1≤50lg 2≤k. 因为lg 2≈0.301 0， 所以50lg 2≈15.05. 由k－1≤15.05≤k得15.05≤k≤16.05. 因为k∈N*，所以k＝16.即250的位数是16. 学科网（北京）股份有限公司 $$