第2节 函数的单调性与最值-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第二章　函数 第2节　函数的单调性与最值 【知识梳理】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上____________或________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得____________ (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得____________ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 【真题呈现】 一、单选题 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【专项训练】 一、单选题 1．下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 11．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．在上单调递减 三、填空题 12．已知，则函数的单调递增区间为 . 13．已知函数，则不等式的解集为 . 14．已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 16．定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 17．若函数为定义在R上的奇函数． (1)求实数a的值，并判断函数的单调性； (2)若对任意的实数，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 18．二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 19．已知函数． (1)证明：的定义域与值域相同． (2)若，，，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　函数 第2节　函数的单调性与最值 【知识梳理】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称