第4节 基本不等式-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第4节　基本不等式 【知识梳理】 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 【常用结论】 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 【真题呈现】 1．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 .故选：A. 2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 3．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于.取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C. 4．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【解析】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C． 二、多选题 5．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 三、填空题 6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【解析】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到，即，则； 空2：因为，则，可得， 得到，即，即. 于是.记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.    7．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【解析】[方法一]：余弦定理设， 则在中，， 在中，， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） ， [方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，，，， 令，则， ，， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记，则 由方程有解得：，即，解得：， 所以，此时， 所以当取最小值时，，即.    8．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【解析】，， 当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为. 四、解答题 9．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【解析】（1）因为，即，而，所以； （2）由（1）知，，所以，而， 所以，即有，所以 所以． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【专项训练】 一、单选题 1．下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【解析】对A：当时，，当且仅当，即时取等号， 但当时不成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即取等号， 又因为，故