分级练(54) 双曲线（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(54)　双曲线 分级一　提能强化 1.已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　) A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0) C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0) B　解析：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支， 设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5， 所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0). 2.(2022·山东日照三模)下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是(　　) A.y2－x2＝4 B.－y2＝1 C.－x2＝1 D.x2－y2＝1 A　解析：由于双曲线的焦点在y轴上，所以选项B，D不满足题意，选项A中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积为－1，所以两渐近线互相垂直，所以选项A满足题意；选项C中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积不为－1，所以两渐近线不互相垂直，所以选项C不满足题意.故选A. 3.(2022·山东菏泽二模)已知双曲线E：－＝1的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则下列说法正确的是(　　) A.E的焦点到渐近线的距离为2 B.m＝6 C.E的实轴长为6 D.E的离心率为 D　解析：依题意可得＝，得m＝9，故B错误；b＝＝3，a＝2，c＝＝，所以E的焦点到渐近线的距离为＝3，故A错误；因为a＝2，所以E的实轴长为2a＝4，故C错误；E的离心率为＝＝＝＝，故D正确.故选D. 4.(2023·湖北襄阳五中模拟)已知双曲线－＝1的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，1)，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.－＝1 C　解析：由题意得解得所以双曲线的方程为－y2＝1，故选C. 5.(多选)(2023·湖南益阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0)的离心率为，则(　　) A.C的右顶点坐标为(2，0) B.C的焦距为4 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线y＝3x与C有两个交点 ABC　解析：双曲线的虚半轴长b＝4，半焦距c＝，离心率＝＝，得a＝2，则c＝2，双曲线C的右顶点为(2，0)，A选项正确；双曲线的焦距为2c＝4，B选项正确；双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，C选项正确；直线y＝3x过原点，且斜率为3，大于渐近线的斜率2，所以直线y＝3x与双曲线没有交点，D选项错误.故选ABC. 6.(多选)(2023·山东省威海二模)已知双曲线E：－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2＝，则(　　) A.双曲线E的离心率为 B.双曲线E的渐近线方程为y＝±x C.点P到直线x＝1的距离为2 D.以双曲线E的实轴为直径的圆与l相切 ACD　解析：由双曲线方程可知，a2＝3， 设∠PF1F2＝θ，则tan θ＝，那么cos θ＝，sin θ＝， 如图，作PA⊥x轴，垂足为点A，设|PA|＝h，|PF2|＝x，则|PF1|＝x＋2， 所以＝sin ＝，sin θ＝＝， 两式联立解得x＝2，即|PF2|＝2，|PF1|＝2＋2， 在△PF1F2中，由余弦定理， 可得4c2＝(2＋2)2＋(2)2－2×(2＋2)×2×cos ， 4c2＝36，得c＝3， 所以双曲线E的离心率e＝＝＝，故A正确； b＝＝，所以双曲线E的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误； 直线l的方程为y＝(x＋3)，与双曲线方程－＝1联立， 得x2－2x－7＝0，解得x＝1±2，因为点P在双曲线的右支上， 所以点P的横坐标为1＋2，P到直线x＝1的距离为2，故C正确； 以实轴为直径的圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线l的距离d＝＝，故D正确. 故选ACD. 7.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足∠POF2＝2∠PF1F2，设e1，e2分别是C1，C2的离心率，则e1，e2的关系是(　　) A.e1e2＝2 B.e＋e＝2 C.e＋e1e2＋e＝2 D.e＋e＝2ee D　解析：因为∠POF2＝∠PF1F2＋∠F1PO，∠POF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝∠F1PO，所以OF1＝OP＝OF2＝c，所以PF1⊥PF2， 记椭圆半长轴长为a1，双曲线半实轴长为a2，PF1＝m，PF2＝n， 则由椭圆和双曲线定义可得：m＋n＝2a1…① m－n＝2a2…② ①2＋②2可得2(m2＋n2)＝4(a＋a)， 由勾股定理知，m2＋n2＝4c2，代入上式可得2c2＝a＋a， 整理得＋＝2，即＋＝2，所以e＋e＝2ee，故选D. 8.(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________. 答案：　解析：双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，解得m＝或m＝－(舍去). 9.(2022·河北衡水模拟)已知双曲线C的焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±x，则C的离心率为________. 答案：　解析：由题意，设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0).因为渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以双曲线C的离心率e＝＝＝＝. 10.(2023·山东烟台模拟)在平面直角坐标系xOy中，F为双曲线C：－＝1的一个焦点，过点F的直线l与C的一条渐近线垂直.若l与C有且仅有一个交点，则C的离心率为________. 答案：　解析：如图，不妨设F为右焦点，直线l与渐近线y＝x垂直，要使l与C有且仅有一个交点，则l与另一条渐近线不相交，即l与另一条渐近线平行，则两条渐近线互相垂直，即＝1，则离心率为＝＝. 分级二　知能探究 11.(2023·江苏南京师大附中模拟)已知点A，B是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，过点B作倾斜角为的直线l交C于点P，点M是线段AP的中点.若|OM|＝|OA|，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D.＋1 A　解析：易得O是线段AB的中点，又点M是线段AP的中点，如图所示，则OM∥PB，又|OM|＝|OA|，则|AB|＝|PB|＝2a，作PQ⊥x轴于点Q，又∠PBQ＝，则|BQ|＝a，|PQ|＝a，则P(2a，a)，代入C可得－＝1，解得b2＝a2，故离心率为＝＝.故选A. 12.(多选)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足＋＋＝0(其中O为坐标原点)，则(　　) A.双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0 B.双曲线C的离心率为 C.||＝1 D.△OMN的面积为6 ABD　解析：如图，设双曲线C的焦距为2c＝2，MN与y轴交于点P，由题意可知|OM|＝c＝，则P(0，b)， 由＋＋＝0得点E为△OMN的重心， 可得|OE|＝|OP|，即a＝b，＝＝， 所以a＝2，b＝3，e＝.双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，||＝2， M的坐标为(2，3)，S△OMN＝×4×3＝6，故选ABD. 13.(多选)(2022·河北唐山三模)已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则(　　) A.|PF1|－|PF2|＝2 B.双曲线C的渐近线方程为y＝±x C.双曲线C的离心率为 D.|1＋2|≥2 CD　解析：双曲线C：－x2＝1焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2.对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误；对于B选项，焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误；对于C选项，e＝＝＝，故C正确；对于D选项，设P(x，y)，则|PO|＝＝＝≥(x＝0时等号成立)，因为O为F1F2的中点，所以|1＋2|＝|2|＝2||≥2，故D正确.故选CD. 14.(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________. 答案：2(满足1<e≤皆可)　解析：双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4，可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝＝≤＝， 又因为e>1，所以1<e≤，故e的一个值为2(满足1<e≤皆可). 15.(2022·福建莆田三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F.圆O：x2＋y2＝a2与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线FP与双曲线C交于点Q，且＝，则双曲线C的离心率为________. 答案：　解析：如图所示，设双曲线的左焦点为F1， 设直线OP的倾斜角为θ，则tan θ＝，得cos θ＝，由题意可知|OP|＝a，P为QF的中点，则|QF1|＝2a，则双曲线的定义有|QF|－|QF1|＝2a，从而|PF|＝2a，所以在△POF中，由余弦定理得cos θ＝＝，整理得5a2＝c2，从而得e＝. 16.(2023·湖北七市联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(3，0)，点N的坐标为(0，2)，点M为双曲线C左支上的动点，且△MNF的周长不小于20，则双曲线C的离心率的取值范围为________. 答案：(1，]　解析：设双曲线C的左焦点为F′，连 接MF′，F′N(图略)，则|MF|－|MF′|＝2a，即|MF|＝|MF′|＋2a，故|MF|＋|MN|＝|MF′|＋|MN|＋2a≥|F′N|＋2a，当且仅当N，M，F′三点共线时等号成立.由F(3，0)，F′(－3，0)，N(0，2)可得|F′N|＝|FN|＝＝7，故△MNF的周长为|MN|＋|MF|＋|NF|≥|F′N|＋2a＋|NF|＝14＋2a.依题意，△MNF周长的最小值14＋2a≥20，解得a≥3，所以双曲线C的离心率e＝≤＝.又e＞1，可得1＜e≤. 分级三　素能创新 17.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，南非双曲线建筑物惊艳世界(如图).若将此建筑物外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，则此双曲线的离心率为(　　) A.2 B.3 C.2 D.2 B　解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，可得解得所以双曲线的离心率为e＝＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$