第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第二节　常用逻辑用语 课标解读 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. [对应学生用书P4] 知识点一　全称量词与存在量词 1.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 2.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 全称量词命题 存在量词命题 语言表示 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 知识点二　充分条件、必要条件与充要条件 当p⇒q时，称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp (1)A是B的充分不必要条件是指A⇒B且BA；A的充分不必要条件是B是指B⇒A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误. (2)在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围，如x>2（小范围）⇒x>1（大范围），x>1（大范围）x>2（小范围）. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　√　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　√　　) (3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(　　√　　) (4)“有的等差数列也是等比数列”是存在量词命题.(　　√　　) (5)“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(人教A版必修第一册P34 T5改编)“a>b”是“ac2>bc2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 2.(人教A版必修第一册P35 T6改编)下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，lg x＝1 B.∃x∈R，sin x＝0 C.∀x∈R，x3>0 D.∀x∈R，2x>0 C　解析：当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题. 3.(人教B版必修第一册P40 T9改编)设a，b∈R且ab≠0，则“ab＞1”是“a＞”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：D 4.(苏教版必修第一册P43 T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围为________. 答案：(－∞，1) [对应学生用书P5] 考点 含量词的命题的否定 (自悟通) 1.(2023·河北石家庄统考)已知命题p：∀x∈[0，＋∞)，ln (x2＋1)≥0，则¬p为(　　) A.∃x∈(－∞，0)，ln (x2＋1)<0 B.∃x∈[0，＋∞)，ln (x2＋1)<0 C.∀x∈(－∞，0)，ln (x2＋1)<0 D.∀x∈[0，＋∞)，ln (x2＋1)<0 B　解析：因为命题p：∀x∈[0，＋∞)，ln (x2＋1)≥0，所以¬p：∃x∈[0，＋∞)，ln (x2＋1)<0，故A，C，D错误.故选B. 2.(2023·湖北襄阳四中模拟)已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，则¬p为(　　) A.∃x<0，ex<1且sin x≥1 B.∃x≥0，ex<1且sin x≥1 C.∃x≥0，ex<1或sin x≥1 D.∃x<0，ex≥1或sin x≤1 B　解析：命题是全称命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，所以¬p：∃x≥0，ex<1且sin x≥1. 对全称(存在)量词命题进行否定的方法 (1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定. 考点 含量词的命题的真假判定 (自悟通) 1.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(　　) A.∀x∈R，f(－x)≠f(x) B.∀x∈R，f(－x)＝－f(x) C.∃x∈R，f(－x)≠f(x) D.∃x∈R，f(－x)＝－f(x) C　解析：由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，即∃x∈R，f(－x)≠f(x)是真命题，∃x∈R，f(－x)＝－f(x)是假命题. 2.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B.∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋ 的值恒为正数 C.∀x∈R，x4＜x5 D.∃x∈R，x2－2x＋1≤0 AD　解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题； y＝sin x＋cos x＋＝sin (x＋)＋，当sin (x＋)＝－1时，y＝0，故B为假命题； 当x＝0时，x4＝x5，故C为假命题； x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故D为真命题. 判断含有一个量词的命题真假的方法 (1)要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立； (2)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立. 考点 充分、必要条件 (精研通) 考法1　充分、必要条件的判定 【例1】 (1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (1)B　(2)A　解析：(1)通解　若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B. 优解　因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B. (2)方法一　由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，则cos (2kπ＋)＝cos ＝0，故充分性成立；又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)，而sin (kπ＋)＝1或－1，故必要性不成立.所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件. 方法二　由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，则cos (2kπ＋)＝cos ＝0，故充分性成立；又cos ＝0，sin ＝－1，故必要性不成立.所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件. 判断充分、必要条件的两种方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题. 1.(2023·山东潍坊一模)“b∈(－2，2)”是“∀x∈R，x2－bx＋1≥0成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A　解析：若∀x∈R，x2－bx＋1≥0成立，则Δ＝(－b)2－4≤0，即－2≤b≤2. 所以“b∈(－2，2)”是“∀x∈R，x2－bx＋1≥0成立”的充分不必要条件. 2.(2023·江苏盐城高三期末)不等式x－>0成立的一个充分条件是(　　) A.x<－1 B.x>－1 C.－1<x<0 D.0<x<1 C　解析：x－>0⇔>0⇔x(x＋1)(x－1)>0⇔x>1或－1<x<0. 因为{x|－1<x<0}{x|x>1或－1<x<0}， 所以不等式x－>0成立的一个充分条件是－1<x<0. 考法2　充分、必要条件的应用 【例2】 (2023·山东昌乐二中模拟)已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－3，＋∞) D.(－∞，－3] A　解析：¬p：|x＋1|≤2，解得－3≤x≤1，¬q：x≤a，因为¬p是¬q的充分不必要条件，所以[－3，1](－∞，a]，即a≥1. 已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 　(2023·安徽六安模拟)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________. 答案：3　解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3. 因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 所以{x|x>a}{x|x<－2或x>3}， 所以a≥3， 故a的最小值为3. 考点 含量词的命题的应用 (精研通) 【例3】 (1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________. (2)已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________. 答案：(1)(－∞，－2]　(2) 解析：(1)由命题p为真，得a≤0， 由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即a≤－2或a≥1，所以a≤－2. (2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m， 由题意得f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥. (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围. (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决. 已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________. 答案：(0，4)　解析：因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题， 所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题， 则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0<a<4. 分级练(2)　常用逻辑用语 分级一　提能强化 1.(2024·陕西长安区10月月考)命题“∀x>0，ln (2x＋1)>0”的否定是(　　) A.∀x≤0，ln (2x＋1)≤0 B.∀x>0，ln (2x＋1)≤0 C.∃x≤0，ln (2x＋1)≤0 D.∃x>0，ln (2x＋1)≤0 D　解析：因为命题“∀x>0，ln (2x＋1)>0”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即∃x>0，ln(2x＋1)≤0. 2.(2023·山东烟台高三期末)命题“∀x∈R，2x>0”的否定为(　　) A.∃x∈R，2x≤0 B.∃x∈R，2x<0 C.∀x∈R，2x≤0 D.∀x∈R，2x<0 A　解析：命题“∀x∈R，2x>0”为全称命题，该命题的否定为“∃x∈R，2x≤0”. 3.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 B　解析：若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，推不出a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c必成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件. 4.(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C　解析：方法一　因为xy≠0，且＋＝－2， 所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0. 所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件. 方法二　充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y， 所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2， 所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0. 所以必要性成立. 所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件. 方法三　充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0， 所以＋＝＝＝＝＝－2， 所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2， 所以＋＝＝＝＝－2＝－2， 所以＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0， 所以必要性成立. 所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件. 5.(2023·湖南宁乡模拟)命题“∀x∈R，sin x＋1≥0”的否定是____________. 答案：∃x0∈R，sin x0＋1<0　解析：命题“∀x∈R，sin x＋1≥0”的否定是“∃x0∈R，sin x0＋1<0”. 6.(2022·湖北荆门二模)若命题“∃x0∈[，]，tan x0>m”是假命题，则实数m的取值范围是____________. 答案：[，＋∞)　解析：由题意得“∀x0∈[，]，tan x0≤m”为真命题， 故m≥(tan x0)max＝tan ＝. 7.(2023·湖北襄阳五中模拟)集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是____________. 答案：(－2，2)　解析：A＝(－1，1)，当a＝1时，B＝(b－1，b＋1)， 因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以解得－2<b<2. 分级二　知能探究 8.(2022·山东济宁二模)“x>y”的一个充分不必要条件是(　　) A.ln x>ln y B.x2>y2 C.x3>y3 D.< A　解析：因为ln x>ln y，所以x>y>0，由于x>y>0⇒x>y，而x>y x>y>0，故A选项满足题意；令x＝－2，y＝0，则满足x2>y2，但不满足x>y，故B错误；由于x3>y3得：x>y，故C选项是一个充分必要条件，故C错误；令x＝－2，y＝1，则满足<，但不满足x>y，D错误. 9.(2023·江苏南京宁海中学模拟)若命题“∀x∈[1，4]时，x2>m”是假命题，则m的取值范围是(　　) A.m≥16 B.m≥1 C.m<16 D.m<1 B　解析：因为“∀x∈[1，4]，x2>m”是假命题，则其否定“∃x∈[1，4]，x2≤m”为真命题，则(x2)min≤m，而当x＝1时，x2取得最小值1，所以m≥1. 10.(多选)(2022·江苏南京二模)下列命题正确的是(　　) A.“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件 B.“M>N”是“lg M>lg N”的必要不充分条件 C.命题“∀x∈R，x2＋1<0”的否定是“∃x∈R，x2＋1<0” D.设函数f(x)的导数为f′(x)，则“f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的充要条件 AB　解析：A选项中，a>1⇒a2>1，但a2>1⇒a>1或a<－1，故A正确；B选项中，当M>N>0时有lg M>lg N，而lg M>lg N必有M>N>0，故B正确；C选项中，否命题为“∃x∈R，使得x2＋1≥0”，故C错误；D选项中，f′(x0)＝0不一定有f(x)在x＝x0处取得极值，而f(x)在x＝x0处取得极值，则f′(x0)＝0，故D错误. 分级三　素能创新 11.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B　解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 12.甲同学写出三个不等式，p：<0，q：x2－ax＋3a≤0，r：2x>，然后将a的值告诉了乙、丙、丁三位同学，要求他们各用一句话来描述，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的描述：①乙：a为整数；②丙：p是q成立的充分不必要条件；③丁：r是q成立的必要不充分条件；④甲：三位同学说的都对，则实数a的值为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 B　解析：p：<0⇒0<x<1，r：2x>⇒x>－3. 三位同学说的都对，p是q成立的充分不必要条件是真命题，设f(x)＝x2－ax＋3a， 则有⇒⇒a≤－；r是q成立的必要不充分条件是真命题， 所以有f(x)＝x2－ax＋3a＝0的两个根都大于－3， 则有Δ≥0且⇒⇒a>－， 所以－<a≤－.又a为整数是真命题，所以a＝－1，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$