分级练(46) 利用空间向量证明平行与垂直（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(46)　利用空间向量证明平行与垂直 分级一　提能强化 1.(2023·福建莆田锦江中学模拟)已知u＝(1，2，1)是直线l的方向向量，v＝(2，y，2)为平面α的法向量，若l⊥α，则y的值为(　　) A.－2 B.－ C. D.4 D　解析：因为l⊥α，所以u∥v，所以＝＝，解得y＝4.故选D. 2.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1) C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4) A　解析：对于选项A，＝(1，4，1)，∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n， ∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内. 3.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).则下列结论正确的有(　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ ABC　解析：·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， ∴⊥，即AP⊥AB，故A正确； ·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0， ∴⊥，即AP⊥AD，故B正确； 由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，故C正确； 由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误. 4.如图，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　) A.B1E＝EB B.B1E＝2EB C.B1E＝EB D.E与B重合 A　解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB. 5.(多选)(2023·江苏南京高三开学考试)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB＝2，且P为CC1中点，Q为AA1上一动点，则(　　) A.|PQ|∈[，] B.三棱锥B­QPB1的体积为 C.存在点Q使得BD1与平面QPB1垂直 D.存在点Q使得AC1与平面QPB1垂直 AB　解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 对于选项A，P(0，1，1)，Q(2，0，q)，所以|PQ|＝，且q∈[0，2]，所以|PQ|∈[，]，故A正确；对于选项B，VB­QPB1＝VQ­BPB1＝×1××2×2＝，故B正确；对于选项C，＝(－2，0，1)，＝(0，－1，q)，BD1＝(－2，－1，2)，设平面QPB1的一个法向量n＝(x，y，z)，且即则n＝(1，2q，2)，所以1不可能平行于n，故C错误；对于选项D，因为1＝(－2，1，2)，所以AC1也不可能平行于n，故D错误.故选AB. 6.(多选)(2023·福建福州一中高三开学考试)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AA1中点，若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是(　　) A.线段CC1中点 B.线段BC中点 C.线段CD中点 D.线段C1D1中点 ABD　解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设CC1，BC，CD，C1D1的中点分别为M，N，P，Q，不妨设棱长为2，则A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，0，1)，M(0，2，1)，N(1，2，0)，P(0，1，0)，Q(0，1，2)，＝(0，2，－2)，＝(－2，2，0)，设平面A1BC1的法向量n＝(x，y，z)，则，令y＝1，可得n＝(1，1，1)，又＝(－2，2，0)，＝(－1，2，－1)，＝(－2，1，－1)，＝(－2，1，1)，则·n＝－2×1＋2×1＝0，·n＝－1×1＋2×1－1×1＝0，·n＝－2×1＋1×1－1×1＝－2，·n＝－2×1＋1×1＋1×1＝0，又EM，EN，EQ⊄平面A1BC1，则EM，EN，EQ都平行于平面A1BC1，即若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是线段CC1中点，线段BC中点或线段C1D1中点.故选ABD. 7.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x＝________，y＝________，z＝________. 答案：　－　4 解析：由条件得解得 8.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，若B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为________. 答案：1　解析：以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)， ∴＝(x－1，0，1)，＝(1，1，y)，∵B1E⊥平面ABF，FB⊂平面ABF， ∴FB⊥B1E，∴·＝x－1＋y＝0，即x＋y＝1. 9.如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD. (1)求证：AE∥平面BCF； (2)求证：CF⊥平面AEF. 证明：(1)取BC的中点H，连接OH，则OH∥BD， 又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC， 故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则A(3，0，0)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)， F(0，0，)，B(1，2，0). ＝(－2，－2，0)，＝(1，0，)，＝(－1，－2，). 设平面BCF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝1，得n＝(－，，1). ∵四边形BDEF为平行四边形， ∴＝＝(－1，－2，)， ∴＝＋＝＋＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)， ∴·n＝3－4＋＝0，∴⊥n， 又AE⊄平面BCF，∴AE∥平面BCF. (2)＝(－3，0，)， ∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0， ∴⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE， 又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF， ∴CF⊥平面AEF. 分级二　知能探究 10.(2023·江苏包场高级中学高三开学考试)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B(含边界)内，若D1M⊥CP，则△BCM面积的最小值为(　　) A.8 B.4 C. D. D　解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(4，0，2)，C(0，4，0)，D1(0，0，4)，B(4，4，0)，设M(4，a，b)(a，b∈[0，4])，则＝(4，a，b－4)，又＝(4，－4，2)，D1M⊥CP，所以·＝16－4a＋2b－8＝0，得b＝2a－4， 所以M(4，a，2a－4)， 所以||＝＝，当a＝时，|BM|取最小值，由BC⊥平面AA1B1B，BM⊂平面AA1B1B，得BC⊥BM，故S△BCM＝BC×BM，所以S△BCM的最小值为×2＝.故选D. 11.(多选)(2023·江苏无锡模拟)如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且AB＝2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的可能取值为(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 ABD　解析：以D为原点，DA，DC，DF所在直线为坐标轴建立空间坐标系，如图所示，设CG＝a，P(x，0，z)，则＝，即z＝，又B(2，2，0)，G(0，2，a)，所以＝(x－2，－2，)，＝(x，－2，－a)，·＝x(x－2)＋4＋(－a)＝0，显然x≠0且x≠2，所以a2＝－4，因为x∈(0，2)，所以2x－x2∈(0，1]，则当2x－x2＝1，a2取得最小值12，所以a的最小值为2，即边CG长度的最小值为2.故选ABD. 12.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A.(1，1，1) B.(，，1) C.(，，1) D.(，，1) C　解析：设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，得AM∥OE，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点.在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1).由中点坐标公式，知点M的坐标为(，，1). 13.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________. 答案：　解析：以O点为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，－1，0)，M(0，0，)，＝(0，1，)， 设P(x，y，0)，则＝(x，y，－)， 由·＝y－＝0，得y＝，∴点P的轨迹方程为y＝.根据圆的弦长公式， 可得点P形成的轨迹长度为2＝. 14.(2023·山东聊城高三期末)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点. (1)求证：B，E，D1，F四点共面； (2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由. (1)证明：如图所示，连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME， 因为E为AA1的中点，所以EM∥A1B1∥C1D1，且EM＝A1B1＝C1D1， 所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥C1M， 因为F为CC1的中点，M为BB1的中点，所以BM∥C1F，且BM＝C1F， 所以四边形BMC1F为平行四边形，所以BF∥MC1，所以BF∥D1E， 所以B，E，D1，F四点共面. (2)解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 假设存在满足题意的点G，设G(0，0，t)， 由已知得B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)， 则＝(－1，1，0)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，t－1)， 设平面BEF的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 取x1＝1，则n1＝(1，1，1)； 设平面GEF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则 即取z2＝1，则n2＝(t－1，t－1，1). 因为平面GEF⊥平面BEF，所以n1·n2＝0，所以t－1＋t－1＋1＝0，所以t＝. 所以存在满足题意的点G，使得平面GEF⊥平面BEF，DG的长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $$