第2章 第2节 第3课时 函数性质的综合问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❸课时　函数性质的综合问题 [对应学生用书P30] 考点 函数的奇偶性与单调性的综合 (精研通) 【例1】 设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＞a＞c B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.a＞c＞b C　解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数， ∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， a＝f(－π)＝f(π)，又π＞3＞log23＞1＞2－0.2＞0， ∴f(－π)＞f(log23)＞f(2－0.2)，即a＞b＞c. 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 (1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小. (2)抽象不等式问题，解题步骤是①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题. 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1). 　(2023·湖南雅礼检测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg (3x＋1)－1，则不等式f(x)＞0的解集为(　　) A.(－3，0)∪(3，＋∞) B.(3，＋∞) C.(－3，3) D.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D　解析：当x≥0时，由f(x)＝lg (3x＋1)－1＞0，得x＞3.又因为函数f(x)为偶函数，所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞). 考点 函数的奇偶性与周期性的综合 (精研通) 【例2】 (2023·福建三明模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，3) B.(－∞，－1)∪(3，＋∞) C.(－3，1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) A　解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)， 故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1， 所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3. 函数奇偶性与周期性的综合问题多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x－1)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则下列命题正确的个数是(　　) ①f(x)＝f(x－16)；②f(11)＝0；③f(2 022)＝－f(0)；④f(2 023)＝f(－1). A.1 B.2 C.3 D.4 D　解析：因为f(2x－1)是奇函数，所以f(－2x－1)＝－f(2x－1)， 故f(－1－x)＝－f(x－1)，f(x)＝－f(－x－2)， 又因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1), f(x)＝f(－x＋2)， 所以f(－x＋2)＝－f(－x－2)，f(x＋4)＝－f(x)， 所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8， 由f(－1－x)＝－f(x－1)可得f(－1)＝0， 由f(x＋4)＝－f(x)可得f(3)＝－f(－1)＝0. 对于①，f(x)＝f(x＋(－2)×8)＝f(x－16)，正确； 对于②，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝0，正确； 对于③，f(2 022)＝f(8×253－2)＝f(－2)＝－f(0)，正确； 对于④，f(2 023)＝f(8×253－1)＝f(－1)，正确. 故选D. 考点 函数的奇偶性、周期性、对称性的综合 (精研通) 【例3】 (1)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　) A.f(－25)＜f(11)＜f(80) B.f(80)＜f(11)＜f(－25) C.f(11)＜f(80)＜f(－25) D.f(－25)＜f(80)＜f(11) (1)D　(2)D　解析：(1)因为f(x＋1)是奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(1)＝0. 因为f(x＋2)是偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，周期为4， 所以f(0)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1)， 故f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6， 代入可得解得 故当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2， 因此f()＝f()＝－f()＝－(－2×＋2)＝. (2)∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， ∴函数f(x)是以8为周期的周期函数， 则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1). ∵f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11). 对于函数性质综合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. 1.(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)在[－6，－3]上单调递减 C.f(x)关于x＝3对称 D.f(100)＝9 ACD　解析：∵f(x)的图象关于直线x＝－3对称，∴f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，∴f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，由T＝6，得f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；∵f(x)的图象关于x＝－3对称且T＝6，∴f(x)的图象关于直线x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确. 2.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，对任意的x1，x2∈(1，2)(x1≠x2)，都有 >0，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(1 023)＝0 C.f(x)的图象关于点(1，0)对称 D.f >f BCD　解析：根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数， 则f(x)的图象关于点(1，0)对称，同时关于直线x＝2对称， 则有f(2＋x)＝－f(－x)，f(－x)＝f(4＋x)，则有f(x＋2)＝－f(x)， 故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数. 对A，f(x)的图象关于点(1，0)对称，同时关于直线x＝2对称，则x＝0， 即y轴也是函数f(x)图象的对称轴，则f(x)为偶函数，A错误； 对B，因为f(x)是周期为4的周期函数，所以f(1 023)＝f(3＋4×255)＝f(3)＝－f(1)＝0，B正确； 对C，因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确； 对D，对任意的x1，x2∈(1，2)(x1≠x2)，都有 >0，则f(x)在区间(1，2)上为增函数， 由f(x)为偶函数，得f ＝f ，由f(x)的图象关于直线x＝2对称， 得f ＝f，又由2>＞>1，得f >f ，D正确.故选BCD. 分级练(10)　函数性质的综合问题 分级一　提能强化 1.(2023·河北张家口高三期末)已知函数f(x)＝，则(　　) A.函数f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B.函数f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C.函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D.函数f(x)非奇非偶，在区间(－∞，0)上单调递增 A　解析：由题意得函数f(x)的定义域为R，－f(－x)＝－＝－＝＝f(x)，故f(x)是奇函数.又f(x)＝＝1－，令g(x)＝－，则g′(x)＝>0在R上恒成立，所以函数g(x)在R上单调递增，由复合函数的单调性可知f(x)在R上单调递增. 2.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是(　　) A.(0，e2) B.(e－2，＋∞) C.(e2，＋∞) D.(e－2，e2) D　解析：根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2， 即－2<ln x<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2). 3.(2023·江西宜春模拟预测)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x)＋f(x2－x)>0的解集为(　　) A.(0，1) B.(－3，0) C.(－∞，－1)∪(0，＋∞) D.(－∞，0)∪(3，＋∞) C　解析：函数f(x)＝2x－2－x的定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，且在R上是增函数，则f(2x)＋f(x2－x)>0⇔f(x2－x)>f(－2x)，于是得x2－x>－2x，解得x<－1或x>0，所以所求不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞). 4.(2022·山东济南二模)设f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)>0的x的取值范围是(　　) A.{x|x>1} B.{x|－1<x<0} C.{x|x<－1或x>1} D.{x|－1<x<0或x>1} C　解析：∵当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1是增函数， 且f(x)为偶函数，∴可以作出f(x)的图象如图所示. f(x)>0⇒f(x)>f(1)或f(x)>f(－1)，根据奇偶性和单调性可知f(x)>0的取值范围为{x|x<－1或x>1}. 5.(2023·福建莆田模拟)已知函数y＝f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，则(　　) A.f(－3)＝0 B.f(－1)＝0 C.f(0)＝0 D.f(2)＝0 A　解析：依题意知函数y＝f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，所以f(2×0＋1)＝f(1)＝0，又因为图象关于直线x＝1对称，所以f(－3)＝f(2×(－2)＋1)＝－f(2×2＋1)＝－f(2×0＋1)＝－f(1)＝0，f(－1)，f(0)，f(2)的函数值无法确定. 6.设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区间[－1，0)上是增函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则有(　　) A.f()<f()<f(1) B.f(1)<f()<f() C.f(1)<f()<f() D.f()<f(1)<f() A　解析：∵f(x)为奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，∴f()＝－f(－)，f(1)＝－f(－1)，f()＝f(－＋2)＝－f(－)，又－1<－<－<0，且函数在区间[－1，0)上是增函数，∴f(－1)<f(－)<f(－)<0，∴－f(－1)>－f(－)>－f(－)，∴f(1)>f()>f(). 7.(2023·湖南邵阳模拟)若f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________.(写出符合条件的一个即可) 答案：－x2(答案不唯一)　解析：若f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，故f(x)为偶函数，且易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(0，)上单调递减，符合条件. 8.写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝______________________. ①f(m＋n)＝f(m)f(n)；②f′(x)<f(x). 答案：e－x(答案不唯一)　解析：依题意令f(x)＝e－x， 则f(m＋n)＝e－(m＋n)＝e－m－n，f(m)＝e－m，f(n)＝e－n， 所以f(m)f(n)＝e－m·e－n＝e－m－n＝f(m＋n)，故满足①； 又f′(x)＝－e－x，则f′(x)＝－e－x<e－x＝f(x)，故满足②. 9.(2023·山西太原阶段测评)偶函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，若f(4)＝2，则f(－2)＝________. 答案：2　解析：方法一　由函数f(x)为偶函数，得f(－2)＝f(2).由函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝3，得f(2)＝f(4)＝2，则f(－2)＝2. 方法二　由函数f(x)为偶函数及函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝3，得f(x)的周期T＝2×|3－0|＝6，则由周期性，得f(－2)＝f(4)＝2. 10.(2023·江苏阜宁中学高三期中)已知函数f(x)＝1－为奇函数，则函数f(x)在区间[0，1]上的最大值为________. 答案：　解析：因为函数f(x)＝1－的定义域为R，且函数f(x)＝1－为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即1－＋1－＝0，解得m＝2，所以f(x)＝1－.又当x∈[0，1] 时，若x增加，则导致5x＋1增加，从而－增加，所以f(x)的值增加，所以函数f(x)在区间[0，1]上是增函数，所以函数f(x)在区间[0，1]上的最大值为f(1)＝1－＝. 分级二　知能探究 11.(多选)(2023·福建厦门模拟)若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论正确的是(　　) A.y＝|f(x)|是偶函数 B.对任意的x∈R都有f(－x)＋|f(x)|＝0 C.y＝f(－x)在(－∞，0]上单调递增 D.y＝f(x)f(－x)在(－∞，0]上单调递增 AD　解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|是偶函数，故A正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)＝|f(x)|不一定成立，故B不正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，从而y＝f(－x)在(－∞，0]上单调递减，故C不正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≥f(0)＝0，因此y＝f(x)f(－x)＝－[f(x)]2在(－∞，0]上单调递增，故D正确. 12.函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，y＝f(x－1)的图象关于(1，0)对称，且f(4)＝1，则f(2 024)＝(　　) A.1 B.－1 C.0 D.2 B　解析：因为函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，所以函数f(x)的周期为T＝12.将y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位长度可得y＝f(x)的图象，又y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，故f(x)为R上的奇函数，所以f(2 024)＝f(168×12＋8)＝f(8)＝f(12－4)＝f(－4)＝－f(4)＝－1. 13.(多选)(2023·山东潍坊月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上是增函数，下面关于f(x)的判断正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点P(1，0)对称 B.f(0)是函数f(x)的最大值 C.f(x)在[2，3]上是减函数 D.f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z ABD　解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的函数，∵偶函数f(x)在[－2，0]上是增函数，∴f(x)在[0，2]上是减函数，∴f(x)在[－2，2]上，最大值为f(0)，∵f(x)是以4为周期的函数，∴f(0)是函数的最大值，故B正确；∵f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋2)＋f(－x)＝0，∴f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；∵f(x)在[－2，0]上是增函数，∴f(x)在[2，4]上是增函数，故C错误；∵T＝4，∴f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z，故D正确. 14.(2024·陕西长安区10月月考)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，若y＝f(2x＋1)的最小正周期为1，则下列说法中正确的有(　　) ①f ＋f ＝0；②f ＋f ＝0； ③f(x)的一个对称中心为(1，0)；④f(x)的一条对称轴为x＝. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B　解析：因为y＝f(2x＋1)的最小正周期为1，所以f(2(x＋1)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋3)＝f(2x＋1)，所以2是f(x)的最小正周期. 因为f(x)为奇函数，所以f ＋f ＝f ＋f ＝0，②正确； f ＋f ＝f ＋f ＝f －f ，不一定为零，①不正确； 因为f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(x)的一个对称中心为(1，0)，③正确； 通过题目条件无法得出f(x)的一条对称轴为x＝，④不正确.故选B. 15.已知函数f(x)满足f(2－x)＋f(2＋x)＝6，g(x)＝ ，且f(x)与g(x)的图象交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，则x1＋x2＋…＋x8＋y1＋y2＋…＋y8的值为(　　) A.20 B.24 C.36 D.40 D　解析：由于函数f(x)满足f(2－x)＋f(2＋x)＝6，当x＝0时，f(2)＝3，所以f(x)的图象关于点(2，3)中心对称.由于g(x)＝ ＝ ＝3＋，所以g(x)的图象关于点(2，3)中心对称.故f(x)和g(x)的图象都关于点(2，3)中心对称.所以f(x)与g(x)的图象交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)两两关于点(2，3)对称.所以x1＋x2＋…＋x8＋y1＋y2＋…＋y8＝8×2＋8×3＝40. 16.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝f(x－1)，f(1－x)＋f(x)＝1，则f(x)的最小正周期为________，f(x)的一个解析式可以为________. 答案：2　f(x)＝＋cos πx(答案不唯一)　解析：因为f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)＝f(x－2)，所以f(x)是周期为2的周期函数.因为f(1－x)＋f(x)＝1，所以函数f(x)的图象关于点(，)对称，满足图象关于点(，)对称以及周期为2的方程可以为f(x)＝＋cos πx. 17.已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明f(x)在[2，6]上的单调性，并求出在[2，6]上的最大值和最小值. (1)解：根据题意，函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝b＝0， 又由f(1)＝1，得f(1)＝＝1，解得a＝1， 则f(x)＝是R上的奇函数，符合题意.故a＝1，b＝0. (2)证明：由(1)可知f(x)＝， 设2≤x1＜x2≤6，则f(x1)－f(x2)＝－＝， 由2≤x1＜x2≤6，得f(x1)－f(x2)＞0， 则函数f(x)在区间[2，6]上为减函数， 则f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(6)＝. 分级三　素能创新 18.函数y＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.则对于函数f(x)＝|x－[x]|，有下列说法：①f(x)的值域为[0，1)；②f(x)是以1为周期的周期函数；③f(x)是偶函数；④f(x)在区间[1，2)上是单调递增函数.其中，正确的说法序号为________. 答案：①②④　解析：当x∈[n，n＋1)(n∈Z)时，[x]＝n，f(x)＝|x－n|＝x－n，所以f(x)∈[0，1)，故①④正确；当x∈[n，n＋1)时，x＋1∈[n＋1，n＋2)，[x＋1]＝n＋1，f(x＋1)＝|x＋1－[x＋1]|＝|x＋1－(n＋1)|＝|x－n|＝f(x)，故②正确；f(－)＝＝，f()＝＝，所以③错误. 学科网（北京）股份有限公司 $$