第2章 第2节 第1课时 函数的单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❶课时　函数的单调性与最值 [对应学生用书P25] 考点 求函数的单调区间 (自悟通) 1.(多选)下列是函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调减区间的是(　　) A.(－∞，2) B.(－∞，3) C.[3，4] D.(2，3) AC　解析：因为f(x)＝|x2－6x＋8|＝ 函数图象如图所示，所以由图可知函数f(x)的单调减区间为(－∞，2)和[3，4]. 2.函数y＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________. 答案：[2，＋∞)　(－∞，－3]　解析：令u＝x2＋x－6，则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数.令u＝x2＋x－6≥0，解得x≤－3或x≥2.易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞). 考点 判断函数的单调性 (自悟通) 1.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A.f(x)＝－x B.f(x)＝()x C.f(x)＝x2 D.f(x)＝ D　解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝()x是指数函数，底数0<<1，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数. 2.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 A　解析：不妨令x1<x2，则x1－x2<0， 由>－1得f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)， 即f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，则g(x1)<g(x2)， 又∵x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数. 判断函数的单调性的5种方法 定义法 一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性 导数法 先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调性 性质法 利用已知函数的单调性 复合法 函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则 考点 求函数的最值 (精研通) 【例1】 (1)函数f(x)＝()x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________. (2)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________. 答案：(1)3　(2)2－6 解析：(1)(单调性法)　由于y＝()x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3. (2)(利用单调性和均值不等式求解)　因为y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0；当x>1时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，此时f(x)min＝2－6.又2－6<0，所以f(x)min＝2－6. 求函数最值的4种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值 换元法 对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法 最值 1.(2023·山东德州模拟)函数y＝x＋的最大值为________. 答案：　解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝sin (θ＋)，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故原函数的最大值为. 2.(2023·河北石家庄模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________. 答案：1　解析：在同一平面直角坐标系中,作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，函数h(x)的图象如图中实线所示.易知点A(2，1)为图象的最高点,因此函数h(x)的最大值是h(2)＝1. 3.当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________. 答案：　解析：由y＝，可得y＝－.因为－3≤x≤－1， 所以≤－≤，所以≤y≤3.所以所求函数的最小值为. 考点 函数单调性的应用 (精研通) 考法1　比较大小 【例2】 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－1)，b＝f(2)，c＝f(e)(其中e＝2.718 28…)，则a，b，c的大小关系为(　　) A. a＞c＞b B.b＞c＞a C. b＞a＞c D.c＞b＞a B　解析：由题意得f(x)在(1，＋∞)上单调递减.因为函数图象关于直线x＝1对称，所以f(－1)＝f(3)，且3＞e＞2＞1，所以f(3)＜f(e)＜f(2)，所以a＜c＜b. 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解. 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3) C.f(π)<f(－3)<f(－2) D.f(π)<f(－2)<f(－3) A　解析：因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2). 考法2　解不等式 【例3】 定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　) A.[－1，2) B.[0，2) C.[0，1) D.[－1，1) C　解析：因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数f(x)在[－2，2]上单调递增，所以解得0≤a<1. 求解与抽象函数有关的不等式时应注意的点 在解决此类问题时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解. 提醒：此时应特别注意函数的定义域. 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(3－x)，且∀x1，x2∈[1，＋∞)，x1≠x2，都有>0，f(3)＝3.若对∀x∈(1，3)，f(2x－a)－3>0恒成立，则a的取值范围是(　　) A.(－1，9) B.(－∞，－1)∪(9，＋∞) C.[－1，7] D.(－∞，－1]∪[7，＋∞) D　解析：由题意可知f(x)在[1，＋∞)上单调递增. ∵f(x－1)＝f(3－x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(x)在(－∞，1]上单调递减. ∵f(3)＝3，∴f(－1)＝f(3)＝3.由f(2x－a)－3>0知f(2x－a)>f(3)或f(2x－a)>f(－1)， ∴2x－a>3或2x－a<－1，∴a<2x－3或a>2x＋1，∵x∈(1，3)，∴a≤－1或a≥7. 2.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(5)＝－f(－5)，则满足 ≥0的x的取值范围是(　　) A.(－∞，－1]∪(8，＋∞) B.(－∞，8] C.(－∞，－2]∪(－1，＋∞) D.(－∞，－2]∪(－1，8] D　解析：因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(5)＝f(－5)，又f(5)＝－f(－5)， 所以f(5)＝f(－5)＝0. 由≥0，得或解得－1<x≤8或x≤－2. 考法3　求参数的值或范围 【例4】 (1)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.[1，4] C.[4，＋∞) D.(－∞，1]∪[4，＋∞) (2)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B.(－∞，1] C.(1，＋∞) D.[1，＋∞) (1)D　(2)B 解析：(1)作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增， 需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. (2)因为函数y＝ex为增函数，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，由复合函数的单调性知，必有t＝|x－a|在区间[1，＋∞)上是增函数， 又t＝|x－a|在区间[a，＋∞)上是增函数，所以[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，故有a≤1. 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. (2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小. (2024·陕西汉中校际联考)已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝在R上单调，则a的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B. C. D. D　解析：因为函数f(x)在R上单调， 由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意， 故y＝f(x)在R上单调递减， 所以解得≤a<1. 分级练(8)　函数的单调性与最值 分级一　提能强化 1.(2023·安徽五河一中月考)下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0成立”的是(　　) A.f(x)＝－x2－2x＋1 B.f(x)＝x－ C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝log2(2x)＋1 A　解析：根据题意，“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0成立”，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 对于选项A，f(x)＝－x2－2x＋1，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意； 对于选项B，f(x)＝x－，其导数f′(x)＝1＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 对于选项C，f(x)＝x＋1为斜率大于0的一次函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，f(x)＝log2(2x)＋1在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意. 2.函数f(x)＝lg (x2－4)的单调递增区间为(　　) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(－∞，－2) C　解析：由复合函数的单调性知，要使f(x)单调递增，需解得x>2. 3.若函数f(x)＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　) A.(1，2) B.(－1，2) C.[1，2) D.[－1，2) D　解析：因为f(x)＝＝－1＋在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递减，且当x∈(m，n]时最小值为0，即f(n)＝0，n＝2，所以m<n＝2.又函数f(x)的定义域分为两段，x＝2在(－1，＋∞)上，故m≥－1.综上，－1≤m<2. 4.(2024·山西介休一中月考)若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在[0，4]上为单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A.[－4，0] B.[－4，4] C.[－8，0] D.[－8，4] A　解析：f(x)＝x2＋a|x－2|＝要使f(x)在[0，4]上为单调函数， 则或解得－4≤a≤0， 所以实数a的取值范围是[－4，0]. 5.已知定义在R上的函数f(x)对任意x∈(0，π)，有f(x)－f(－x)＝0，且当x1，x2>0时，有>0，设a＝f()，b＝f(－2)，c＝f(3)，则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a A　解析：因为对任意x∈(0，π)，f(x)－f(－x)＝0，所以f(－2)＝f(2). 因为当x1，x2>0时，有>0， 所以函数f(x)在区间(0，π)上是增函数.因为<2<3，所以f()<f(2)<f(3)， 即f()<f(－2)<f(3)，所以a<b<c. 6.(2023·甘肃兰州模拟)函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] B　解析：函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1. 7.函数f(x)＝－x＋在上的最大值是________. 答案：　解析：易知f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝. 8.已知函数f(x)＝x3＋(a>0)的最小值为8，则实数a＝________. 答案：2　解析：由x－a≥0，得x≥a，故函数的定义域为[a，＋∞). 易知函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝a3＝8，解得a＝2. 9.已知函数f(x)＝. (1)写出函数f(x)的定义域和值域； (2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值. (1)解：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.又f(x)＝1＋，所以函数f(x)的值域为{y|y≠1}. (2)证明：由题意可设0<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(1＋)－(1＋)＝－＝. 因为0<x1<x2，所以x1x2>0，x2－x1>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数. 在x∈[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝. 分级二　知能探究 10.设函数f(x)＝ln (－x2＋4x)在(a，a＋1)上单调递增，则a的取值范围为(　　) A.(0，1) B.[0，2] C.(0，2) D.[0，1] D　解析：由函数－x2＋4x>0，得0<x<4，即函数f(x)的定义域为(0，4). 令g(x)＝－x2＋4x，x∈(0，4)， 则函数g(x)的对称轴为x＝2，开口向下， 所以g(x)在(0，2]上单调递增，在[2，4)上单调递减， 又y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 所以当函数f(x)在(a，a＋1)上单调递增时， 根据复合函数的单调性可知解得0≤a≤1. 11.若函数y＝在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝(　　) A. B.2 C. D. A　解析：可令|x|＝t，则1≤t≤4，y＝－， 易知y＝－在[1，4]上单调递增， ∴其最小值为1－1＝0，最大值为2－＝， 则m＝0，M＝，则M－m＝. 12.(2022·河北沧州二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且在区间(1，＋∞)上单调递增，则满足f(1－x)>f(x＋3)的x的取值范围为(　　) A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1) C.(－1，1) D.(－∞，1) B　解析：因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以在(－∞，1)上单调递减.因为f(1－x)>f(x＋3)，所以|(1－x)－1|>|(x＋3)－1|，即|－x|>|x＋2|，平方后解得x<－1，所以x的取值范围为(－∞，－1). 13.已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数.如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是(　　) A.m－n<0 B.m－n>0 C.m＋n<0 D.m＋n>0 A　解析：设F(x)＝f(x)－f(－x).∵f(x)是R上的减函数， ∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数， ∴F(x)是R上的减函数， ∴当m<n时，有F(m)>F(n)， 即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立. 因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n<0一定成立. 14.能说明“若函数f(x)和g(x)在R上都是单调递增的，则h(x)＝f(x)g(x)在R上单调递增”为假命题的函数f(x)和g(x)的解析式分别是________，________. 答案：f(x)＝x　g(x)＝x(答案不唯一)　解析：根据题意，“若函数f(x)和g(x)在R上都是单调递增的，则h(x)＝f(x)g(x)在R上单调递增”为假命题，即函数f(x)，g(x)在R上均为增函数，而函数h(x)＝f(x)g(x)在R上不是增函数，可考虑f(x)，g(x)均为一次函数，可取f(x)＝x，g(x)＝x，则函数f(x)和g(x)在R上都是单调递增的，但函数h(x)＝f(x)g(x)＝x2在R上不是增函数. 15.设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝ (1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围. 解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1. 由f(x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中 Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1，b＝2. 从而f(x)＝x2＋2x＋1. ∴F(x)＝ (2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1， ∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1， 由g(x)在[－2，2]上是单调函数， 知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6. 即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞). 分级三　素能创新 16.如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，而函数y＝在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓减函数”，区间I叫“缓减区间”.可以证明函数f(x)＝＋(a>0，b>0)的单调递增区间为(－∞，－]，[，＋∞)；单调递减区间为[－，0)，(0，].若函数h(x)＝x2－2x＋1是区间I上的“缓减函数”，则下列区间中为函数h(x)的“缓减区间”的是(　　) A.(0，2] B.(0，] C. D.[1，] C　解析：对于h(x)＝x2－2x＋1，单调递减区间是(－∞，2]，对于y＝＝＋－2，单调递增区间是(－∞，－]和[，＋∞)，故h(x)＝x2－2x＋1的“缓减区间”为(－∞，－]和[，2]，只有C中的⊆[，2]，其他都不包含在上述区间中的任意一个之内，故选C. 第❷课时　函数的奇偶性、周期性与对称性 [对应学生用书P27] 考点 判断函数的奇偶性 (自悟通) 1.(2023·安徽芜湖模拟)下列函数中是奇函数的是(　　) A.y＝x3＋1 B.y＝ln |x| C.y＝sin (x＋) D.y＝ex－e－x D　解析：对于A，f(x)＝x3＋1，f(1)＝2，f(－1)＝0，故f(x)为非奇非偶函数；对于B，f(x)＝ln |x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|，f(x)为偶函数；对于C，f(x)＝sin (x＋)＝cos x，f(x)为偶函数；对于D，易知定义域为R，f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，f(x)为奇函数. 2.(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A.|f(x)|是偶函数 B.－f(x)是奇函数 C.f(x)|f(x)|是奇函数 D.f(|x|)f(x)是偶函数 ABC　解析：f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数，所以f(x)|f(x)|是奇函数.因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)·f(x)是奇函数. 3.已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是________. 答案：奇函数　解析：方法一　当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数. 方法二　作出f(x)的图象，由图象可知f(x)为奇函数. 判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法：即根据奇、偶函数的定义来判断. (2)图象法：即利用奇、偶函数的对称性来判断. (3)性质法：即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断. 考点 函数奇偶性的简单应用 (自悟通) 1.(2023·江西南昌模拟)若f(x)＝为奇函数，则g(－2)＝(　　) A.－8 B.－4 C.－2 D.0 A　解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－4， 又f(－2)＝g(－2)＋4，可得g(－2)＝－8. 2.(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 D　解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}.因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝ ，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2. 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 022)＋f(2 024)的值为________. 答案：0　解析：由题意得g(－x)＝f(－x－1).∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0，∴f(2 022)＋f(2 024)＝f(2 023－1)＋f(2 023＋1)＝0. 应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法 (1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式，先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值，利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得出参数的值. 考点 函数的周期及应用 (精研通) 【例1】 (2023·湖南六校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 024)＝(　　) A.5 B. C.2 D.－5 D　解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝－f(0＋2)＝－(22＋log22)＝－5. 函数周期性问题的求解策略 (1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求解.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期. 1.(多选)(2023·广东茂名统考一模)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝x2，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B.f(x)是周期为2的函数 C.f(－1)＝0 D.f ＝ ACD　解析：由f(x＋1)为奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0， 故f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确； 由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0，得f(x)＝－f(2＋x)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故B错误； 由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，得f(1)＝－f(1)，∴f(1)＝0， 故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确； 当x∈[0，1)时，f(x)＝x2, ∵f(x)的周期为4，∴f ＝f ＝f ＝，故D正确. 2.函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________. 答案：　解析：由题意易知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋|＝，所以f(f(15))＝f()＝cos ＝. 3.f(x)是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝________. 答案：0　解析：∵对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$