第1章 第5节 不等式的解集与一元二次不等式（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第五节　不等式的解集与一元二次不等式 课标解读 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系. 3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式. [对应学生用书P13] 知识点一　一元二次不等式 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 知识点二　分式不等式与整式不等式 1.＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0). 2.≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　√　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　√　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R. (　　×　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　×　　) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(苏教版必修第一册P62 T5改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝________. 答案：R 2.(湘教版必修第一册P54例6改编)已知不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－3，－1)，则实数a＝________，b＝________. 答案：4　3 3.(人教A版必修第一册P58 T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________. 答案：(－3，3)　解析：由题意有Δ＝4a2－4×18<0，可得－3<a<3. [对应学生用书P14] 考点 不含参数的一元二次不等式的解法 (自悟通) 1.(2023·江苏泰州模拟)已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A∪B＝(　　) A.(1，2) B.(1，5) C.(2，4) D.(4，5) B　解析：A＝{x|1<x<4}，B＝{x|2<x<5}，故A∪B＝(1，5). 2.解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔ ⇔⇔　 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为. 解一元二次不等式的四个步骤 考点 三个“二次”之间的关系 (自悟通) 1.已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[－，－]，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________. 答案：(2，3)　解析：由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根， 所以由根与系数的关系得 解得不等式x2－bx－a＜0， 即为x2－5x＋6＜0，解集为(2，3). 2.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________. 答案：－1　1　解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x|－5<x<1}， B＝＝{x|(x－m)(x－2)<0}， 因为A∩B＝(－1，n)， 所以－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根， 则－1－m＝0，解得m＝－1， 所以B＝{x|－1<x<2}，A∩B＝(－1，1)，则n＝1. (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 考点 含参数的一元二次不等式的解法 (精研通) 【例1】 解不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0). 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以a(x－)(x－1)＜0. 所以当a＞1，即<1时，解为＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1，即>1时，解为1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时， 不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2. 解：∵12x2－ax>a2，∴12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝. ①当a>0时，－<，解集为； ②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}； ③当a<0时，－>，解集为. 综上所述：当a>0时，不等式的解集为{x|x<－或x>}； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为.　 考点 不等式的恒成立问题 (精研通) 考法1　在实数集R上的恒成立问题 【例2】 (2022·江苏盐城模拟)已知关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A.[0，4] B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.(－∞，0]∪[4，＋∞) A　解析：当k＝0时，不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0可化为1≥0，其恒成立； 当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成立， 只需解得0<k≤4. 综上，k的取值范围是[0，4]. 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 考法2　在给定区间上的恒成立问题 【例3】 当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0) B.(－∞，－) C.(－，＋∞) D.(－，＋∞) B　解析：当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<()2－恒成立，令f(x)＝()2－＝(－)2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a<－. 在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). (2)转化为函数值域问题，即：已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 考法3　不等式能成立或有解问题 【例4】 (2022·山东枣庄模拟)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则(　　) A.a≤2 B.a≥2 C.a≥ D.a≤ D　解析：∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解， ∴a≤x＋在x∈[1，2]上有解⇔a≤(x＋)max，x∈[1，2]， ∵函数y＝x＋在[1，2]上单调递增， ∴f(x)max＝，∴a≤. 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值，即a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. 1.已知关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是(　　) A.(－∞，－3]∪[1，＋∞) B.[－1，3] C.(－∞，1]∪[3，＋∞) D.[－3，1] D　解析：关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立， 则Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1.故选D. 2.设m为实数，若函数f(x)＝x2－mx＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x1，x2∈，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则m的取值范围为(　　) A.[4，6] B.(4，6) C.(4，6] D.[4，6) A　解析：函数f(x)＝x2－mx＋2的对称轴为直线x＝，由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得≥2，∴m≥4.∴∈且＋1－≤－1，∴当x1，x2∈时，f(x)max＝f(1)＝3－m，f(x)min＝f ＝－＋2.由∀x1，x2∈，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴|f(x1)－f(x2)|max≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，∴(3－m)－≤4，即m2－4m－12≤0，解得－2≤m≤6.综上，4≤m≤6，故选A. 3.已知函数f(x)＝－x2＋2x－4. (1)若∀x∈[0，3]，不等式m＋f(x)>0成立，求实数m的取值范围； (2)若∃x0∈[0，3]，使得不等式m＋f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 解：当x∈[0，3]时，－f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈[3，7]. (1)依题意，m＋f(x)>0即m>－f(x)对x∈[0，3]恒成立，故m>[－f(x)]max， ∴m>7，即实数m的取值范围为(7，＋∞). (2)依题意，m＋f(x)>0即m>－f(x)对x∈[0，3]能成立，故m>[－f(x)]min， ∴m>3，即实数m的取值范围为(3，＋∞). 4.定义在R上的连续函数f(x)，g(x)满足对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)g(y)＋f(y)·g(x)，g(x＋y)＝f(x)f(y)＋g(x)g(y)，g(2x)＝2[g(x)]2－1. (1)证明：g(x)>f(x)； (2)若对于任意x∈R，不等式g(2x)≥mg(x)－6恒成立，求出m的最大值. (1)证明：令x＝y，则有f(2x)＝2f(x)g(x)， g(2x)＝f2(x)＋g2(x)≥0， ∵x是任意的，∴g(x)≥0，由g(2x)＝2g2(x)－1得2g2(x)－1＝f2(x)＋g2(x)，g2(x)＝f2(x)＋1， ∵g(x)≥0，∴g(x)＝＞＝|f(x)|≥f(x)， ∴g(x)＞f(x). (2)解：由于g(2x)＝2g2(x)－1，不等式g(2x)≥mg(x)－6 即为2g2(x)－1≥mg(x)－6，2g2(x)－mg(x)＋5≥0， 由g2(x)＝f2(x)＋1，g(x)≥0得g(x)＝≥1， 令t＝g(x)，则不等式转化为2t2－mt＋5≥0，其中t≥1，∴m≤2t＋， ∵2t＋≥2，当且仅当t＝时等号成立，所以m的最大值为2. 分级练(5)　不等式的解集与一元二次不等式 分级一　提能强化 1.(2023·天津四中模拟)已知集合A＝{x∈N|0<x<4}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B＝(　　) A.[0，2] B.[1，2] C.{1，2} D.{0，1，2} C　解析：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{1，2}. 2.(2024·山东省昌乐二中月考)若不等式>1的解集为{x|2<x<4}，则实数a的值为(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 D　解析：由>1，得1－<0，即<0，即(x－a＋3)(x－2)<0， 因为不等式>1的解集为{x|2<x<4}， 所以a－3＝4，解得a＝7. 3.若存在实数x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为(　　) A.(13，＋∞) B.(5，＋∞) C.(4，＋∞) D.(－∞，13) B　解析：m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2，4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5. 4.若0<a<1，则不等式(a－x)(x－)>0的解集是____________. 答案：　解析：原不等式等价于(x－a)·(x－)<0，由0<a<1，得a<，∴a<x<. 5.已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________. 答案：(x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一)　解析：因为不等式(x＋4)(x－6)＞0的解集为{x|x＞6或x＜－4}，所以解集中只有－5在集合A中. 6.(2023·江西南昌模拟)已知命题p：“∀x∈[1，4]，ax≤2x2＋6”为真命题，则实数a的最大值是________.　 答案：4　解析：由题意，∀x∈[1，4]，a≤2(x＋)恒成立.因为x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝时等号成立，所以a≤4，即a的最大值是4. 7.(2022·湖北武汉模拟)若∃x∈[，2]，使2x2－λx＋1<0成立，则实数λ的取值范围是____________. 答案：(2，＋∞)　解析：由2x2－λx＋1<0，可得λx>2x2＋1.因为x∈[，2]，所以λ>2x＋，根据题意，λ>(2x＋)min即可.设f(x)＝2x＋，易知f(x)在(，)上单调递减，在(，2)上单调递增，所以f(x)min＝f()＝2，所以λ>2. 分级二　知能探究 8.(2023·山东临沂模拟)若关于x的不等式>0的解集是(－1，2)，则a·b＝(　　) A.3 B.2 C.－2 D.－3 B　解析：有sin x－2<0恒成立，故x2＋ax＋b<0的解集为(－1，2)，即方程x2＋ax＋b＝0的两根为－1和2，由根与系数的关系可知－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2，故a·b＝2. 9.若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是(　　) A.(－，＋∞) B. C.(1，＋∞) D.(－∞，－) A　解析：∵关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解， ∴a>，x∈[1，5]. ∵函数f(x)＝－x在[1，5]上单调递减， ∴当x＝5时，函数f(x)取得最小值－， ∴实数a的取值范围为(－，＋∞). 10.已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为________. 答案：∪　解析：∵函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数， ∴a＋2＝0，得a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4， ∴不等式(x－2)f(x)<0可转化为或 即或解得－<x<或x>2. 故原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞). 分级三　素能创新 11.(创新命题形式)三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”. 乙说：“寻找x与y的关系，再做分析”. 丙说：“把字母a单独放在一边，再做分析”. 参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.[－1，＋∞) C.[－1，4) D.[－1，6] B　解析：选择用丙的方法.因为xy≤ax2＋2y2，x∈[1，2]，y∈[2，3]， 所以xy－2y2≤ax2，等价于≤a，即－2≤a.令＝t，则t∈[1，3]. 原式化为t－2t2≤a，对于任意t∈[1，3]恒成立， 因为t－2t2＝－2(t－)2＋，所以当t＝1时，(t－2t2)max＝－1.所以－1≤a， 即a∈[－1，＋∞).故选B. 12.(结合新定义问题)若函数f(x)满足对任意的x∈[n，m](n＜m)，都有≤f(x)≤km成立，则称函数f(x)在区间[n，m](n＜m)上是“被k约束的”.若函数f(x)＝x2－ax＋a2在区间(a＞0)上是“被2约束的”，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，2] B. C.(1，] D.(，2] A　解析：由题意得≤x2－ax＋a2≤2a对任意的x∈(a＞0)都成立. 由a＞且a>0，得a＞1，则f()＝－1＋a2＞2－1＝1＞恒成立. 由f(a)＝a2－a2＋a2＝a2≤2a，且a>1，得1<a≤2. 因为a＞1，所以f()＝－1＋a2＜1－1＋a2＝a2.f(x)＝x2－ax＋a2的对称轴为x＝. 由f()＝≥得a≥. 因为＜1，所以a的取值范围为(1，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$