分级练(57) 最值问题（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(57)　最值问题 分级一　提能强化 1.平面xOy内，动点P到点F(，0)的距离与它到直线x＝2的距离之比为. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在轨迹C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值. 解：(1)设P(x，y)， ∵动点P到点F(，0)的距离与它到直线x＝2的距离之比为， ∴＝，化简得x2＋2y2＝4，即＋＝1， ∴动点P的轨迹C的方程为＋＝1. (2)A(t，2)，B(x0，y0)，其中x0≠0. ∵OA⊥OB，∴·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. ∵点B在轨迹C上，∴x＋2y＝4，0<x≤4， ∴|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝(x0＋)2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4 ＝x＋＋＋4＝＋＋4. ∵＋≥2＝4，当且仅当x＝4时等号成立， ∴|AB|2≥8，即|AB|≥2， 故线段AB长度的最小值为2. 2.(2022·山东淄博一模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求△F1AB面积最大时直线l的方程. 解：(1)因为|F1F2|＝2c＝4，所以c＝2，则F1(－2，0)，F2(2，0)， 由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2， 得a＝， 所以b＝＝，因此，椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋2， 联立消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0， Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0， 由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以S△F1AB＝|F1F2|·|y1－y2|＝2 ＝2＝， 令t＝>1，则S△F1AB＝＝≤＝2， 当且仅当t＝时，即当m＝±1时，等号成立， 此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 分级二　知能探究 3.(2023·山东潍坊三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点D. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动直线l：y＝－x＋m(1≤m<2)与椭圆C交于A，B两点，且在坐标平面内存在两个定点P，Q，使得kPAkPB＝kQAkQB＝λ(定值)，其中kPA，kPB分别是直线PA，PB的斜率，kQA，kQB分别是直线QA，QB的斜率. (ⅰ)求λ的值； (ⅱ)求四边形PAQB面积的最大值. 解：(1)由题意得，解得 则椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)(ⅰ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 把y＝－x＋m与椭圆C的标准方程联立， 消去y，可得3x2－4mx＋4m2－12＝0，Δ＝144－32m2>0， 注意到x1，x2为方程3x2－4mx＋4m2－12＝0的两根， 故有恒等式3x2－4mx＋4m2－12＝3(x－x1)(x－x2)， 则3x－4mx0＋4m2－12＝3(x0－x1)(x0－x2)， 同理，把y＝－x＋m与椭圆C的标准方程联立， 消去x，可得3y2－4my＋2m2－3＝0， 注意到y1，y2为方程3y2－4my＋2m2－3＝0的两根， 故有恒等式3y2－4my＋2m2－3＝3(y－y1)(y－y2)， 则3y－4my0＋2m2－3＝3(y0－y1)(y0－y2)， 则kPAkPB＝＝ ＝λ， 所以4m(λx0－y0)＋2m2(1－2λ)＋3y－3λx－3＋12λ＝0， 若kPAkPB为定值，则必有 计算可得或故λ＝. (ⅱ)不妨设点P(－2，－1)，点Q(2，1)，点P，点Q到直线l的距离分别是d1，d2， 因为1≤m<2，d1＝＝，d2＝＝， 所以d1＋d2＝，由(ⅰ)知，x1＋x2＝，x1x2＝， |AB|＝·＝， S四边形PAQB＝|AB|(d1＋d2)＝××＝≤， 当且仅当m＝1时等号成立， 所以四边形PAQB面积的最大值是. 4.(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程. 解：(1)抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设M(，y1)，N(，y2)，A(，y3)，B(，y4)，直线MN：x＝my＋1， 由可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4， 由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝， 直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0， Δ>0，y1y3＝－8， 所以y3＝2y2， 同理可得y4＝2y1， 所以kAB＝＝＝， 又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β， 所以kAB＝tan β＝＝， 若要使α－β最大，则β∈(0，)， 设kMN＝2kAB＝2k>0， 则tan (α－β)＝＝＝≤＝， 当且仅当＝2k， 即k＝时，等号成立， 所以当α－β最大时，kAB＝， 设直线AB：x＝y＋n， 代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0， Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y1＝－16，所以n＝4， 所以直线AB的方程为x＝y＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $$