第2章 第2节 函数的基本性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第二节　函数的基本性质 课标解读 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 2.了解函数奇偶性的概念和几何意义. 3.了解函数周期性的概念和几何意义. [对应学生用书P23] 知识点一　函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D，对任意x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增) 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减) 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). 知识点二　函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，且x0∈D 条件 如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0) 如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0) 结论 最大值为f(x0)，x0为f(x)的最大值点 最小值为f(x0)，x0为f(x)的最小值点 知识点三　函数的奇偶性 偶函数 奇函数 概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数 定义域特征 奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称 图象特征 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 知识点四　函数的周期性 1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 关于函数单调区间需注意的4个点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示. (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域. (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. (1)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (2)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”. 函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值. (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).　 (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集. (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　×　　) (2)若一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.(　　×　　) (3)所有的单调函数都有最值.(　　×　　) (4)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　×　　) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　√　　) (6)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(人教A版必修第一册P79 T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A.y＝－x B.y＝x2－x C.y＝x＋ D.y＝ex 答案：A 2.(苏教版必修第一册P111例1改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________. 答案：[1，＋∞) 3.(北师大版必修第一册P62 T3改编)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是________. 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)　解析：易知函数f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20. 4.(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________. 答案：2 5.(苏教版必修第一册P126 T7改编)如果函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]，那么函数f(x)的值域为________. 答案：[－3，5] 6.(苏教版必修第一册P126 T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________. 答案： 7.(人教A版必修第一册P86 T11改编)已知函数f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________. 答案：－ 8.(北师大版必修第二册P4 T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 021)＝________. 答案：1　解析：由题意知f(2 021)＝f(3×674－1)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2 021)＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$