分级练(44) 空间中的垂直关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(44)　空间中的垂直关系 分级一　提能强化 1.(2022·山东烟台三模)若a和α分别为空间中的直线和平面，则“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A　解析：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，因此，命题“若a⊥α，则a垂直α内无数条直线”正确，a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可以在平面α内，即不能推出a⊥α，所以“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的充分不必要条件.故选A. 2.(2023·江苏盐城期中)设m，n是不同的直线，α是平面，则下列说法正确的是(　　) A.若m∥α，m∥n，则n∥α B.若m∥α，n∥α，则m∥n C.若m⊥α，n⊥m，则n∥α D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n D　解析：对于A，当m∥α，m∥n时，n∥α或n在平面α内，所以A错误；对于B，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误；对于C，当m⊥α，n⊥m时，n∥α或n在平面α内，所以C错误；对于D，当m⊥α，n⊥α时，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得m∥n，所以D正确.故选D. 3.(2022·山东滨州二模)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝(　　) A. B. C. D. C　解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AD∥BC，所以直线BD1与直线AD所成的角α＝∠BD1A1，因为BC⊥平面CDD1C1，所以D1C为D1B在平面CDD1C1上的射影，所以直线BD1与平面CDD1C1所成的角β＝∠BD1C，又A1D1⊥平面CDD1C1，所以A1D1⊥D1C， 所以∠BD1A1＋∠BD1C＝，即α＋β＝.故选C. 4.(2023·湖南岳阳模拟)如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　) A.AH与△EFH所在平面垂直 B.AG与△EFH所在平面垂直 C.HF与△AEF所在平面垂直 D.HG与△AEF所在平面垂直 A　解析：原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，又FH⊂平面EFH，EH⊂平面EFH，所以AH与△EFH所在平面垂直.故A正确，B错误； 由上知，∠HGA≠，故D错误； 由原图知HF与EF不垂直，故C错误.故选A. 5.(多选)(2023·山东济宁高三开学考试)已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线.给出以下四个论断：①m∥n；②α⊥β；③n⊥β；④m∥α，以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，可以得到以下四个命题，其中正确的命题是(　　) A.①②③⇒④ B.①③④⇒② C.①②④⇒③ D.②③④⇒① AB　解析：设α∩β＝l，在α内作直线b⊥l，因为α⊥β，所以b⊥β.因为m∥n且n⊥β，所以m⊥β，所以m∥b，从而m∥α，即选项A正确；过m作平面γ，γ∩α＝m1，则m∥m1，结合①③，得m1⊥β，所以α⊥β，即选项B正确；由①④，得m∥α，再结合②，得n，β的位置可能n∥β或n与β相交，即选项C错误；由②③得m∥α，再结合④，得m与n还有可能相交或异面，即选项D错误.故选AB. 6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为________. 答案：　解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得πrl＝3πr2，即l＝3r，设母线与底面夹角为θ，则cos θ＝＝. 7.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________. 答案：①　解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面. ①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF， 又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF， ∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD， 又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确； ②不能得到BD⊥EF，故②错误； ③中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥AC，故③错误，故填①. 8.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别在棱BB1，CC1上，棱AA1⊥底面ABC，且AB＝BC＝CA＝CE＝EC1＝2BD，记过点A，D，E的平面为α. (1)画出平面α与底面ABC的交线； (2)证明：平面α⊥平面ACC1A1. (1)解：如图所示，分别延长ED和CB相交于点F，连接AF，则AF即为所求交线. (2)证明：因为CE＝2BD，且CC1∥BB1，所以B是CF的中点，所以CB＝BF， 又CB＝AB，所以BC＝BF＝BA，可知△FAC是直角三角形，∠FAC＝， 即AF⊥AC.又平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC， 所以AF⊥平面ACC1A1，又AF⊂平面α，故平面α⊥平面ACC1A1. 分级二　知能探究 9.(2023·广东惠州模拟)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，AC∩BD＝O，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC，OM⊥PC等都可)　解析：可填DM⊥PC，由四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC，又DM⊥PC，BD∩DM＝D，所以PC⊥平面MBD，又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故答案为DM⊥PC(或BM⊥PC，OM⊥PC等都可). 10.(2023·江苏宿迁模拟)如图，在三棱锥P­ABC中，点B在以AC为直径的圆上运动，PA⊥平面ABC，AD⊥PB，垂足为D，DE⊥PC，垂足为E，若PA＝2，AC＝2，则三棱锥P­ADE体积的最大值是________. 答案：　解析：由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC＝B，∴AD⊥平面PBC，得AD⊥PC，而DE⊥PC，AD∩DE＝D，∴PC⊥平面ADE，可得AE⊥PC.在Rt△PAC中，由PA＝2，AC＝2，得PC＝4.由Rt△PEA∽Rt△PAC，得＝，则PE＝＝＝3，由PE＝3，PA＝2，得AE2＝3，又AD⊥DE，∴AD2＋DE2＝AE2＝3，得3＝AD2＋DE2≥2AD·DE，即AD·DE≤(当且仅当AD＝DE时等号成立)，∴三棱锥P­ADE体积的最大值为×AD×DE×PE＝×××3＝. 11.(2023·江苏南京市一中高三开学考试)如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E在AD上，且AE＝AD，BC＝3，O为AB的中点，PA＝PB，AB＝AD. (1)证明：EC⊥PE； (2)求点E到平面POC的距离. (1)证明：如图所示，连接PE，因为平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝PB，O为AB的中点， 得PO⊥AB，所以PO⊥平面ABCD， 因为EC⊂平面ABCD，所以PO⊥EC， 因为四边形ABCD为矩形，BC＝AD＝3，CD＝AB＝AD＝2， 所以AE＝AD＝1，DE＝2， 且EC＝＝2，OE＝＝，OC＝＝， 所以OE2＋EC2＝OC2，所以OE⊥EC， 又因为PO∩OE＝O且PO，OE⊂平面POE，所以EC⊥平面POE， 因为PE⊂平面POE，所以EC⊥PE. (2)解：设PO＝h，点E到平面POC的距离为x， 由(1)知PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC， 所以S△POC＝，S△ECO＝×2×＝2， 因为V三棱锥E­POC＝V三棱锥P­EOC，即·S△POC·x＝·S△ECO·h， 所以××x＝×2×h， 解得x＝，即点E到平面POC的距离为. 12.(2023·江苏包场高级中学模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB. (1)证明：MN∥平面PDC； (2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由. (1)证明：在四边形ABCD中，由AB＝BC＝，AD＝CD＝1，可得△ABD≌△CBD， 又∠ADC＝120°，可得AC⊥BD，且M为AC的中点， DM＝CD cos 60°＝，AC＝2CD sin 60°＝， 则BM＝×＝，由＝＝， 可得MN∥PD， 又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD， 所以MN∥平面PDC. (2)解：过M作ME⊥AD，垂足为E，延长EM交BC于点Q，连接NQ，NE，如图， 由PA⊥平面ABCD，EQ⊂平面ABCD，可得PA⊥EQ， 又EQ⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以EQ⊥平面PAD，EQ⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面PAD， 故存在这样的点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD， 在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°， 在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°， 由BM＝，＝，可得BQ＝＝，即Q为BC的中点， 所以当Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD. 分级三　素能创新 13.(2023·湖北武汉模拟)在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB＝1，AD＝3，直线PM与平面ABCD所成的角为.记点M的轨迹长度为α，则tan α＝(　　) A. B.1 C. D.2 C　解析：因为PA⊥平面ABCD， 所以∠PMA即为直线PM与平面ABCD所成的角， 所以∠PMA＝，因为AP＝2，所以AM＝2，所以点M位于矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，则点M的轨迹为如图所示圆弧EF.连接AF，则AF＝2，因为AB＝1，AD＝3，所以∠AFB＝∠FAE＝，则弧EF的长度α＝×2＝，所以tan α＝.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$