第1章 第1节 集合（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 课标解读 1.了解集合的含义及特征，理解元素与集合的属于关系. 2.理解集合间的基本关系. 3.理解并掌握集合的基本运算. [对应学生用书P1] 知识点一　集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性. (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图： N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. 知识点二　集合间的基本关系 (1)子集：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A).　 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个. (2)真子集：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB(或BA). 知识点三　集合的基本运算 (1)交集：一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B. (2)并集：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B. (3)补集：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA. (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A. (3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　×　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　×　　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.(　　×　　) (4)任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)成立.(　　√　　) 二、版本互鉴 1.(人教B版必修第一册P9 T4改编)已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为______. 答案：1或4 2.(苏教版必修第一册P21 T7改编)设全集U＝{x∈N*|x<9}，集合A＝{3，4，5，6}，则∁UA＝________. 答案：{1，2，7，8} 3.(人教A版必修第一册P10例2改编)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则A∩B＝________. 答案：{x|1<x<2} 4.(人教A版必修第一册P14 T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝____________，(∁RA)∩B＝______________. 答案：{x|x≤2或x≥10}　{x|2＜x＜3或7≤x＜10} 5.(北师大版必修第一册P7 T3改编)集合{x|(x－1)·(x－2)(x－3)2＝0}的子集个数为______，非空真子集的个数为______. 答案：8　6 [对应学生用书P2] 考点 集合的含义与表示 (自悟通) 1.(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　　) A.－1∉A B.－11∉A C.3k2－1∈A D.－34∈A BCD　解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误； 令－11＝3k－1，得k＝－∉Z，所以－11∉A，所以B正确； 因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确； 令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确. 2.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A.9 B.8 C.5 D.4 A　解析：当x＝－1时，y2≤2，得y＝－1，0，1；当x＝0时，y2≤3，得y＝－1，0，1；当x＝1时，y2≤2，得y＝－1，0，1，即集合A中元素有9个. 3.已知a，b∈R，若 ＝{a2，a＋b，0}，则a2 025＋b2 025＝________. 答案：－1 解析：由已知得a≠0，则 ＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1. 解决集合含义问题的关键点 (1)确定构成集合的元素. (2)确定元素的限制条件. (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性. 考点 集合间的基本关系 (自悟通) 1.已知集合{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5，6}，则满足条件的集合A的个数为(　　) A.16 B.15 C.8 D.7 A　解析：因为{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5，6}，所以集合A中必须含有1，2两个元素，可以含有元素3，4，5，6，因此满足条件的集合A有24＝16(个). 2.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A.2 B.1 C. D.－1 B　解析：依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1. 3.(2021·全国甲卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　) A.∅ B.S C.T D.Z C　解析：任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T⊆S，因此，S∩T＝T. (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 考点 集合的运算 (精研通) 考法1　集合的交、并、补运算 【例1】 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} (2)(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝ {2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A.{2，3，5} B.{1，3，4} C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5} (1)C　(2)A　解析：(1)通解(直接运算法)　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C. 光速解(排除法)　由于1∉N，所以1∉(M∩N)，排除A，B；由于2∉N，所以2∉(M∩N)，排除D.故选C. (2)由题意知，∁UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}，所以N∪∁UM＝{2，3，5}. 集合的基本运算的解题策略 (1)看元素组成.从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提. (2)对集合化简.先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决. (3)数形结合思想的应用.常用的数形结合形式有：数轴、坐标系和Venn图. 考法2　利用集合的运算求参数的值(范围) 【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　) A.－4 B.－2 C.2 D.4 (2)(2023·山东临沂月考)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，2) B.(－∞，2] C.[－1，＋∞) D.(－1，＋∞) (1)B　(2)D　解析：(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2. (2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠∅，结合数轴可得a＞－1. 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到. (2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解. 提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性). 1.(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　) A.{－1，2} B.{1，2} C.{1，4} D.{－1，4} B　解析：由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}. 2.(2023·湖北武汉模拟)已知全集U＝A∪B＝(0，2]，A∩∁UB＝(1，2]，则B＝(　　) A.(0，1] B.(0，2) C.(0，1) D.∅ A　解析：由U＝A∪B＝(0，2]，A∩∁UB＝(1，2]，得B＝(0，1]. 3.(2024·高考适应性测试)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________. 5　解析：由A∩B＝A，故A⊆B，所以B≠∅，所以m≥0.由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故即即m≥5，即m的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$