第2章 第1节 函数及其表示（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第二章　函　数 第一节　函数及其表示 课标解读 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. [对应学生用书P20] 知识点一　函数的有关概念 概念 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数 三要素 对应关系 f 定义域 x的取值范围A 值域 函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A} 知识点二　函数的表示方法 函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法.同一个函数可以用不同的方法表示. 知识点三　分段函数 1.定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数. 2.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}.　 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.(　　×　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　×　　) (3)f(x)＝＋ 是一个函数.(　　×　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数.(　　×　　) (5)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.(　　×　　) 二、版本互鉴 1.(多选)(湘教版必修第一册P75 T1改编)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　) 答案：BC 2.(人教A版必修第一册P66 例3改编)下面函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A.y＝ B.y＝＋1 C.y＝＋1 D.y＝＋1 答案：B 3.(人教A版必修第一册P72 T6改编)已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝6，则f(x)＝________. 答案：2x2－x 4.(苏教版必修第一册P101 T6改编)函数f(x)＝＋ 的定义域是________. 答案：(－4，4] 5.(湘教版必修第一册P75 T2改编)已知函数f(x)＝则f(3)＋f(－3)f()的值为________. 答案：1＋2 [对应学生用书P21] 考点 函数的定义域 (自悟通) 1.(2024·安徽合肥一中质检)已知函数f(x)＝＋log2(2－x)，则函数f(x)的定义域为(　　) A.(－3，2) B.[－3，2) C.(－3，2] D.[－3，2] A　解析：对于函数f(x)＝＋log2(2－x)，有解得－3<x<2， 所以函数f(x)的定义域为(－3，2). 2.(2024·黑龙江佳木斯联合体调研)若函数f(2x－1)的定义域为[－1，1]，则函数y＝的定义域为(　　) A.(－1，2] B.[0，2] C.[－1，2] D.(1，2] D　解析：由函数f(2x－1)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，得－3≤2x－1≤1， 因此由函数y＝有意义，得解得1<x≤2， 所以函数y＝的定义域为(1，2]. 3.(2023·山东济南检测)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x－2)的定义域为________. 答案：(，1)　解析：∵函数f(x)的定义域为(－1，0)， ∴－1＜2x－2＜0，解得＜x＜1.∴函数f(2x－2)的定义域为(，1). 1.根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可. 2.求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 考点 求函数解析式 (自悟通) 1.(2023·河北石家庄二中模拟)已知f(x＋1)＝ln x，则f(x)＝(　　) A.ln (x＋1) B.ln (x－1) C.ln |x－1| D.ln (1－x) B　解析：方法一(换元法)　因为f(x＋1)＝ln x， 所以x>0，令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1， 所以f(t)＝ln (t－1)， 所以f(x)＝ln (x－1). 方法二(配凑法)　f(x＋1)＝ln x＝ln [(x＋1)－1]， 所以f(t)＝ln (t－1)，即f(x)＝ln (x－1)(x>1). 2.若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为_____________________. 答案：f(x)＝x2－x＋3 解析：(待定系数法)　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3， 所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. 所以解得 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3. 3.已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________. 答案：f(x)＝2x　解析：(解方程组法)　因为2f(x)＋f(－x)＝2x，① 将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，② 由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x， 所以f(x)＝2x. 求函数解析式的三种常用方法 待定系数法 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式 换元法 如果给定复合函数的解析式，求外函数解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式 解方程组法 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式 考点 分段函数 (精研通) 考法1　分段函数求值问题 【例1】 (1)设f(x)＝则f(f(1))的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)(2024·山西金科大联考质检)设函数f(x)＝则f(f(4))＝(　　) A.－2 B.－9 C.－10 D.－11 (1)B　(2)B　解析：(1)因为f(1)＝22－1＝3， 所以f(f(1))＝f(3)＝log28＝3. (2)由解析式可得f(4)＝f(4－1)＝f(3)＝f(2)＝f(1)＝f(0)＝f(－1)＝－2， 所以f(f(4))＝f(－2)＝(－2)3－1＝－9. 求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 考法2　与方程结合问题 【例2】 (1)(2023·江苏南京模拟)函数f(x)＝若f(a)＝5，则a＝________. (2)(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________. 答案：(1)－3　(2)2　解析：(1)由题意可知，当a>0时，f(a)＝－a2＝5无解； 当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝5，解得a＝－3或a＝1(舍去)，所以a＝－3. (2)由题意得f()＝()2－4＝2， ∴f(f())＝f(2)＝|2－3|＋a＝3，解得a＝2. (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参. (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值. (2024·北京第六十六中学检测)函数f(x)＝则不等式f(x2)<f(5x－4)的解集为________. 答案：(1，4)　解析：根据题意，作出函数f(x)的图象如图所示， 由函数f(x)的图象可知，函数f(x)在R上单调递增， 所以f(x2)<f(5x－4)等价于x2<5x－4，解得1<x<4， 所以不等式的解集为(1，4). 考法3　与不等式结合问题 【例3】 (2023·重庆育才中学模拟预测)已知函数f(x)＝若f(x)＋f(x－1)>5，则x的取值范围是________. 答案：(2，＋∞)　解析：由f(x)＝当x－1<x≤0，即x≤0时，得x＋x－1>5，解得x>3，此时x无解； 当x－1≤0<x，即0<x≤1时，得x2＋x－1>5，解得x>2或x<－3，此时x无解； 当0<x－1<x，即x>1时，得x2＋(x－1)2>5，解得x>2或x<－1，此时x>2. 综上所述，x的取值范围是(2，＋∞). 涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解. 1.已知函数f(x)＝若f(a)－f(－a)>0，则实数a的取值范围为________. 答案：(－2，0)∪(2，＋∞)　解析：当a＝0时，显然不成立.当a>0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为－a2－2a>0，解得－2<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－2，0)∪(2，＋∞). 2.若函数f(x)＝是R上的减函数，求实数a的取值范围. 解：由题意得①－a≤1解得a≥－1； ②2－3a<0，解得a>； ③当x＝1时，－1－2a＋2≤2－3a＋1，解得a≤2. 综上所述，实数a的取值范围为<a≤2. 分级练(7)　函数及其表示 分级一　提能强化 1.(2023·宁夏银川一中模拟)设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln (1－x)的定义域为N，则M∩N＝(　　) A.[0，1) B.(0，1) C.[0，1] D.(－1，0] A　解析：由不等式x2－x≤0，解得0≤x≤1，故集合M＝{x|0≤x≤1}， 函数f(x)＝ln (1－x)的定义域为N，满足1－x>0， 故集合N＝{x|x<1}，因此M∩N＝{x|0≤x<1}. 2.(2023·湖北校联考模拟)函数f(x)＝的定义域是(　　) A.(－∞，1) B.(0，＋∞) C.(0，1) D.(－∞，0] D　解析：由得解得x≤0， 所以函数的定义域为(－∞，0]. 3.(2022·陕西西北工业大学附中二模)已知f(x＋1)＝ln x2，则f(x)＝(　　) A.ln (x＋1)2 B.2ln (x－1)2 C.2ln |x－1| D.ln (x2－1) C　解析：对于f(x＋1)＝ln x2，令t＝x＋1，则x＝t－1，所以f(t)＝ln (t－1)2＝2ln |t－1|， 所以f(x)＝2ln |x－1|. 4.(2023·河北衡水中学模拟预测)若y＝f(x)的定义域为(0，2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A.(0，1] B.[0，1) C.(0，1)∪(1，4] D.(0，1) D　解析：由y＝f(x)的定义域为(0，2]，令解得0＜x＜1， ∴函数g(x)＝的定义域是(0，1). 5.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x B　解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， ∴解得∴g(x)＝3x2－2x. 6.(2022·山东济南二模)已知函数f(x)＝－x2－2x＋3，则f(x＋1)＝________. 答案：－x2－4x　解析：因为f(x)＝－x2－2x＋3， 所以f(x＋1)＝－(x＋1)2－2(x＋1)＋3＝－x2－4x. 7.(2024·福建连城一中10月月考)若f(x)＝则f(0)＋f(16)＝________. 答案：5　解析：因为f(x)＝所以f(0)＋f(16)＝30＋log216＝1＋4＝5. 8.(2023·四川绵阳模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋1)<1的解集为______. 答案：(0，7)　解析：当x＋1≤1，即x≤0时，f(x＋1)＝e2－(x＋1)＝e1－x<1， 即1－x<0，解得x>1(舍去)； 当x＋1>1，即x>0时，f(x＋1)＝lg (x＋3)<1， 即0<x＋3<10，解得－3<x<7，即0<x<7. 综上所述，不等式f(x＋1)<1的解集为(0，7). 9.(1)已知f(x＋1)＝2x2－x＋3，求f(x)； (2)已知f[f(x)]＝4x＋9，且f(x)为一次函数，求f(x)； (3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f()＝x，求f(x). 解：(1)令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝2(t－1)2－(t－1)＋3＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6.∴f(x)＝2x2－5x＋6. (2)∵f(x)为一次函数， ∴设f(x)＝kx＋b(k≠0). ∴f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9. ∴解得或 ∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9. (3)∵2f(x)＋f()＝x，① ∴2f()＋f(x)＝.② 联立①②式，消去f()， 得f(x)＝x－(x≠0). 分级二　知能探究 10.(多选)符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2.定义函数：f(x)＝x－[x]，则下列命题正确的是(　　) A.f(－0.8)＝0.2 B.当1≤x＜2时，f(x)＝x－1 C.函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1) D.函数f(x)是增函数、奇函数 ABC　解析：f(－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8－(－1)＝0.2，则A正确；当1≤x＜2时，[x]＝1，得出f(x)＝x－1，则B正确；函数f(x)的定义域为R，因为[x]表示不超过x的最大整数，所以0≤x－[x]＜1，则C正确；f(－1)＝－1－[－1]＝－1－(－1)＝0，f(－1.5)＝－1.5－[－1.5]＝－1.5－(－2)＝0.5，f(1.5)＝1.5－[1.5]＝1.5－1＝0.5，因为f(－1.5)＞f(－1)，f(－1.5)＝f(1.5)＝0.5，所以函数f(x)既不是增函数也不是奇函数，则D错误. 11.已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)<f(3x－2)的实数x的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.(3，＋∞) C.[1，3) D.(0，1) B　解析：由题知，当x<1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log22＝1，要使得f(2x＋1)<f(3x－2)，则解得x>3. 12.若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为____________. 答案：f(x)＝　解析：由题图可知，当－1≤x<0时，直线的斜率为1，f(x)＝x＋1； 当0≤x≤2时，直线的斜率为－，f(x)＝－x， 所以f(x)＝ 13.已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(＋x)＋f(－x)＝2成立，则f()＋f()＋…＋f()＝________. 答案：7　解析：由f(＋x)＋f(－x)＝2，得f()＋f()＝2，f()＋f()＝2， f()＋f()＝2，又f()＝＝×2＝1， 所以f()＋f()＋…＋f()＝2×3＋1＝7. 14.设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1). (1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象. 解：(1)由得 解得所以f(x)＝ (2)画出f(x)的图象如图所示. 分级三　素能创新 15.有以下三个条件：①定义域不是R；②值域为R；③奇函数.写出一个同时满足以上三个条件的函数：f(x)＝____________. 答案：(答案不唯一)　解析：同时满足题中三个条件的函数为y＝tan x或y＝等. 16.某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度.他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1.依据该同学的想法可得到合理的成年男子高个子系数k关于身高x(单位：cm)的函数关系式，求此函数关系式. 解：由题意，设k＝ax＋b(a>0)，x∈[160，190].由解得 所以k＝x－，所以k＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$