第22章 相似形 单元模拟测试卷 2023-2024学年沪科版数学九年级上册

第22章　相似形 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 分数 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.(2023·陕西西安爱知中学月考)已知四条线段a,b,c,d是成比例线段,其中b=3 cm,c=4 cm,d=6 cm,则线段a的长度为(　　) A. 8 cm B. 2 cm C. 4 cm D. 1 cm 2.(2023·上海宝山区期中)下列各组图形,一定相似的是(　　) A. 两个等腰梯形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个矩形 3.(2022·湖南怀化期末)已知△ABC∽△DEF,若∠A=30°,∠E=50°,则∠F的度数为 (　　) A. 110° B. 100° C. 90° D. 80° 4.[课标理念|结合真实情境](2022·浙江丽水中考)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是(　　) A. B. 1 C. D. 2 　　　　　　　 (第4题) (第5题)　 (第6题) 5.(2023·浙江杭州江干区期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D是AC的中点,若过点D沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形,则不同的剪法共有(　　) A. 3种 B. 2种 C. 1种 D. 4种 6.(2023·安徽宣城宣化区期末)如图,F为▱ABCD的边AD上一点,射线BF交CD的延长线于点E,则下列结论正确的是(　　) A. = B. = C. = D. = 7.在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O为原点,边OA在x轴的正半轴上,边OC在y轴的正半轴上,点B的坐标是(6,4).如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC的面积的,那么点B'的坐标是(　　) A. (3,2) B. (-2,-3) C. (3,2)或(-3,-2) D. (2,3)或(-2,-3) 8.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,G,F分别为AD,BC边上的点.若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 　　　　　　 (第8题)　 (第9题) 9.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E为边AD上一点,连接BE,CE,其中CE交对角线BD于点F.若AB=2,AE=DF,则AE等于(　　) A. 3± B. 3- C. D. 10.(2022·浙江诸暨模拟)如图,将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片.根据图中标出的长度,则矩形纸片的面积为(　　) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 11.[中考创新题型|开放性试题](2023·北京通州区期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上(不与点A,C重合),只需添加一个条件即可证明△ABC和△BDC相似,这个条件可以是　　　　　　　　　　(写出一个即可).  　　　　　　　 (第11题) (第13题) 　(第14题) 12.(2022·四川成都锦江区段考)已知△ABC与△DEF的相似比为3∶5.若它们周长差是24,则△DEF的周长为　　　　.  13.[课标理念|关注数学文化](2022·北京东城区二模)据《墨经》记载,在两千多年前,我国墨子和他的学生做了世界上第一个“小孔成像”的实验,阐释了光的直线传播原理,如图(1)所示.在如图(2)所示的小孔成像实验中,若物距为10 cm,像距为15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6 cm,则蜡烛火焰的高度是　　　　cm.  14.(2022·安徽合肥五十中月考)如图,在正方形ABCD中,AB=4,M为BC的中点,点N在射线AD上,过点N作NE⊥AM于点E,连接MN,则: (1)=　　　　;  (2)当△MEN与△ABM相似时,AN=　　　　.  三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15.(2022·安徽合肥期中)如图,BE是△ABC的角平分线,延长BE至点D,使得BC=CD. 求证:△AEB∽△CED. 16.(2023·浙江绍兴柯桥区期中)已知线段a,b,c满足==,且a+2b+c=26. (1)求线段a,b,c的长; (2)若线段m是线段a,b的比例中项,求线段m的长. 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17. (2023·浙江杭州西湖区期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,DE∥BC,BE⊥AB. (1)求证:△DEB∽△BAC; (2)若AB=6,AC=2,求的值. 18.(2023·广州深圳福田区期中)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2). (1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1. (2)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2. (3)点C2的坐标为　　　　;△ABC与△A2B2C2的周长比是　　　　.  五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19.[课标理念|关注数学文化]《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木?”大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好可以看到位于A处的树木(即点D在直线AC上). 20.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,∠EDF=∠B. (1)如图(1),求证:DE·CD=DF·BE. (2)若D为BC的中点,如图(2),连接EF.求证:ED平分∠BEF. 图(1) 图(2) 六、(本题满分12分) 21.[中考创新题型|综合与实践题]某数学兴趣小组为了测量校内路灯的灯柱AB的高度,设计了以下三个方案. 方案一:如图(1),在操场上点C处放一面平面镜,从点C处后退1 m到点D处,恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像.再将平面镜向后移动4 m(即FC=4 m)放在F处,从点F处向后退1.5 m到点H处,恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像,其中眼睛距地面的高度ED,GH均为1.5 m,已知点B,C,D,F,H在同一水平线上,且GH⊥FH,ED⊥CD,AB⊥BH(平面镜的大小忽略不计). 方案二:如图(2),利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标杆CD高1.5 m,测得DE=2 m,CE=2.5 m. 方案三:如图(3),将直角三角形支架的直角边CE保持水平,并且边CE与点M在同一直线上.已知两条边CE=0.4 m,EF=0.2 m,测得边CE离地面距离DC=1.5 m. 以上三种方案中,方案　　　　不可行,请选择可行的方案,并求出灯柱的高度.  七、(本题满分12分) 22.[中考新题型|阅读理解题]先阅读下面的材料,然后解答问题. 　　材料:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”.例如:如图(1),AD把△ABC分成△ABD与△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△ADC∽△BAC,那么AD就是△ABC的“完美分割线”. 解答下列问题: (1)如图(2),在△ABC中,∠B=40°,AD是△ABC的“完美分割线”,且△ABD是以AD为底边的等腰三角形,则∠CAD=　　　　°;  (2)在△ABC中,∠B=42°,AD是△ABC的“完美分割线”,且△ABD是等腰三角形,求∠BAC的度数. 图(1)　　　　　　　　　　　图(2) 八、(本题满分14分) 23.(2023·安徽安庆迎江区期中)在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,线段AC与DE交于点G,连接BD,CE. (1)如图(1),当B,D,E三点共线时,求证:∠BEC=∠DAE. (2)如图(2),当B,D,E三点不共线时,延长ED交BC于点F. ①求证:AD·CG=EG·FC; ②若∠BAC=∠ADB=90°,求 的值. 图(1)　　　　　图(2) 参考答案 1.B　∵四条线段a,b,c,d是成比例线段,∴a∶b=c∶d,即a∶3=4∶6,∴a=2 cm. 2.C　两个正方形,形状相同,大小不一定相同,符合相似形定义,故选C. 3.B　 ∵△ABC∽△DEF,∴∠D=∠A=30°,∴∠F=180°-∠D-∠E=100°. 4.C　如图,过点A作平行横线的垂线,交点B所在的平行横线于点D,交点C所在的平行横线于点E.由题意可得,=,即=2,解得BC=. 5.A 如图,在AB边上取一点F,连接DF,使DF∥BC,此时易得△ADF∽△ACB;在BC边上取一点G,连接DG,使DG∥AB,此时易得△CDG∽△CAB;在AB边上取一点E,连接DE,使DE⊥AB,此时易得△ADE∽△ABC.故不同的剪法共有3种. 6.B　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴△ABF∽△DEF,△EFD∽△EBC,∴=,=,=,故选项A,C,D错误;∵△ABF∽△DEF,△EFD∽△EBC,∴△ABF∽△CEB,∴=.故选B. 7.C 由题意知,矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比是1∶2.如图,∵点B的坐标是(6,4),∴点B'的坐标是(3,2)或(-3,-2). 8.B　∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°,∴∠AGE+∠AEG=90°.∵∠AEG+∠BEF=90°,∴∠AGE=∠BEF,∴△AGE∽△BEF,∴= . ∵E为AB的中点,∴AE=BE.∵AG=1,BF=2,∴=,解得AE=.在Rt△AEG中,GE2=AG2+AE2=3.在Rt△BEF中,EF2=BE2+BF2=6.在Rt△GEF中,GF==3. 9.B　∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴△ABD和△CBD都是等边三角形,∴AD=BD=AB=2.∵AD∥BC,∴∠EDF=∠CBF,∠DEF=∠BCF, ∴△DEF∽△BCF,∴=.又AE=DF,∴=,解得AE=3±.由题意可得0<AE<2,∴AE=3-. 10.C　如图,过点A作AH⊥BC于点H,交DE于点M,∵△ABC的面积为50,∴×10×AH=50,∴AH=10.∵四边形DFGE是矩形,∴DF=MH=EG, DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴=,即=,∴MH=4,∴DF=4,∴S矩形DFGE=DE·DF=6×4=24. 11.∠A=∠CBD(答案不唯一,或∠ABC=∠BDC等)　∵∠A=∠CBD,∠ACB=∠BCD,∴△ABC∽△BDC. 12.60　∵△ABC与△DEF的相似比为3∶5,∴△ABC与△DEF的周长比是3∶5.由题意设△ABC的周长为3x,则△DEF的周长为5x,则有5x-3x=24,解得x=12,∴5x=60,∴△DEF的周长为60. 13.4　设蜡烛火焰的高度是x cm,由相似三角形的性质得=,解得x=4,即蜡烛火焰的高度是4 cm. 14.(1)　(2)2或5　(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=AD=4.∵点M是BC的中点,∴BM=CM=2,∴AM===2. ∵BC∥AD,NE⊥AM,∴△ABM∽△NEA,∴==.(2)当∠AMB=∠NME时,则△ABM∽△NEM,∴∠AMB=∠NME=∠MAN,∴AN=MN.∵EN⊥AM, ∴AE=EM=.∵=,∴AN=5.如图,当∠BAM=∠EMN时,△ABM∽△MEN,∴∠MAN+∠AMN=90°,∴∠ANM=90°,∴四边形ABMN是矩形,∴AN=BM=2.综上所述,AN的长为2或5. 15.【参考答案】证明:∵BE是△ABC的角平分线, ∴∠ABE=∠CBE. (2分) ∵BC=CD, ∴∠CBE=∠D, (4分) ∴∠ABE=∠D. (6分) ∵∠AEB=∠CED, ∴△AEB∽△CED. (8分) 16.【参考答案】(1)(设参法)设===k, 则a=3k,b=2k,c=6k. ∵a+2b+c=26, ∴3k+2×2k+6k=26, 解得k=2, ∴a=6,b=4,c=12. (4分) (2)∵线段m是线段a,b的比例中项, ∴=,即m2=ab=4×6=24, 解得m=2或m=-2(舍去), ∴线段m的长为2. (8分) 17.【解题思路】(1)由DE∥BC得,∠EDB=∠ABC.根据垂直说明∠EBD=∠C=90°,即可得出结论.(2)先由勾股定理求出BC的长,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得结论. 【参考答案】(1)证明:∵∠C=90°,BE⊥AB, ∴∠EBD=∠C=90°. (2分) ∵DE∥BC, ∴∠EDB=∠ABC, ∴△DEB∽△BAC. (5分) (2)由勾股定理得BC===4.(6分) ∵D是AB的中点,AB=6, ∴DB=3. ∵△DEB∽△BAC, ∴=()2=()2=. (8分) 18.【参考答案】(1)如图,△A1B1C1为所作. (3分) (2)如图,△A2B2C2为所作. (6分) (3)(-6,4)　1∶2 (8分) 19.【参考答案】由题意知DH=DK=100步,AH=15步. ∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A. 又∠CKD=∠DHA,∴△CDK∽△DAH, (5分) ∴=,即=, ∴CK=步. (9分) 答:出南门步恰好看到位于A处的树木. (10分) 20.【参考答案】(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°, ∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°, ∠EDF=∠B, ∴∠FDC=∠DEB,∴△BDE∽△CFD, ∴=, 即DE·CD=DF·BE. (5分) (2)证明:由(1)可知=. ∵D为BC的中点,∴BD=CD, ∴=,∴=. (8分) 又∠B=∠EDF, ∴△BDE∽△DFE, ∴∠BED=∠DEF, ∴ED平分∠BEF. (10分) 21.【参考答案】二、三 (2分) 解法提示:根据相似三角形的知识可知, 方案二中△ABE缺少边长的条件, 故方案二不可行. 方案三中△AMC缺少边长的条件, 故方案三不可行. 选择方案一. (4分) ∵∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC, ∴△ABC∽△EDC, ∴=, ∴AB==1.5BC. (8分) 设BC=x m, 则AB=1.5x m. 同理可得△ABF∽△GHF, ∴=. ∵AB=1.5x m,BF=BC+CF=(x+4)m,GH=1.5 m,FH=1.5 m, ∴=, 解得x=8, ∴AB=1.5×8=12(m), 即灯柱的高度为12 m. (12分) 22.【参考答案】(1)40 (4分) 解法提示:∵AD是△ABC的“完美分割线”, ∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=40°. (2)若BD=AD,∵AD是△ABC的“完美分割线”, ∴△DAC∽△ABC, ∴∠CAD=∠B=42°. ∵AD=BD, ∴∠ABD=∠BAD=42°, ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=84°. (6分) 若AB=BD,则∠BAD=69°=∠BDA. ∵AD是△ABC的“完美分割线”, ∴△DAC∽△ABC, ∴∠CAD=∠B=42°, ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=69°+42°=111°. (9分) 若AB=AD,则∠B=∠ADB=42°. ∵AD是△ABC的“完美分割线”, ∴△DAC∽△ABC, ∴∠CAD=∠B=42°. ∵∠ADB=∠DAC+∠C=42°+∠C≠42°, ∴不符合题意. (11分) 综上所述,∠BAC的度数为84°或111°. (12分) 23.【参考答案】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE. 又∵AB=AC,AD=AE, ∴△BAD≌△CAE, ∴∠ADB=∠AEC. 当B,D,E三点共线时,∠ADB=∠AED+∠DAE. 又∵∠AEC=∠AED+∠BEC, ∴∠BEC=∠DAE. (5分) (2)①证明:∵AB=AC,AD=AE, ∴=. 又∠BAC=∠DAE, ∴△BAC∽△DAE, ∴∠AED=∠ACB. 又∠AGE=∠FGC, ∴△AEG∽△FCG, ∴=,即AE·CG=EG·FC. 又AD=AE, ∴AD·CG=EG·FC. (10分) ②如图,连接AF. 由(1)可知,△BAD≌△CAE, ∴∠AEC=∠ADB=90°. 由①知△AEG∽△FCG, ∴=,即=. 又∠AGF=∠EGC, ∴△AGF∽△EGC, ∴∠AFG=∠ACE, ∴∠AFE+∠EFC=∠ECA+∠EAC=180°-∠AEC=90°, ∴∠AFC=90°, ∴FC=AC=AB, ∴=. (14分) 学科网（北京）股份有限公司 $$