第1章 第3节 等式（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第三节　等　式 课标解读 理解等式的性质，掌握等式性质的简单应用. [对应学生用书P7] 知识点一　等式的性质与方程的解 1.等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c 性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc 　等式性质的延伸 (1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a； (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换). 2.十字相乘法 对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用如图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.　 3.方程的解集 方程 含有未知数的等式叫方程 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集 解方程 求方程的解的过程叫解方程 知识点二　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.一元二次方程的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其判别式Δ＝b2－4ac. (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为{，}； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为{－}； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅. 2.一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝，x2＝，则有 知识点三　方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集. (1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q. (2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等式的两边同除以任何实数等式仍成立.(　　×　　) (2)方程x2－2x＋3＝0的解集是空集.(　　√　　) (3)方程组的解集是{x＝3，y＝0}.(　　×　　) 二、版本互鉴 1.(多选)(人教B版必修第一册P58习题21A T1改编)下列等式中是恒等式的有(　　) A.a＋b＝b＋a B.(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) C.(x＋2y)2＝x2＋4y2 D.x2－2y2＝(x－y)(x＋y) 答案：ABD 2.(人教B版必修第一册P48练习A T5改编)对任意实数t和s，将t3－s3进行因式分解为____________. 答案：(t－s)(t2＋ts＋s2) 3.(人教B版必修第一册P53 练习B T3改编)已知关于x的方程x2－2x＋m－1＝0的两根同号，则实数m的取值范围是________. 答案：(1, 2] 4.(人教B版必修第一册P60习题21C T2改编)已知则＝________. 答案： [对应学生用书P8] 考点 解一元二次方程 (自悟通) 用适当的方法求下列方程的解集. (1)x2－2x－8＝0； (2)2x2－7x＋6＝0； (3)(x－1)2－2x＋2＝0. 解：(1)方法一　移项，得x2－2x＝8.配方，得(x－1)2＝9.由此可得x－1＝±3. ∴x1＝4，x2＝－2. ∴方程的解集为{－2，4}. 方法二　原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0， ∴x－4＝0或x＋2＝0. ∴x1＝4，x2＝－2. ∴方程的解集为{－2，4}. (2)方法一　原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0， ∴x－2＝0或2x－3＝0. ∴x1＝2，x2＝. ∴方程的解集为{2，}. 方法二　∵a＝2，b＝－7，c＝6， ∴Δ＝b2－4ac＝1>0. ∴x＝＝， 即x1＝2，x2＝. ∴方程的解集为{2，}. (3)原方程可化为(x－1)2－2(x－1)＝0.因式分解，得(x－1)(x－1－2)＝0. ∴x－1＝0或x－3＝0. ∴x1＝1，x2＝3. ∴方程的解集为{1，3}. 解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法.公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程. 考点 一元二次方程根的判别式的应用 (自悟通) 【例1】 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根. 解：(1)关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程，因为已知方程有实数根， 所以Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0， 解得m≥－且m≠－1. 综上可知，当m≥－时，方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根. (2)∵关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0，解得m＝－， ∴方程为－x2－3x－＝0， 两边同时乘以－2，得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0，解得x1＝x2＝－3. (1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围. (2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac. ①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”； ②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”； ③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”； ④“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”. 考点 一元二次方程根与系数的关系 (自悟通) 1.若一元二次方程x2－x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足＋＝－2，则m的值是(　　) A.－2 B.－ C. D.2 B　解析：根据根与系数的关系有x1＋x2＝1，x1x2＝m， ∴＋＝＝. 又＋＝－2， ∴＝－2，解得m＝－. 2.已知x1，x2是方程x2－x＋1＝0的两根，则x＋x＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D　解析：∵x1，x2是方程x2－x＋1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝7－2＝5，故选D. 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 (1)x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)＋＝； (3)|x1－x2|＝＝； (4)＋＝＝； (5)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (6)(x1＋k)(x2＋k)＝x1x2＋k(x1＋x2)＋k2. 考点 一元二次方程组的解法 (精研通) 【例2】 求下列方程组的解集： (1) (2) 解：(1)方法一(加减消元法)　①×2＋②，得5x＋8y＝7.④ 由③与④组成二元一次方程组解得 把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，所以z＝1. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}. 方法二(代入消元法)　由③，得y＝2x－7，④ 把④代入①，整理得7x＋2z＝23，⑤ 把④代入②，整理得7x－4z＝17，⑥ 由⑤与⑥组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3代入④，得y＝－1. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}. (2)①＋③，得3x＋5y＝11.④ ③×2＋②，得3x＋3y＝9，即x＋y＝3.⑤ ④与⑤组成二元一次方程组解得 把x＝2，y＝1代入③，得2＋2－z＝5， 所以z＝－1. 所以方程组的解集为{(x，y，z)|(2，1，－1)}. 解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的. 求方程组的解集. 解：方法一(代入消元法)　由②得x＝y＋1，④ 将④代入①③得解得 将y＝9代入④得x＝10. 所以原方程组的解集为{(10，9，7)}. 方法二(加减消元法)　③－①，得x－2y＝－8，⑤ 由②⑤组成方程组，得 解得将其代入①得z＝7.所以原方程组的解集为{(10，9，7)}. 分级练(3)　等　式 分级一　提能强化 1.已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是(　　) A.x＝y B.ax＋1＝ay＋1 C.2ax＝2ay D.3－ax＝3－ay A　解析：对于A，∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项变形不正确，符合题意； 对于B，∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项变形正确，不符合题意； 对于C，∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项变形正确，不符合题意； 对于D，∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项变形正确，不符合题意.故选A. 2.一元二次方程2x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，那么二次三项式2x2＋px＋q可分解为(　　) A.(x＋1)(x－2) B.(2x＋1)(x－2) C.2(x－1)(x＋2) D.2(x＋1)(x－2) D　解析：∵一元二次方程2x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，∴2(x＋1)(x－2)＝0，∴2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)·(x－2).故选D. 3.不解方程，判断关于x的方程2x2－(2m＋1)x＋(m2＋1)＝0的解集情况是(　　) A.∅ B.非空集 C.单元素集合 D.二元集 A　解析：由判别式Δ＝(2m＋1)2－8(m2＋1)＝－4m2＋4m－7＝－(2m－1)2－6<0，得方程的解集为空集.故选A. 4.三元一次方程组的解是(　　) A. B. C. D. C　解析：①＋②＋③得2x＋2y＋2z＝12，即x＋y＋z＝6，④由④－①得z＝5， ④－②得x＝1，④－③得y＝0.即可得 5.若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为(　　) A.1或4 B.－1或－4 C.－1或4 D.1或－4 B　解析：∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根， ∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)·(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4. 6.现定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－2a＋b，如3★4＝32－2×3＋4，若x★3＝6，则实数x的值为(　　) A.3或－1 B.－3或1 C.±2 D.±3 A　解析：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－2a＋b，∴x★3＝x2－2x＋3， ∵x★3＝6，∴x2－2x＋3＝6， ∴x2－2x－3＝0，因式分解得(x－3)(x＋1)＝0， ∴解得x1＝－1，x2＝3.故选A. 分级二　知能探究 7.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 D　解析：设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故选D. 8.若x1，x2是方程x2－2x－4＝0的两个不相等的实数根，则代数式2x－2x1＋x＋3的值是(　　) A.19 B.15 C.11 D.3 A　解析：∵x1，x2是方程x2－2x－4＝0的两个不相等的实数根， ∴x－2x1＝4，x1x2＝－4，x1＋x2＝2， ∴2x－2x1＋x＋3＝x－2x1＋x＋x＋3＝x－2x1＋(x1＋x2)2－2x1x2＋3＝4＋4＋8＋3＝19.故选A. 9.一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把原两位数的个位数字和十位数字对调后组成的数，那么原两位数是(　　) A.16 B.25 C.52 D.61 A　解析：设原两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为(10b＋a)，由题意得解得所以原两位数为10×1＋6＝16.故选A. 10.将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式. 若＝12，则x＝________. 答案：－2或3　解析：由题意得(x－1)(x＋1)－(x－1)(1－x)＝12，整理得x2－x－6＝0，因式分解得(x－3)(x＋2)＝0，即x－3＝0或x＋2＝0，解得x1＝3，x2＝－2. 11.如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n. (以上长度单位：cm).观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________；若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为________cm. 答案：(m＋2n)(2m＋n)　49　解析：图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(m＋2n)＋2(2m＋n)＝6m＋6n＝6(m＋n); 2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为(m＋2n)(2m＋n)；依题意得：2m2＋2n2＝58，mn＝10，∴m2＋n2＝29.∵(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，∴(m＋n)2＝29＋20＝49. 12.某班对政治、历史、地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下： 科目 政治 历史 地理 参考人数(人) 19 13 18 其中政治、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了政治而没有选历史的有________人，该班至少有学生________人. 答案：16　29　解析：政治、历史两门课程都选了的有3人，∴选了政治而没有选历史的有19－3＝16人，设三门课都选的有x人，同时选择地理和政治的有y人，则有总人数为19＋18＋13－3－4－2x－y＝43－2x－y，∵选择历史没有选择政治的有6人，∴2x＜6，∴x＜3，∴x＝1，2，∵只选政治的现在有19－3－4－1－y＝11－y，∴y最大是10，该班至少有学生43－4－10＝29. 学科网（北京）股份有限公司 $$