分级练(56) 直线与圆锥曲线的位置关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(56)　直线与圆锥曲线的位置关系 分级一　提能强化 1.(2023·江苏连云港模拟)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k＝(　　) A.－2 B.－1 C.－ D.1 C　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋1代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，x1＋x2＝－，因为AB中点的横坐标为1，所以－＝1，解得k＝－.故选C. 2.直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是(　　) A.2 B. C.4 D.不能确定 B　解析：直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为＝＝，当y＝－时，弦长最大为. 3.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D. D　解析：∵过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，∴＝1，故e＝＝＝. 4.已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2，1)，则直线l的方程为(　　) A.y＝x－1 B.y＝－2x＋5 C.y＝－x＋3 D.y＝2x－3 D　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则联立得y－y＝4(x1－x2)， 由题可知x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2， ∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D. 5.(2022·江苏新沂一中模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线2x－y－4＝0交于A，B两点，且|AB|＝3.若抛物线C的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝(　　) A.7 B.7 C.6 D.5 B　解析：由题设，x＝＋2，代入抛物线可得y2－py－4p＝0， 所以yA＋yB＝p，yAyB＝－4p，则|AB|＝×＝3， 则p2＋16p－36＝0，可得p＝－18(舍去)或p＝2，故xA＋xB＝＋4＝5， 由抛物线定义知，|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝7.故选B. 6.(多选)(2022·河北唐山一模)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则(　　) A.y1·y2为定值 B.k1·k2为定值 C.y1＋y2为定值 D.k1＋k2＋t为定值 ABD　解析：由得y2－4ty－16＝0，则对于A，y1·y2＝－16为定值，A正确；对于B，k1·k2＝＝＝－1，B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，C错误；对于D，k1＋k2＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝－t＋t＝0，则k1＋k2＋t为定值，D正确.故选ABD. 7.(2023·江苏南京模拟)设F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，则为(　　) A.1 B.－1 C.4 D.－4 B　解析：a＝，b＝c＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题图可知直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程并化简得(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，故k1＋k2＝＋＝＋＝＝＝0.又k1，k2均不为0，故＝－1，即为定值－1.故选B. 8.(2023·福建泉州高三开学考试)直线l：y＝2x－4过抛物线C：y2＝2px的焦点F，与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案：10　解析：因为直线l：y＝2x－4过抛物线C：y2＝2px的焦点F，故F(2，0)，即p＝4，故抛物线C：y2＝8x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x2－6x＋4＝0，故|AB|＝x1＋x2＋p＝10. 9.(2022·江苏淮安模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，圆E：(x－a)2＋y2＝r2(r>0)与双曲线相交于点A，B(点B，A分别位于平面直角坐标系xOy的第一、二象限)，且双曲线的虚轴长为2，离心率e＝. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线AB与两渐近线l1，l2分别交于M，N两点，若△MON的面积为，求直线AB的斜率. 解：(1)由题意得，b＝1，e＝＝＝，解得a＝2， 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 得x2－4x＋3－r2＝0，所以x1＋x2＝. 设直线AB为y＝kx＋t，则得(1－4k2)·x2－8ktx－4t2－4＝0， 所以x1＋x2＝＝， 所以＝，① 由得xN＝，由得xM＝， 所以S△MON＝·t·(＋)＝＝.② 由①②得，t＝2k，③ 将③代入①式得k＝±； 由于点A，B分别位于第一、二象限，所以t＝2k>0，所以k＝. 分级二　知能探究 10.(2023·山东潍坊二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，圆M：(x－4p)2＋y2＝4p2，抛物线上一点N到其准线的距离等于其到圆心M的距离，且S△NFM＝. (1)求抛物线C和圆M的方程； (2)过抛物线上一点P(x0，y0)作圆M的切线PA，PB分别交抛物线于A，B两点，已知直线AB的斜率为－，求点P的坐标. 解：(1)由题意知|NF|＝|NM|，易知点N横坐标为＝p，故N， 所以S△NFM＝××＝，所以p2＝，即p＝， 所以抛物线C的方程为y2＝x，圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1. (2)设P(y，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)，直线AB的方程为y＝－x＋b， 由 得3y2＋4y－4b＝0，则y1＋y2＝－， 设直线PA的方程为(y－y1)(y－y)－(y1－y0)·(x－y)＝0， 整理得x－(y0＋y1)y＋y0y1＝0， 因为PA与圆M相切，所以＝1， 整理得(y－1)y＋2y0y1＋3－y＝0， 同理可得(y－1)y＋2y0y2＋3－y＝0， 所以y1，y2为方程(y－1)y2＋2y0y＋3－y＝0的两根， 则y1＋y2＝－， 所以－＝－，即2y－3y0－2＝0， 所以y0＝－或y0＝2，经检验符合题意. 所以P或P(4，2). 11.(2023·福建三明一中模拟)如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF|＝. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点(A，B，C，D依次排序)，且|AB|－|CD|＝，求直线l的方程. 解：(1)由抛物线y2＝4x可知F(1，0)， 故由|PF|＝得|PF|＝xP＋1＝，则xP＝，故y＝，则P(，)， 将点P代入椭圆C得解得 故椭圆方程为＋＝1. (2)过点F的直线l的斜率不存在时，则有|AB|＝|CD|不符合题意， 故设直线l的斜率为k，则直线方程为y＝k(x－1)， 由整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＋2＝4＋，故|AC|＝x1＋x2＋2＝4＋， 联立整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 设B(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3＋x4＝，x3·x4＝， 则|BD|＝·＝· ＝， 又|AB|－|CD|＝|AC|－|BD|，故|AB|－|CD|＝，即4＋－＝， 整理得14k4－9k2－18＝0，解得k2＝，由题图可知，k>0，故k＝， 故直线l的方程为y＝(x－1). 学科网（北京）股份有限公司 $$