第1章 微专题系列1 集合中的新定义问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

微专题系列❶——集合中的新定义问题 [对应学生用书P3] 新定义集合问题是指给出全新的数学概念、公式、运算、法则等，在此背景下完成某种推理或指定要求的集合问题.此类题难度一般中档或中偏高档，意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力.解决新定义集合问题的思路：从新情境中获取信息，以集合问题中新定义为核心和纽带，理清集合问题中新定义的具体内容，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新的情境中，促进知识技能的迁移和应用. 【例】 给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合. 其中正确结论是________.(填序号) 答案：②　解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确； ②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确； ③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但当k≠0时，3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确. [思维过程] 明确目标→判断结论的正误. 提取信息→新定义闭集合A的特征：任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A. 建立联系→闭集合满足对实数加法、减法的封闭性，由此来分析三个结论是否满足加法、减法的封闭性从而判断结论正误. 以集合为背景的新定义问题的解题要点 (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中. (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素. 【练1】 设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q＝(　　) A.{x|0＜x＜1} B.{x|0＜x≤1} C.{x|1≤x＜2} D.{x|2≤x＜3} B　解析：由log2x＜1，得0＜x＜2，所以P＝{x|0＜x＜2}.由|x－2|＜1，得1＜x＜3，所以Q＝{x|1＜x＜3}.由题意得P－Q＝{x|0＜x≤1}. 【练2】 设U为全集，对集合A，B定义运算“*”：A*B＝∁U(A∩B).若X，Y，Z为三个集合，则(X*Y)*Z＝(　　) A.(X∪Y)∩∁UZ B.(X∩Y)∪∁UZ C.(∁UX∪∁UY)∩Z D.(∁UX∩∁UY)∪Z B　解析：∵X*Y＝∁U(X∩Y)， ∴对于任意集合X，Y，Z，(X*Y)*Z＝∁U(X∩Y)*Z＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝(X∩Y)∪∁UZ. 【练3】 已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：①若a∈A1，则a∉A2；②若a∈A2，则a∉A1；我们就称(A1，A2)是集合A的“互斥子集”，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为不同的“互斥子集组”，那么，集合A＝{1，2，3，4}的不同“互斥子集组”的个数是(　　) A.11 B.28 C.32 D.50 D　解析：若A1，A2中各含1个元素时，“互斥子集组”有C×2＝12(个)， 若A1，A2中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有C×C×2＝24(个)， 若A1，A2中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有C×2＝8(个)， 若A1，A2中各含2个元素时，“互斥子集组”有C＝6(个)， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50.故选D. 分级练(1)　集　合 分级一　提能强化 1.(2023·河北“五个一”名校联盟摸底)设集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A.{2} B.{2，3} C.{3，4} D.{2，3，4} B　解析：由x2－2x－8<0解得－2<x<4， 故A＝{x|－2<x<4}，又B＝{2，3，4，5}， 故A∩B＝{2，3}. 2.(2022·山东潍坊一模)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A.{2，3} B.{1，2，3} C.{1，2，3，4} D.{2，3，4} C　解析：因为集合A＝{x|y＝}＝{x|x≤4}，B＝{1，2，3，4，5}，所以A∩B＝{1，2，3，4}. 3.已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝(　　) A.{x|－1＜x＜2} B.{x|－1≤x≤2} C.{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2} B　解析：∵x2－x－2＞0， ∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}. 在数轴上表示出集合A， 如图所示，由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}. 4.(2023·广东佛山统考)已知集合A＝{x∈N|x2－3x＋4<0}，B＝{x∈N|－1<x≤2}，则A∪B＝(　　) A.∅ B.{－1，4} C.{1，2} D.{0，1，2} D　解析：x2－3x＋4<0，而x2－3x＋4＝2＋>0， 所以不等式x2－3x＋4<0的解集为∅，所以A＝{x∈N|x2－3x＋4<0}＝∅， 又B＝{x∈N|－1<x≤2}＝{0，1，2}， 所以A∪B＝{0，1，2}. 5.(2023·山东临沂月考)设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则(　　) A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅ B　解析：∵集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，∴M⊆N. 6.(2023·山东济南三模)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{3，6}，则图中阴影部分代表的集合为(　　) A.{1，2} B.{3，4} C.{4，5} D.{2，3，5} C　解析：由题意A∪B＝{1，2，3，6}，而阴影部分为∁U(A∪B)＝{4，5}. 7.(2023·湖北应城模拟)若集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－2<x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A.(－2，1) B.(－1，2) C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) D　解析：集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－2<x<a}，若A⊆B，则2≤a，即a的取值范围是[2，＋∞). 8.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{－1，0，1，2}，若M⊆A且M⊆B，则M的个数为(　　) A.1 B.3 C.4 D.6 C　解析：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{－1，0，1，2}， ∴A∩B＝{1，2}，又M⊆A且M⊆B，∴M⊆(A∩B)，即M⊆{1，2}， ∴M的个数为22＝4个. 分级二　知能探究 9.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝－x}，则A∩B中元素的个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 B　解析：在同一个坐标下，画出圆x2＋y2＝1和直线y＝－x，如图所示. 圆x2＋y2＝1和直线y＝－x有两个交点，∴A∩B中元素的个数为2. 10.设集合A＝{x||x－a|＜1}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2或a≥4} C.{a|a≤0或a≥6} D.{a|2≤a≤4} C　解析：由|x－a|＜1得－1＜x－a＜1，即a－1＜x＜a＋1.如图所示： 由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6. 11.(2023·山东青岛模拟)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}.若集合A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，则∁(A*B)A＝(　　) A.{0} B.{0，4} C.{0，6} D.{0，4，6} D　解析：因为A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{1，2}，A∪B＝{0，1，2，3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z＝0，1，2，3，4，6，所以A*B＝{0，1，2，3，4，6}，所以∁(A*B)A＝{0，4，6}. 12.(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　) A.A∩B＝∅ B.A∩B＝B C.A∪B＝U D.(∁UB)∪A＝A CD　解析：令U＝{1，2，3，4}，A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，满足(∁UA)∪B＝B， 但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确； 由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B， ∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，故C正确. 由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，∴(∁UB)∪A＝A，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$