第1章 第6节 均值不等式及其应用（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第六节　均值不等式及其应用 课标解读 1.掌握均值不等式≤(a，b>0). 2.能用均值不等式解决简单的最值问题. [对应学生用书P16] 知识点一　均值不等式 ≥ (1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值，数称为a，b的几何平均值. 知识点二　利用均值不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； (2)当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)a＋b≥2(a>0，b>0)；(3)ab≤()2(a，b∈R)；(4)()2≤(a，b∈R)；(5)＋≥2(a，b同号). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　×　　) (2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　√　　) (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(　　√　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　×　　) (5)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充分不必要条件.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(人教B版必修第一册P73例1改编)若x＜0，则x＋(　　) A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2 答案：D 2.(人教A版必修第一册P46例3改编)矩形的两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是________. 答案： 3.(北师大版必修第一册P28 T4改编)已知x＞2，则x＋的最小值是________. 答案：4 4.(人教A版必修第一册P48 T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________. 答案：　解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0， 所以y＝·2x·(3－2x)≤＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号.即所求最大值为. [对应学生用书P17] 考点 拼(配)凑法求最值 (自悟通) 1.已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________. 答案：　解析：因为0<x<1，所以4－3x>0， 所以x(4－3x)＝·3x·(4－3x)≤×＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时等号成立.故所求x的值为. 2.函数y＝(x>1)的最小值为________. 答案：2＋2　解析：因为x>1，所以x－1>0， 所以y＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立. 利用拼凑法及均值不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用均值不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 考点 常值代换法求最值 (自悟通) 1.已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A. B. C.5 D.9 B　解析：＋＝(＋)(a＋b)＝(＋＋5)≥(4＋5)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立. 2.(2023·湖南一模)函数f(x)＝1＋logax(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B　解析：由题意可得函数f(x)＝1＋logax(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1，1)， 又∵点A在直线mx＋ny－2＝0上，∴m＋n＝2， ∴＋＝(m＋n)＝1＋＋≥1＋2＝2， 当且仅当＝，即m＝n＝1时等号成立，∴＋的最小值为2. 3.(2022·湖南临澧一中二模)设0<x<1，则＋的最小值为________. 答案：9　解析：因为0<x<1，所以0<1－x<1，则＋＝(＋)[(1－x)＋x]＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，故＋的最小值为9. 利用常数代换法及均值不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用均值不等式求解最值. 考点 消元法求最值 (自悟通) 1.(2022·湖北武汉模拟)已知正实数a，b满足2a＋b＝ab，则－的最小值为(　　) A.0 B.2 C.4 D.6 A　解析：∵2a＋b＝ab，∴2a＝b(a－1)， 当a＝1时等式不成立，∴a≠1，∴b＝， ∴－＝－＝＋－1≥2 －1＝0， 当且仅当＝，即a＝2时等号成立，故－的最小值为0. 2.若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A. B. C. D. A　解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝. 由即解得0<x<1. 所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立. 故x＋2y的最小值为. 消元法求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用均值不等式求最值. 考点 放缩法求最值 (自悟通) 1.已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值是________. 答案：9　解析：∵a，b是正数， ∴ab＝a＋b＋3≥2＋3， ∴()2－2－3≥0， 解得≥3，即ab≥9，当且仅当a＝b＝3时等号成立. ∴ab的最小值为9. 2.已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 答案：6　解析：∵x>0，y>0， ∴9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·()2， 当且仅当x＝3y时等号成立. 设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0， 又∵t>0，∴t≥6. 故当x＝3，y＝1时，x＋3y取得最小值为6. 放缩法求最值的方法 将所给代数式，利用均值不等式放大或缩小，构造出待求最值的代数式的结构，然后通过解不等式求出代数式范围，从而求出代数式的最值. 考点 均值不等式的实际应用 (精研通) 【例1】 某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(单位：km/h)值的2倍.(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费) (1)为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，汽车的行驶速度为多少？ 解：(1)设汽车行驶的速度为x km/h， ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴×60＋1 000＋2x≤1 260， 化简得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90， ∴为使运输的总费用不超过1 260元，汽车行驶速度的范围应为[40，90]. (2)设汽车行驶的速度为x km/h， ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2＋1 000＝1 240， 当且仅当2x＝，即x＝60时取得等号， ∴若要使运输的总费用最小，汽车应以60 km/h的速度行驶. 利用均值不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. 某化工企业2022年年底投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元). (1)用x表示y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备. 解：(1)由题意得y＝， 即y＝x＋ ＋1.5(x∈N*). (2)由均值不等式得y＝x＋ ＋1.5≥2 ＋1.5＝21.5， 当且仅当x＝，即x＝10时等号成立. 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备. 考点 均值不等式的综合应用 (精研通) 【例2】 (2023·广东潮州期末)正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.(－4，1) B.(－∞，－1)∪(4，＋∞) C.[－1，4] D.(－∞，－1]∪[4，＋∞) C　解析：正实数x，y满足＋＝1， 则x＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即y＝4x且＋＝1时，等号成立， 则x＝2，y＝8时，x＋取到最小值4， 要使不等式x＋≥m2－3m恒成立，即m2－3m≤4恒成立，解得－1≤m≤4， 所以实数m的取值范围是[－1，4]. 当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等式的条件，然后利用常数代换法求最值. 设a>0，b>0，若4是2a与2b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A.1 B.8 C.4 D. A　解析：因为4是2a与2b的等比中项，所以2a·2b＝42＝24，可得a＋b＝4，因为a>0，b>0，所以有＋＝(a＋b)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1，当且仅当＝，即a＝b＝2时取等号.所以＋的最小值为1. 分级练(6)　均值不等式及其应用 分级一　提能强化 1.已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　) A. B. C.－1 D.0 D　解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号. 又1∈，所以f(x)在上的最小值是0. 2.已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A.6 B.8 C.4 D.16 B　解析：∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8， 当且仅当a＝时等号成立，∴a的最大值为8. 3.(2023·重庆南开中学模拟)若实数x，y满足：x，y>0，3xy－x－y－1＝0，则xy的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A　解析：因为3xy－x－y－1＝0，所以3xy－1＝x＋y，由均值不等式可得3xy－1＝x＋y≥2，故3xy－2－1≥0，解得≥1或≤－(舍)，即xy≥1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故xy的最小值为1. 4.(2023·山东临沂模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　) A.y＝x＋ B.y＝sin x＋(0<x<) C.y＝ D.y＝ex＋－2 D　解析：对于选项A，当x>0时，y＝x＋≥2 ＝2；当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合题意；对于选项B，由于0<x<，因此0<sin x<1，函数的最小值取不到2，故B不合题意；对于选项C，函数的关系式可转化为y＝＝＋≥2，但＝无实数解，即等号不成立，故C不合题意；对于选项D，y≥2－2＝2，当且仅当ex＝，即x＝ln 2时等号成立，故D正确.　 5.(多选)(2023·山东烟台三模)已知a>0，b>0且4a＋b＝2，则(　　) A.ab的最大值为 B.2＋的最大值为2 C.＋的最小值为6 D.4a＋2b的最小值为4 BC　解析：因为2＝4a＋b≥2＝4，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故A错误； 因为4a＋b≥4， 所以8a＋2b≥4＋4a＋b＝(2＋)2， 即(2＋)2≤4，2＋≤2，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故B正确； 由4a＋b＝2得a＝－，所以＋＝＋－， 因为＋＝(4a＋b)＝≥＝， 所以＋＝＋－≥－＝6，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确； 令a＝，b＝，则4a＋2b＝4＋2＝2×4<4，所以4a＋2b的最小值不是4，D错误.故选BC. 6.(2022·山东济南三模)已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为________. 答案：3　解析：由题设，＋≥2 ＝＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立. 所以＋的最小值为3. 分级二　知能探究 7.(2023·湖北模拟)已知实数a，b满足a＋b＝ab(a>1，b>1)，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值为(　　) A.2 B.1 C.4 D.5 A　解析：由a＋b＝ab(a>1，b>1)得a＋b－ab－1＝－1，因式分解得(a－1)(b－1)＝1，则(a－1)2＋(b－1)2≥2(a－1)(b－1)＝2，当且仅当a＝b＝2时取得最小值. 8.司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析(　　) A.甲合适 B.乙合适 C.油价先高后低甲合适 D.油价先低后高甲合适 B　解析：设甲每次加m L油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/L，第二次加油y元/L.甲的平均单价为＝，乙的平均单价为＝，因为x≠y， 所以＝>＝1， 即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适. 9.(2023·山东日照模拟)设x>－1，y>0且x＋2y＝1，则＋的最小值为________. 答案：　解析：因为x>－1，y>0， 所以x＋1>0，>0，>0， 因为x＋2y＝1，所以x＋1＋2y＝2， 所以＋＝(x＋1＋2y)＝(3＋＋)≥， 当且仅当＝，即x＝2－3，y＝2－时取得最小值. 10.一批货物分别随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市，已知两地间铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于 km，则将这批货物全部运到B市，最快需要________h. 答案：8　解析：设将这批货物从A市全部运到B市需t h， 则t＝＝＋≥2＝8， 当且仅当＝，即v＝100时，等号成立， 所以将这批货物全部运到B市，最快需要8 h. 分级三　素能创新 11.(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有(　　) A.若x＞0，则x2＋≥3 B.若0＜x＜1，则x2(1－x)≤ C.若x＞0，则2x＋≥3 D.若0＜x＜1，则x(1－x)2≤ AC　解析：对于A，x＞0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，故A正确； 对于B，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤()3＝，故B错误； 对于C，x＞0，2x＋＝x＋x＋≥3＝3，故C正确； 对于D，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x(1－x)2＝×2x(1－x)·(1－x) ≤()3＝，故D错误.故选AC. 12.写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为________________. 答案：a2＋b2＝1　解析：该等式为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件. ＋＝(＋)(a2＋b2)＝1＋9＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当b2＝3a2时取等号， 所以＋是一个变量，且它的最小值为16. 学科网（北京）股份有限公司 $$