分级练(43) 空间中的平行关系（Word练习）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(43)　空间中的平行关系 分级一　提能强化 1.(2022·江苏盐城模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　) A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 B　解析：∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.故选B. 2.已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　) A.l⊂α，m⊂β，α∥β B.α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m C.l∥α，m⊂α D.l⊂α，α∩β＝m B　解析：选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交.故选B. 3.在如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 B　解析：在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1. 又AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC， ∴A1B1∥平面ABC.又过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 4.(多选)已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　) A.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β B.若m⊥α，n∥α，则m⊥n C.若α∥β，m⊂α，则m∥β D.若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等 BCD　解析：若m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n∥α，又n∥β，并不能得到α⊥β这一结论，故A错误；若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得m⊥n，故B正确；若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理可知m∥β，故C正确；若m∥n，α∥β，则由线面角的定义和等角定理知，m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D正确. 5.在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. 答案：平面ABD与平面ABC　解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC. 6.已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________. 答案：平行　解析：假设平面α与β不平行，则α∩β＝c，∵a⊂平面α，a∥β，∴a∥c，∵b⊂平面β，b∥α，∴b∥c，∴a∥b，这与a和b是异面直线相矛盾，故α∥β. 7.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________. 答案：　解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则＝， ∴AB＝＝＝. 8.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明：(1)如图，连接SB，在△SBC中，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB. 又SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD. 又SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1. 由(1)知EG∥平面BDD1B1，又EG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. 分级二　知能探究 9.设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，所有的动点C(　　) A.不共面 B.当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论A，B如何移动都共面 D　解析：根据平行平面的性质，不论A，B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上. 10.(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是(　　) A.FG∥平面AA1D1D B.EF∥平面BC1D1 C.FG∥平面BC1D1 D.平面EFG∥平面BC1D1 AC　解析：∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，F，G分别是B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；同理，C正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误. 11.(2021·北京二模)已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是__________. 答案：　解析：如图所示，E，F，G，M分别是AA1，A1D1，B1C1，BB1的中点，则EF∥AD1，EM∥AB，所以EF∥平面ABD1，EM∥平面ABD1，且EF∩EM＝E，所以平面ABD1∥平面EFGM，故点P的轨迹为矩形EFGM.因为MB1＝B1G＝，所以MG＝，所以S矩形EFGM＝1×＝. 12.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________.(填序号) 答案：①或③　解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确. 13.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1. 答案：M∈线段FH　解析：因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1(答案不唯一). 14.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1. (1)证明：平面ABF∥平面DCE； (2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成体积比为3∶5的上下两部分？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由. (1)证明：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF，又DE⊂平面DCE，AF⊄平面DCE，所以AF∥平面DCE， 因为四边形ABCD是正方形，AB∥CD，所以AB∥平面DCE， 因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF， 所以平面ABF∥平面DCE. (2)解：假设存在一点G满足条件，过G作MG∥BF交EC于点M，连接BG，BM，FG，如图， 由VABCDEF＝VB­ADEF＋VB­CDE ＝×3×＋×3×＝， 得VGFBME＝VB­EFG＋VB­EGM＝×＝. 过点C作BF的平行线交ED于点N，则△ABF≌△DCN，所以DN＝1， 因为MG∥BF，所以MG∥CN.所以△EGM∽△ENC. 设EG＝t，M到ED的距离为h，则＝＝＝，即h＝t， 则S△EGM＝×t×t＝t2， VGFBME＝VB­EFG＋VB­EGM＝×3××3×t＋×3×t2＝， 即4t2＋8t－21＝0，解得t＝或t＝－(舍去)，则存在点G，满足EG＝， 即G为ED的中点时满足条件. 分级三　素能创新 15.(多选)如图，往透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个命题中正确的是(　　) A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.棱A1D1始终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 ACD　解析：由题图知，A正确；水面EFGH中EH，FG的长度不变，EF，HG随倾斜度变化而变化，B错误；因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG.又A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面).所以C正确；因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝(定值)，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$