第1章 第4节 不等式的性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第四节　不等式的性质 课标解读 1.会比较两个数(式)的大小. 2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. [对应学生用书P10] 知识点一　比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 知识点二　不等式的性质 性质 性质内容 提醒 可加性(性质1) a＞b ⇔a＋c＞b＋c ⇔ 可乘性 性质2 a>b, c>0⇒ac＞bc 注意c的符号 性质3 a>b, c<0⇒ac＜bc 传递性(性质4) a>b, b>c⇒a＞c ⇒ 对称性(性质5) a＞b⇔b＜a ⇔ 移项法则(推论1) a＋b>c⇒a>c－b ⇒ 同向可加性(推论2) a>b, c>d ⇒a＋c＞b＋d ⇒ 同向同正可乘性(推论3) a>b>0, c>d >0⇒ac＞bd ⇒ 可乘方性(推论4) a>b>0⇒an>bn(n∈N，n＞1) a，b同为正数 可开方性(推论5) a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2) a，b同为正数 1.倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 2.两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(a－m＞0). (2)＞；＜(b－m＞0). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　×　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　×　　) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小.(　　×　　) 二、版本互鉴 1.(苏教版必修第一册P50 T7改编)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　) A.＜1 B.2－x＜2－y C.lg (x－y)＞0 D.x2＞y2 答案：B 2.(人教B版必修第一册P63 T3改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 答案：B 3.(人教A版必修第一册P38例1改编)已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为______________. 答案：(x2＋1)2>x4＋x2＋1 4.(人教A版必修第一册P43 T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－3b的取值范围是________. 答案：(7，12) [对应学生用书P11] 考点 比较两个数(式)的大小 (自悟通) 1.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b A　解析：∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＝(a－)2＋>0，∴b>a，∴c≥b>a. 2.若a＝，b＝，则a________b.(填“＞”或“＜”) 答案：<　解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 比较两个数(式)大小的两种方法 考点 不等式性质的理解 (自悟通) 1.设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A　解析：若(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而当a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，例如a＝0，b＝1.所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件. 2.若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：＞. 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘以，得＜. 又e＜0，∴＞. 运用不等式性质时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. 考点 利用不等式性质判断正误 (精研通) 【例1】 (1)(多选)(2023·福建三明模拟)设a<b<c，且a＋b＋c＝0，则(　　) A.ab<b2 B.ac<bc C.< D.<1 (2)(2023·湖北调研)下列对不等关系的判断，正确的是(　　) A.若＜，则a3＞b3 B.若＞，则2a＜2b C.若ln a2＞ln b2，则2|a|＞2|b| D.若tan a＞tan b，则a＞b (1)BC　(2)C　解析：(1)因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，故A错误；因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B正确；因为a<0<c，所以<，故C正确；因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D错误. (2)对于选项A，当a＝－1，b＝1时满足＜，但a3＜b3，A错误；对于选项B，当a＝1，b＝－2时，满足＞，但2a＞2b，B错误；对于选项C，ln a2＞ln b2⇒a2＞b2⇒|a|＞|b|⇒2|a|＞2|b|，C正确；对于选项D，tan ＞tan ，但＜，D错误. (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明. (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断. 1.(2023·陕西西安中学模拟)若a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是(　　) A.a＋c＞b＋d B.a－c＞b－d C.ac＞bd D.> A　解析：对于A，设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性知a＋c＞b＋d，故A正确；对于B，令a＝2，b＝0，c＝3，d＝0，可知B不正确；对于C，D，令a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝－2，可知C，D不正确. 2.(多选)(2023·湖南永州一中模拟)已知0<a<b<1，则下列不等式中成立的是(　　) A.()a<()b B.ln a<ln b C.a3<b3 D.< BC　解析：对于A，因为y＝()x在R上为减函数，且0<a<b<1，所以()a>()b，所以A错误； 对于B，因为y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，0<a<b<1，所以ln a<ln b，所以B正确； 对于C，因为0<a<b<1，所以由不等式的性质可得a3<b3，所以C正确； 对于D，因为0<a<b<1，所以<，所以<，所以D错误. 考点 不等式性质的综合 (精研通) 【例2】 (1)(多选)已知3<a<6，1<b<5，则(　　) A.∈(，3) B.∈(，6) C.a－2b∈(－4，1) D.a－2b∈(－7，4) (2)若－2<a<b<3，－2<c<0，则c(a－b)的取值范围是________. 答案：(1)BD　(2)(0，10)　解析：(1)∵1<b<5， ∴－10<－2b<－2，<<1， 又3<a<6，∴∈(，6)，a－2b∈(－7，4)，∴B，D正确. (2)由－2<a<b<3，得b－a>0，且－2<a<3，－2<b<3， ∴－3<－a<2，由不等式的性质可得－5<b－a<5，∴0<b－a<5，∵－2<c<0， ∴0<－c<2，∴0<－c·(b－a)<10，即0<c·(a－b)<10，∴c·(a－b)的取值范围是(0，10). 求含有字母的数(或式)的取值范围时应注意的两点 (1)要注意题设中的条件. (2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除. 已知α∈(0，)，β∈，则2α－的取值范围是(　　) A.(0，) B.(－，) C.(0，1) D.(－，1) D　解析：因为α∈(0，)，所以0<2α<1，又β∈，所以0≤≤， 所以－≤－≤0，所以－<2α－<1. 分级练(4)　不等式的性质 分级一　提能强化 1.(2023·江苏徐州模拟)设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A.P≥Q B.P>Q C.P<Q D.P≤Q A　解析：∵P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q. 2.若实数m，n满足m>n>0，则(　　) A.－<－ B.＋> C.()m>()n D.m2<mn B　解析：取m＝2，n＝1，代入各选择项验证A，C，D不成立，只有B项成立，即＋1>. 3.(2022·宁夏银川一中三模)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－b的取值范围为(　　) A.(0，2) B.(2，5) C.(5，8) D.(6，7) C　解析：2<a<3，－2<b<－1，故4<2a<6，1<－b<2，得5<2a－b<8. 4.若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A　解析：－＞0⇒＞⇒a＞b≥0⇒a2＞b2，但a2－b2＞0－＞0， 所以“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件. 5.(多选)(2022·广东汕头二模)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是(　　) A.ac(a－c)>0 B.c(b－a)<0 C.cb2<ab2 D.ab>ac BCD　解析：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0 ，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac. 6.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.不能确定 A　解析：∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0. ∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N. 7.(2023·安徽芜湖一中模拟)已知a>b>c>d>0，且a＋d＝b＋c，则以下不正确的是(　　) A.a＋c>b＋d B.ac>bd C.ad<bc D.> D　解析：a>b>0，c>d>0⇒a＋c>b＋d，ac>bd，故A，B正确；a－d>b－c>0⇒(a－d)2>(b－c)2，即(a＋d)2－4ad>(b＋c)2－4bc⇒ad<bc，故C正确；对ad<bc两边同除以bd得<，故D错误. 8.若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是(　　) A.[9，18] B.(15，30) C.[9，30] D.(9，30) D　解析：∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a.∵6<a<10，∴9<c<30. 分级二　知能探究 9.(2023·湖南长沙一中学模拟)已知<<0，则下列不等式正确的是(　　) A.ac2>bc2 B.a|a|<b|b| C.a－>b－ D.ln a2>ln b2 C　解析：对于A，<<0⇒b<a<0，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，选项A错误.对于B，b<a<0⇒b2>a2⇒a|a|－b|b|＝－a2－(－b2)＝b2－a2>0，即a|a|>b|b|，选项B错误.对于C，构造函数f(x)＝x－，函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，b<a<0⇒f(b)<f(a)，即b－<a－，选项C正确.对于D，b<a<0⇒a2<b2⇒ln a2<ln b2，选项D错误. 10.若a＝，b＝，c＝，则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c B　解析：方法一　易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1. 所以a>b；＝＝log6251 024>1. 所以b>c.即c<b<a. 方法二　对于函数y＝f(x)＝，y′＝， 易知当x>e时，函数f(x)单调递减.因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5).即a>b>c. 11.给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③＞－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________. 答案：a>b>0(答案不唯一)　解析：使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0.当a>b>0时，①②显然成立.对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)， ∵a＞b＞0，∴2(－)＞0， ∴()2－(－)2＞0，即 ＞－.所以③成立. 12.已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是________. 答案：3　解析：若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得－>0，即ab>0，bc－ad>0⇒－>0；若ab>0，－>0成立，不等式－>0两边同乘以ab，可得bc－ad>0，即ab>0，－>0⇒bc－ad>0；若－>0，bc－ad>0成立，则－＝>0，又bc－ad>0，则ab>0，即－>0，bc－ad>0⇒ab>0. 综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个. 分级三　素能创新 13.a g糖水中含有b g糖(a>b>0)，若在糖水中加入x g糖，则糖水变甜了.据此提炼出一个不等式：________________. 答案：>(a>b>0，x>0)　解析：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，可得糖水的浓度为×100%；在糖水中加入x克糖，可得糖水的浓度为×100%；由糖水变甜了，可得×100%>×100%，故>(a>b>0，x>0). 14.已知一辆汽车原来每天行驶x km，如果现在该辆汽车每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间行驶，该问题用不等式可表示为________. 答案：9<<10　解析：如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为天，因此，不等式关系“它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式9<<10来表示. 学科网（北京）股份有限公司 $$