分级练(53) 椭圆（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(53)　椭　圆 分级一　提能强化 1.(多选)(2023·湖南高三开学考试)“方程＋＝1表示椭圆”的一个充分条件是(　　) A.m＝－1 B.m＝0 C.m＝1 D.m>0 AC　解析：若方程＋＝1表示椭圆，则解得－2<m<0或0<m<2.故m＝－1与m＝1是－2<m<0或0<m<2的充分条件，故选AC. 2.(2023·河北衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x，y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D.2 A　解析：设椭圆的半焦距为c，由题意可得解得 所以椭圆C的离心率e＝＝，故选A. 3.(2023·广东韶关一模)在椭圆C1：＋＝1与椭圆C2：＋＝1中，下列结论正确的是(　　) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 C　解析：设椭圆C1的焦距为2c1，椭圆C2的焦距为2c2， 则c＝4－3＝1，c＝4－m－(3－m)＝1，∴2c1＝2c2.故选C. 4.(2022·江苏南通模拟)已知椭圆＋＝1的一个焦点为F(－，0)，则这个椭圆的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 C　解析：∵椭圆＋＝1的一个焦点为F(－，0)，∴b2＝2，c＝， ∴a2＝b2＋c2＝3＋2＝5，∴椭圆方程为＋＝1.故选C. 5.(2023·广东清远高三期末)若椭圆C：＋＝1的焦距为6，则实数m＝(　　) A.13 B.40 C.5 D.2 A　解析：因为椭圆C：＋＝1的焦距为6，可知2c＝6，则c＝3，所以a2＝m，b2＝4，所以m－4＝32，解得m＝13.故选A. 6.(2023·山东淄博4月诊断)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos ∠ABC＝，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. D　解析：由题意，可作图如下： 则cos ∠ABF1＝＝，sin ∠ABF1＝＝＝， 即AB∶AF1∶BF1＝3∶4∶5， 可设AB＝3k，则AF1＝4k，BF1＝5k， 由AB＋AF1＋BF1＝AF2＋BF2＋AF1＋BF1＝4a，则4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a， AF2＝2a－AF1＝2k，在Rt△AF1F2中，F1F2＝＝2k＝2c， 则e＝＝＝. 7.(多选)(2023·湖南长沙一中模拟)已知椭圆C：＋＝1，F1，F2是椭圆C的两个焦点，M，N是椭圆C上两点，且M，N分别在x轴两侧，则(　　) A.若直线MN经过原点，则四边形MF1NF2为矩形 B.四边形MF1NF2的周长为20 C.△MF1F2的面积的最大值为12 D.若直线MN经过F2，则F1到直线MN的最大距离为8 BC　解析：对于A，若直线MN经过原点，易知四边形MF1NF2为平行四边形，因为|MN|不一定与|F1F2|相等，所以MF1NF2不一定是矩形，故不正确；对于B，四边形MF1NF2的周长为4a＝20，故正确；对于C，△MF1F2的面积的最大值为×2c×b＝3×4＝12，故正确；对于D，若直线MN经过F2，则F1到直线MN的最大距离为|F1F2|＝2c＝6，故不正确.故选BC. 8.(2022·广东佛山二模)若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是________. 答案：(1，2)　解析：因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上， 所以解得1<k<2，即实数k的取值范围为(1，2). 9.(2023·山东烟台高三期末)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：________. ①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为. 答案：＋＝1(答案不唯一)　解析：只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可，故答案为＋＝1(答案不唯一). 分级二　知能探究 10.(多选)(2023·江苏宿迁模拟)若椭圆C：＋＝1(b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，则下列b的值，能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有(　　) A.b＝ B.b＝ C.b＝2 D.b＝ ABC　解析：以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，因为圆x2＋y2＝c2与椭圆C有公共点，所以c2≥b2，即9－b2≥b2，所以b2≤，即0<b≤，满足条件的有ABC. 11.(2023·山东潍坊模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，直线y＝kx交E于第一象限内的点B.点C在E上，若四边形OABC为平行四边形，则(　　) A.若k越大，则E的长轴越长 B.若k越大，则E越扁 C.若k＝，则E的离心率为 D.若k＝，则E的离心率最大 C　解析：由四边形OABC为平行四边形知BC＝a，故B(，k)，代入椭圆方程得＋＝1，即k2＝3.对于A，若k越大，a越小，A错误；对于B，若k越大，则e＝越小，椭圆越圆，B错误；对于C，若k＝，则e＝＝，C正确；对于D，e＝无最大值，D错误.故选C. 12.(2023·江苏南京一中高三开学考试)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线与椭圆在第一象限相交于点A.已知Q(c，a)，|F2Q|>|F2A|，P是椭圆C上的动点，且|PF1|＋|PQ|<|F1F2|恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是(　　) A.(，1) B.(，) C.(0，) D.(，1) D　解析：椭圆C的图象如图所示， ∵|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|F2Q|＝，|F1F2|＝3c，∴<3c，∴e>， 又|F2Q|>|F2A|，得>，即<，得e>，又椭圆离心率e∈(0，1)， ∴e∈(，1).故选D. 13.(2022·湖南长郡中学一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为____________. 答案：＋＝1　解析：椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋＝1. 14.(2023·山东青岛二模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E交于点A，B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M.由椭圆的光学性质知，F1，A，M三点共线.若|AB|＝a，＝，则＝________. 答案：　解析：如图所示： 因为点B关于l的对称点为M，则|AM|＝|AB|， 因为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，且|AB|＝a， 所以|AF1|＋|BF1|＝3a， 所以＝＝＝， 可得|BF1|＝，则|AF1|＝3a－|BF1|＝， 所以|BF2|＝2a－|BF1|＝，故＝×＝. 15.(2022·湖南长沙模拟)中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F.已知∠BAF＝∠FAO，记该椭圆的离心率为e，则e的取值范围是____________. 答案：(，)　解析：根据角平分线定理＝，＝，结合a2＝b2＋c2及离心率e＝有＝，化简得2e3－2e2－2e＋1＝0.设f(x)＝2x3－2x2－2x＋1，又f()＝－－＋1＝>0，f()＝－－1＋1＝－<0，f′(x)＝6x2－4x－2＝2(3x2－2x－1)＝2(3x＋1)·(x－1)，当x∈(0，1)时，f′(x)<0恒成立，故f(x)在(0，1)上单调递减，所以e∈(，). 分级三　素能创新 16.某同学在篮球场打球时，无意间发现当球放在地面上时，球的斜上方的一只灯泡照过来的光线使得球在地面上留下了影子，这个影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但自己还是不太确定这个想法，于是他回到家里重新翻阅了教材对椭圆这一节知识进行学习和思考，当他读到教材中的阅读材料后明白自己的猜想没有问题，而且通过学习，他还确定地面和球的接触点(切点)就是椭圆影子的焦点，如图，地平面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡(当成质点)，灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在地平面上的点为A，椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率为________. 答案：　解析：如图，以A为原点建立直角坐标系， 由题可知|NQ|＝a＋c，|QR|＝a－c，因此只需要求出N，Q，R的横坐标即可， 由题可得P(0，3)，R(－1，0)，则PR：3x－y＋3＝0，kPR＝3， 设M(n，1)，Q(n，0)，则M到PR的距离d＝＝1， 解得n＝，则|QR|＝－1＝＝a－c， 又设PN：kx－y＋3＝0，由d＝＝1，得(n2－1)k2＋4nk＋3＝0， ∴kPR·kPN＝，则kPN＝，则xN＝＝3－3n2， ∴a＋c＝|NQ|＝3n2＋n－3＝＋1， ∴解得a＝，c＝，∴离心率e＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$